文档文本内容
1
勾股定理逆定理 题集
1. 互逆命题
互逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是一个命题的结论和题设，则这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其
中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
1.
【解析】
【标注】
下列命题的逆命题是真命题的个数为（ ）．
（1）对顶角相等．（2）等腰三角形的两个底角相等．（3）三组边分别相等的两个三角形全等．
【答案】C
（1）对顶角相等由逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题．
（2）等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，为真命题．
（3）三组边分别相等的两个三角形全等的逆命题为全等三角形的三组边分别相等，正确，为真命
题．
【知识点】SSS
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
2.
【解析】
下列命题中，其逆命题成立的有（ ）．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么
它们的平方相等；④如果三角形的三边长，，满足
，那么这个三角形是直角三角
形．
【答案】B
①逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立．
②逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立．
③逆命题是如果两个数平方相等，那么这两个角相等，不成立．
④如果一个三角形是直角三角形，为斜边，则
，正确．
逆命题成立的有①④，个，故选．
2
【标注】【知识点】逆命题
A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B. 如果两个角是直角，那么这两个角相等
C. 对顶角相等
D. 两直线平行，内错角相等
3.
【解析】
【标注】
下列命题中，（ ）的逆命题是真命题．
【答案】D
．逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等，例：
，但
，
．逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，例：
，
．逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角，例：如图，
与
相等，但它们为同位角．
【知识点】区分真假命题
A. ①②③
B. ③④
C. ②④
D. ②
4.
【解析】
【标注】
下列命题的逆命题一定成立的是（ ）．
①对顶角相等．②同位角相等，两直线平行．③若
，则
．④若
，则
．
【答案】D
①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对等角，错误．
②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确．
③若
，则
，逆命题为：若
，则
，错误．
④若
，则
，逆命题为：
，则
，错误．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
2. 勾股定理逆定理的探究
勾股定理逆定理
3
如果三角形的三边长，，满足
，那么这个三角形是直角三角形．
【注意】
（）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判断是否为直角三角形的一般步骤是：
①确定最大边（不妨设为）；
②若
，则
是以
为直角的直角三角形；
（）定理中的、、及
只是一种表现形式，不能认为是唯一的．若三角形三边长，，
满足
，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边．
互逆定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称作原定理的逆定理，称这两个
定理互为逆定理．
【注意】
①一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．
②一个真命题的逆命题，不一定是真命题．
A.
，
，
B.
，
，
C.
，
，
D.
，
，
1.
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
下列各组线段、、中，能组成直角三角形的是（ ）．
【答案】B
∵
，∴该三角形不是直角三角形，故
错误．
∵
，∴该三角形是直角三角形，故正确．
∵
∴该三角形不是直角三角形，故错误．
∵
，∴该三角形不是直角三角形，故
错误．
故选
B
.
【知识点】勾股逆定理的应用
A.
，
，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．
4
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
【答案】B
，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题
意；
，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选
B
.
【知识点】勾股定理的逆定理
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，
，
3.
【解析】
【标注】
下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（ ）．
【答案】B
由勾股定理可知：
，
，
，
，故答案为B．
【知识点】勾股逆定理的应用
A.
，
，
B.
，
，
C.
，
，
D.
，
，
4.
【解析】
【标注】
下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是（ ）．
【答案】A
根据勾股逆定理可以判断，
，
，
都是直角三角形．
【知识点】勾股逆定理的应用
A. 三个内角之比为
B. 一边上的中线等于这一边的一半
C. 三边之长为
、
、
D. 三边之比为
5. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
【答案】D
5
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
设三个内角为
、
、，则
，解得
，此时三个内
角分别为
、
、
，该三角形是直角三角形．
一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形．
，满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形．
设三角形的三边长为
，
，
，则
，不满足勾股定理逆定
理，不是直角三角形．
故选
D
.
【知识点】勾股逆定理的应用
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
6.
【解析】
【标注】
的三边长分别为，，，下列条件：①
；②
；
③
；④
，其中能判断
是直角三角形的个数有（
）．
【答案】C
①
，
，解得
，故①是直角三角形．
②
，
，解得
，
，
，故②不是直角三角形．
③∵
，∴
，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形．
④∵
，∴
，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．
能判断
是直角三角形的个数有个．
故选：．
【知识点】直角三角形的判定
7. 如图，在四边形
中，
，
，
，
，
．求四边形
的面积．
6
【解析】
【标注】
【答案】
．
在
中，
，
在
中，
，
∴
为直角三角形，且
，
∴三角形
的面积
，
三角形
的面积
，
∴四边形
的面积为
．
【知识点】与中线或等分线有关的等积变换
3. 勾股数
能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，
即
中，，，为一组勾股数．
【注意】
（）常见的勾股数有：
；
；
；
．
（）如果，，是一组勾股数，那么
，
，
也是一组勾股数（为正整数），
；
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A.
，，
B.
，，
C.
，
，
D.
，
，
1.
A
选项：
B
选项：
【解析】
下列四组数中不是勾股数的是（ ）．
【答案】B
，是勾股数的一组；
，不是勾股数的一组；
7
C
选项：
D
选项：
【标注】
，是勾股数的一组；
，是勾股数的一组．
故选
B
.
【知识点】勾股数
2.
【解析】
下表中第一列每组数都是勾股数，补全下来，这些勾股数的倍、倍、倍、
倍还是勾股数吗？任
意倍呢？说说你的理由．
倍
倍
倍
倍
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【答案】
倍
倍
倍
倍
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
倍
倍
倍
倍
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
8
【标注】【知识点】勾股树
3.
【解析】
【标注】
一直角三角形的两边长分别为和
，则第三边的长是 ．
【答案】
或
设第三边为，
（）若
是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
∴
．
（）若
是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
∴
，
∴第三边的长为
或
．
【知识点】已知两边求第三边-分类讨论
A.
B.
C.
或
D.
或
4.
【解析】
【标注】
在
中，若
，
，高
，则
的周长是（ ）．
【答案】C
（）当
为锐角三角形时，在
中，
．
在
中，
，
∴
．
∴
的周长为
．
（）当
为钝角三角形时，
，
∴
的周长为
．
【知识点】已知两边求第三边-分类讨论
9
5.
【解析】
【标注】
如果直角三角形的三边长为
、、，则最短边上的高为 ．
【答案】
或
分类讨论：
为斜边或为斜边，
高为
或
．
【知识点】已知两边求第三边-分类讨论
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
如果直角三角形两直角边的比为
，则斜边上的高与斜边的比为（ ）．
【答案】D
根据题意设直角三角形两直角边分别为
，
，
根据勾股定理得：斜边为
，
∵
，
∴
， 则斜边上高与斜边之比为
．
【知识点】勾股定理与几何问题
7.
方法一：
【解析】
如图，以
的三边向外作正方形，其面积分别为
、
、
，且
，
，则
．
【答案】
∵
，
又∵
，
，
∴
，
∴
．
10
方法二：
【标注】
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】勾股树
