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分式【章节复习】压轴题-新方法 题集C5
1. 请阅读下列材料：
下列形式的繁分数叫做有限连分数，其中是自然数，
是整数，
，
，…，
是正整数：
其中，
，
，
，…，
称为部分商．
按照以下方式可将任何一个分数转化为连分数的形式：
，则
，考虑
的倒数，
有
，从而
，在考虑
的倒数，有
，于是得到的连分
数展开式，它有个部分商，，，，．
．
可利用连分数形式求二元一次不定方程的特殊解，以
为例．首先将
写成连分数形
式，如上所示，其次，数部分商的个数，本例是偶数的个部分商（奇数情况见下例）．最后计算倒
数第二个渐进分数
，从而
，
是一个特殊解．
考虑不定方程
，先将
写成连分数形式
．
注意到此连分数有奇数个部分商，将之改写为偶数形式：
．
计算倒数第二个渐进分数：
，所以
，
是
的一个特解．
对于分式有类似的连分式的概念，利用将分式展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式．例
如
的连分形式展开式如下，有个部分商：
，
，
．
．
2
（1 ）
（2 ）
再例如，
，它有个部分商：，，
，．
请阅读上面材料，利用所讲述的方法解决下列两个问题：
找出两个关于的多项式和，使得
．
找出两个关于的多项式和，使得
．
（1 ）
（2 ）
2. 阅读下面材料：
在小学时，我们学过用列竖式的方法计算整数的除法，如计算
，
列竖式：
．
运算结果可以用这样的算式来表示：
，其中叫做
除以商后的余数．
也可以这样表示：
．
若整数除以非零整数，商为整式，且余数为零，我们就说能被整除．
类似的，分式的化简、整式的除法也可以用列竖式的方法．
例如，化简
，
列竖式：
，
所以，
．
计算
．
列竖式：
所以，
．
参考上述思考问题的方法，解决下列问题：
若分式
的值为整数，求的整数值．
3
小红说多项式
是多项式
的一个因式，你认为小红的说法是否正
确，请说明理由．
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 对于，以及真分数，，，若
，我们称为和的中间分数．为了帮助我们找中间分
数，
制作了下表：
两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的个分数
、
、
，有
，所以
为
和
的中间分数，在表中还可以找到
和
的中间分数
，
，
，
．把这个表一直写下去，可以找到
和
更多的中间分数．
按上表的排列规律，完成下面的填空：
上表中括号内应填的数为 ．
如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的
和
的中间分数是 ．
写出分数
和
( 、、、均为正整数，
，
)的一个中间分数（用含、、、
的式子表示），并证明．
若
与
（
、、、均为正整数）都是
和
的中间分数，则
的最小值
为 ．
