文档文本内容
1
四点共圆的判定（一） 题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
方法一：
方法二：
【解析】
如图，在
中，
，点
，
分别在
，
上，且
，将
沿
折叠，点
恰好落在
边上的点
处，若
，
，则
的长为（ ）．
【答案】D
由折叠可得：
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可得：
，
∴
，即
是
的中点，
∴
中，
，
由
，
，
，
四点共圆，
可得
，
由
，可得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
故答案为：
．
由对称性可知
，
2
【标注】
又∵
，
∴
，
∴
，
同理可得
，
∴
是
的中点，
∴
又∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
故答案为：
．
【知识点】其它翻折问题
A.
B.
C.
D.
2.
A
选项：
【解析】
如图，已知矩形
的对角线
、
相交于点
，过
点作
，交
于
，若
，
的面积是，则下列说法错误的是（ ）．
【答案】C
过
作
于
，作
于
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
3
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【标注】
∴
，
所以此选项的说法正确．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
所以此选项的说法正确．
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
、
、
、
四点共圆，
∵
，
∴
是直径，
∴
与
不垂直．
此选项的说法不正确．
，
所以此选项的说法正确，
因为本题选择说法错误的．
故选
C
.
【知识点】解直角三角形的综合应用
3. 在学习《
圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图①、②所示，
和
中，
．试证明
、
、
、
四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图①、②中取
中点
，连结
、
．则有
及
，即
，所以
、
、
、
四点在以
为圆心，
为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
B
M
A
C
D
图
B
M
A
C
D
图
如图，在
中，三条高
、
、
相交于点
，连结
、
，若
，则
．
B
C
A
D
F
E
图
如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
为
的中点，
于
，
于
（
、
不重合）．若
，求证：
．
A
B
E
F
G
C
D
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）证明见解析．
如图，在四边形
中，
，
B
C
A
D
F
E
图
∴点
、
、
、
在同一圆上，
∴
．
5
（2 ）
【标注】
在四边形
中，
，
∴点
、
、
、
在同一圆上，
∴
．
∵
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：
．
如图，连结
，
，
．
A
B
E
F
G
C
D
O
图
∵
，
为
的中点，
∴
，
∵
于
，
，
∴
，且
，
∴
、
、
、
四点在同一圆上，且
、
、
、
四点在同一圆上，
∴
，
，
∴
，
在
和在
中，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
．
即
．
【知识点】四点共圆的应用
4.
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
已知：如图，正方形
，过点
作
，两边分别交直线
于点
，交线段
于
点
，
为
中点，连接
．
图
求证：
．
如图，连接
交
于
，过点
作
的垂线交对角线
于点
，连接
，求证：
．
图
如图，在（）下连接
，若
，
，求
的面积．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
是正方形，
∴
，
，
又
，
又
，
∴
，
7
（2 ）
（3 ）
∴
≌
，
∴
，
∵
是中点，
∴
是
斜边中线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
连接
，
，取
中点
，连接
，
，
图
∵
，
，
∴
为
中线，
为
中线，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∵
为
中点，
为
中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
即
，
∵
为等腰
三角形，
∴
．
作
于
，
图
由（）知，
为
中位线，
8
【标注】
∴
，
则
，
又
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
，
则
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，四边形
是正方形，
与
，相交于点
，点
、
是边
上两动点，且
，
与对角线
交于点
，联结
，
交
于点
．
求证：
．
联结
，试证明
平分
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵四边形
是正方形，
9
（2 ）
【标注】
∴
，
，
，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
∵
，且
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∴
，
∴
，
∴
平分
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知正方形
，点
为边
的中点．
图
图
如图，点
为线段
上的一点，且
，延长
、
分别与边
、
交于
点
、
．求证：
．
在（）的条件下，求证：
．
如图，在边
上取一点
，满足
，连接
交
于点
，连接
并延
长交
于点
，直接写出
的值．
10
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
连接
，证
、
、
、
共圆，
则
，
易证
，
∴
，
∵
，
∴
．
延长
，
交于点
，如图，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
，
11
【标注】
由
，知
，
又
，∴
，
不妨假设正方形的边长为，
设
，则由
，得
，
解得
，
（不合题意，舍去）
∴
，即
，
即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知在
中，
，点
在边
上，
，
，
、
分别是垂
足．
求证：
．
联结
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图，∵
，
，
∴
，而
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，∵
，
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
12
【标注】
∴
；而
，
∴
，
；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，四边形
的对角线
，
相交于点
，
，
，
．
填空：
．
求
的值．
点
关于直线
的对称点为
，连接
，请补全图形，探究线段
，
有怎样的关
系，并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
．
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
故答案为
．
作
于
．
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，设
，
13
（3 ）
【标注】
则
，
，
，
∴
．
结论：
，
．
理由：连接
、
．连接
交
于
，连接
，
∵
是等腰直角三角形，
、
关于
对称，
∴四边形
是正方形，
∵正方形对角线相等且互相平分，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
9. 如图，
为等腰直角三角形，
，
，连接
．
若
，求
的长．
14
（2 ）
（3 ）
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
【解析】
求证：
．
若
平分
交
于
点，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
设
，在
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
如图中，作
交
于
，
∵
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
如图，延长
，
交于
，作
，
垂足分别为
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
15
图
【标注】
设
，
则
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
10. 如图，
中，
，
，
于
，点
是线段
上一点，连接
，
交
于
，交
于
，交
于
，连接
．
求证：
；
求
的度数．
【答案】（1 ）证明见解析．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
于
，
∴
．
∴
．
∵在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
如图所示：连接
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴点
、
、
、
共圆．
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
