四点共圆的判定（一）题集A(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第24章圆_3.专题突破

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四点共圆的判定（一） 题集【A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列各题：
如图，
，
，且
、
相交于
．
为
延长线上的一点，
．求证：
、
、
、
四点共圆．
如图，
为
内一点，
、
、
分别在
、
、
边上，已知
、
、
、
四点
共圆，
、
、
、
四点共圆，求证：
、
、
、
也四点共圆．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
 ∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆．
连接
、
、
，
∵
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∵
、
、
、
四点共圆，
∴
，
2
【标注】
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆．
【知识点】四点共圆的应用
2.
【解析】
如图，已知
，
，以
为斜边向外作等腰直角三角形
，连接
，已知
，
，则另一条直角边
的长为            ．
【答案】
∵
，
，
∴
，
，
，
四点共圆，
如图，过点
作
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
由勾股定理可得，
，
，
，
，
故答案为．
3
【标注】【知识点】辅助圆问题；勾股定理与几何问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 在学习圆上这一节时，小丽遇到了一个问题：
如图，
，
，试说明点
、
、
、
在同一个圆上．
图
小丽想到了一个方法，如图，取
的中点
，连接
、
，利用直角三角形的某性质，要到
，进行说明了点
、
、
在以点
为圆心的同一个圆上．
图
小明利用的直角三角形的性质            ．
在如图的四边形
中，若
，则点
、
、
、
在同一个圆上吗？请
说明理由．
图
根据上一题的经验，请解决如下问题：如图，
中，三条高
，
，
相交于点
，连接
，
，
，试说明
平分
．    
图
【答案】（1 ）
（2 ）
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
点
、
、
、
在同一圆上．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）证明见解析．
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
取
中点
，连接
，
．
∵在
与
中，
，
，
∴
，
∴
、
、
、
在以
为圆心，
为半径的圆上．
如图，在四边形
中，
．
由（）得，点
、
、
、
共圆，
∴
．
在四边形
中，
，
由（）同理，得：点
、
、
、
共圆．
∴
．
∵
，
，且
．
∴
，
∴
，
即
平分
．
【知识点】四点共圆的应用
4. 如图，在
中，
交
于点
，
交
于点
，连接
．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
与
相似吗?请说明理由．
若
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
相似，证明见解析．
．
相似，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∵
，
，
∴
，
∵四点共圆，
∴
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
5. 如图，在平面直角坐标系中，
的顶点
、
，
交
于
点，交轴正
半轴于点
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
x
y
O
图
当
时，求
点的坐标．
如图，求
的度数．
x
y
O
图
如图，已知点
，若
，
，求
的坐标(用含的式子表示)．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
如图，当
时，点
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
或
中，
7
（2 ）
x
y
O
图
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴点
坐标
．
如图，∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
．
如图，过
作
轴，过
作
于
，过
作
于
，
交轴于
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】四点共圆的应用
【知识点】AAS
【知识点】ASA
【知识点】全等三角形的对应边与角
6. 过点
作两条相互垂直的直线、．若交轴于
点，交轴于
点，求线段
的中点
的轨迹方程．
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【解析】
【标注】
x
y
O
【答案】
．
如图，∵
，
x
y
O
∴
、
、
、
四点共圆，
∵
，
∴
点为圆心，
于是
，
于是
的轨迹为线段
的垂直平分线，
于是
为所求．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
7. 在边长为的正方形
中，点
是边
上一点（点
不与点
，点
重合），点
关于直线
的对称点为
．
如图，如果
落在线段
的延长线上，
9
1
2
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
求
的度数．
求线段
的长度．
如图，设直线
与
的交点为
，求证：
．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
．
证明见解析．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
由对称的性质得：
．
由勾股定理得：
，
由①得：
是
的平分线，
∴
即
，
∴
．
∵
，
∴
四点共圆．
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【标注】
∴
．
∵
，
∴
四点共圆．
∴
∴
．
∴
．
【知识点】四点共圆的应用