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1
圆中的最值（二）题集【A】
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，⊙
的半径为，点
是
边上的动点，过点
作⊙
的一条切线
（点
为切点），则切线
的最小值为 ．
【答案】
连接
、
，
∵
是⊙
的切线，
根据勾股定理知
，
∴当
时，线段
最短，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与最值问题
2. 如图，直线
与轴、轴分别交于点
、
；点
是以
为圆心、为半径的圆上
一动点，过
点的切线交线段
于点
，则线段
的最小是 ．
2
【解析】
【标注】
【答案】
过点
作
直线
与点
，过点
作⊙
的切线
，切点为
，此时
最小，连接
，如图所示．
直线
的解析式为
，即
，
∴
．
∵
为⊙
的切线，
∴在
中，
，
，
∴
．
【知识点】圆与最值问题
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，在直角坐标系中，⊙
的圆心
的坐标为
，半径为，点
为直线
上的动
点，过点
作⊙
的切线，切点为
，则切线长
的最小值是（ ）．
【答案】C
如图，直线
与轴交于
，
与轴交于
，
3
【标注】
，
过
点作直线的垂线
，
，
当且仅当
点与
点重合时，
切线
才会有最小值，
由勾股定理可知
．
故选．
【知识点】圆与勾股
4.
【解析】
如图，⊙
与轴交于
、
两点，
，点
是轴上的一个动点，
切⊙
于点
，则
的最小值是 ．
【答案】
连接
，如图所示，
∵
、
，
∴
，
，
∴
，即圆
的直径为，
∴
，
，
又∵
为圆
的切线，
∴
，
∴
，
设
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
4
【标注】
在
中，
，
根据勾股定理得：
，
则
，
则当
时，
达到最小值，最小值为
．
【知识点】切线的性质定理
5.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系
中，直线
过点
、
，⊙
的半径为，点
为直线
上一动点，过点
作⊙
的一条切线
，
为切点，则切线
的最小值为 ．
x
y
O
【答案】
连接
、
，则
，
．
x
y
O
将“求
的最小值”转化为求“
的最小值”，
当
时
值最小，此时
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
5
x
y
O
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
6.
x
y
O
【解析】
如图，已知直线
与两坐标轴分别交于
、
两点，
的圆心坐标为
，半径为，若
是
上的一个动点，线段
与轴交于点
，则
面积的最小值和最大值分别
是 和 ．（ ）．
【答案】B
，
∵当
时，
，当
时，
，
∴
，
，
∵
的边
上的高是
，
∴
的边
上的高是，
∴要使
的面积最大或最小，只要
取最大值或最小值即可，
过
作
的两条切线，如图，
当在
点时，
最小，即
面积最小；
当在
点时，
最大，即
面积最大；
∵轴\bot 轴，
为半径，
∴
是
切线，
∵
是
切线，
∴
，
设
，
∵
，
，
是切线，
∴
，由勾股定理得：
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
，
，
6
【标注】
∴
的最小值是
，
最大值是：
，
故答案为：
和
．
【知识点】切线的性质定理
【能力】运算能力
7.
【解析】
【标注】
如图，
为⊙
的内接三角形，
，直径
，
、
分别与
相交于点
、
，若⊙
的半径为，则线段
的最大值为 ．
【答案】
如图，过
作
交点，连接
并延长交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，且
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴当
最小时
有最大值，即
时
有最大值，
此时
．
【知识点】平行线分线段成比例定理
【知识点】比例的综合应用
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
7
8.
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的直径，点
在⊙
上，且
，
是⊙
上的一个动点（
，
两点
位于直径
的两侧），连接
，
作
交
的延长线于点
，若
，则
，线段
长度的最大值是 ．
【答案】 ;
∵
，
∴
，
则
，
∵
，
，
∴
，
根据题意，当
最大时，
长度最大，
则
为直径，
为切线，
∴
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】圆与相似
A.
B.
C.
D.
9.
【解析】
已知：
是⊙
的直径，
、
是⊙
的切线，
是⊙
上一动点，若
，
，
，则
的面积的最小值是（ ）．
【答案】C
如图，过
作
，交
于点
，
8
【标注】
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
当点
到
的距离最小时，
面积有最小值，过
作⊙
的切线，交
、
于点
、
，
当
时，过
作
，
可知此时
到
的距离最小，
∵
、
为⊙
的切线，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
，
设
，则
，
∵
为⊙
的切线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
在
和
中
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，解得
，
∴
，
此时
．
【知识点】圆与相似
