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1
勾股定理【章节复习】压轴题--
勾股与全等综合
【C1】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
1
2
（1 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
，
，
，连接对角线
．
图
将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
．
依题意补全图．
试判断
与
的数量关系，并证明你的结论．
在（）的条件下，直接写出线段
、
和
之间的数量关系．
如图，
是对角线
上一点，且满足
，连接
和
，探究线段
、
和
之间的数量关系，并证明．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
判断：
．
．
补全图形，如图：
如图，连接
，
2
（2 ）
（3 ）
∵
，且
，
∴
是等边三角形．
∴
，且
．
∵将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，
∴
，且
．
∴
，
∴
≌
（
）．
∴
．
判断：
．
如图，连接
，
∵
，且
．
∴
是等边三角形．
∴
，且
．
将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
、
，
∴
，且
，
∴
是等边三角形．
∴
，且
．
∴
．
∴
≌
（
）．
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
中，有：
．
∴
．
3
【标注】【知识点】勾股定理与全等
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 已知正方形
，点
，
分别在射线
，射线
上，
，
与
交于点
，
如图，当点
，
分别在线段
，
上时，则线段
与
的数量关系是 ．
如图，当点
在线段
延长线上时，将线段
沿
进行平移至
，连接
，
依题意将图补全．
用等式表示线段
与
，
之间的数量关系，并证明．
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（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
画图见解析．
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
和
中，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴线段
与
的数量关系是
，
．
补全图如图：
∵线段
沿
进行平移至
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
∵
，
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【标注】
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】勾股定理的证明
【知识点】勾股定理
【知识点】勾股定理与全等
【知识点】勾股定理与实际问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，
中，
，
，
，若点
从点
出发，以每秒
的
速度沿折线
运动，设运动时间为秒（
）．
若点
在
上，且满足
时，求出此时的值．
若点
恰好在
的角平分线上，求的值．
备用图
在运动过程中，直接写出当为何值时，
为等腰三角形．
6
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
【解析】
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
为
或
或
或
．
∵
中，
，
，
，
∴由勾股定理得
，
如图，连接
，
当
时，
，
，
在
中，
，
即
，
解得：
，
∴当
时，
．
如图，过
作
，
又∵点
恰好在
的角平分线上，
且
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
设
，则
，
，
∴
中，
，
即
解得
，
∴
，
∴
，
∴
．
①如图，当
时，
为等腰三角形，
7
图
若点
在
上，则
，
解得
②如图，当
时，
为等腰三角形，
图
∴
，
∴
④如图，若点
在
上，
，
图
作
于
，则根据面积法求得
，
在
中，由勾股定理得，
，
∴
，
∴
，
此时
⑤如图，当
时，
为等腰三角形，
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【标注】
图
作
于
，则
为
的中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
∴
，
∴
综上所述，为
或
或
或
时，
为等腰三角形．
【知识点】勾股定理与全等
