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1
圆中常见相似模型 题集【A】
1. AA普通相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，⊙
是
的外接圆，
，弦
，
，
，
交
的延长线于点
．
求证：
．
求证：
，并求出
的长．
求证：
是⊙
的切线．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析，
．
证明见解析．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
2
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
经过点
，
于点
，
．
求证：
是⊙
的切线．
求证：
．
若⊙
的半径为，
，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
为半径，
∴
是⊙
的切线．
连接
，
∵
为⊙
直径，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵在
中，
，
由勾股定理得：
，
∴阴影部分的面积是
．
【知识点】圆与相似
梯形
扇形
4
2. 共角、等角型相似（A字、8字型）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，在
中，
，
平分
．
求作⊙
，圆心
是
的中垂线与
的交点，
为半径．（尺规作图，不写作法，保留痕
迹）
求证：
是⊙
切线．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
答案见解析．
证明见解析．
．
如图所示⊙
为所求：
∵
平分
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
是⊙
的半径，
为⊙
的切线．
∵
，
5
【标注】
∴
设
，则
，
∴
在
中,
∵
，
，
∴
，
又∵
，∴
，
解得：
∴
，
∵
∴
，
∴
,
即
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，半径
垂直弦
于点
，
是
延长线上一点，
．
判断
与⊙
的位置关系，并证明．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
与⊙
相切．
∵
，
又∵
，
6
（2 ）
【标注】
∴
．
∴
．
∵半径
垂直于弦
于点
，
∴
．
∴
与⊙
相切．
∵半径
垂直于弦
于点
，
，
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
在
中，
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径作⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线
，交
和
的延长线于
、
．
求证：
．
当
，
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
（如图）．
∵
，
7
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
与⊙
相切，
∴
，
．
∴
．
∴
．
由（）知：
，
，
在
中，
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
解得
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
4. 如图，点
在以
为直径的⊙
上，
平分
，
与过点
的直线垂直，垂足为点
，
交⊙
于点
．
求证：
与⊙
相切．
连接
交
于点
，若
，求
的值．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
连接
交
于点
、交
于点
．
∵
是直径、
是切线，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
．
设
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
在
中
，
∴
，
在
中
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
5. 如图，已知，⊙
为
的外接圆，
为直径，点
在
上，过点
作
，点
在
的延长线上，且
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
与⊙
相切．
若
，
，
，求线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图，
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
与⊙
相切．
∵
为直径，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
10
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为⊙
直径，
是⊙
上一点，
于点
，弦
与
交于点
，过点
作
，使
，交
的延长线于点
．过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，⊙
的半径为，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
为⊙
的切线．
∵
，⊙
的半径为，
∴
，
∵
，
∴
，
11
【标注】
在
中，
，
，则
，
，
∵
，
∴
，解得
．
∴
，
，
∵
为⊙
的切线，
∴
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，过点
作⊙
的切线
，点
为⊙
上一点，且
，连接
并
延长交
的延长线于点
．
求证：
是⊙
的切线．
连接
，若
，
，求线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
，由已知
，
∴
≌
，
∴
，
∴半径
．
12
（2 ）
【标注】
∴
是⊙
的切线．
设
，
∵
，
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，
解得
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
【解析】
如图所示，
是⊙
外一点．
是⊙
的切线．
是切点．
是⊙
上一点．且
，连接
、
、
，并延长
与切线
相交于点
．
求证：
是⊙
的切线．
设
．若
．
．求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
13
（2 ）
如图所示，连结
，交
于点
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
．
又∵
是⊙
的切线，
∴
，即
．
∴
．
∴
是⊙
的切线．
在
中，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
为公共角，
∴
．
∴
，即
，解得
．
∵
、
都是⊙
的切线，
，
∴
，
∴
，即
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
．
14
【标注】【知识点】切线的判定定理
3. 共角共边、等角等边型相似（子母型）
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的直径，点
为⊙
外一点，连接
交⊙
于点
，连接
并延长交线段
于
点
，
．
判断
与⊙
的位置关系，并证明你的结论．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
相切．
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
即
．
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
的半径为，在
中，
，
∴
．
【知识点】圆与相似
15
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
是
的外接圆，
平分
交⊙
于点
，交
于点
，过点
做直线
．
判断直线与⊙
的位置关系，并说明理由．
若
的平分线
交
于点
，求证：
．
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
直线与⊙
相切．
证明见解析．
．
如图所示：连接
、
、
．
∵
平分
，
∴
．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴直线与⊙
相切．
∵
平分
，
∴
．
又∵
，
16
（3 ）
【标注】
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
由（）得
．
∵
，
，
∴
．
∴
，即
，
解得：
．
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
为⊙
上一点，点
在直径
的延长线上，且
．
求证：
是⊙
的切线．
过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，
，
．求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
．
∵
，
17
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
是⊙
的直径，
∴
（直径所对的圆周角是直角），
∴
，
∴
，即
．
∴
．
∵
是⊙
的半径，
∴
是⊙
的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
是⊙
的切线，
∴
，
，
∴
，即
，
解得
．
【知识点】勾股定理的证明
【知识点】圆与勾股
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】切线的性质定理
【知识点】切线的判定定理
【知识点】正多边形与圆
【能力】推理论证能力
4. 如图，
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
平分
交⊙
于点
，且
，垂
足为点
．
18
（1 ）
（2 ）
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
求证：直线
是⊙
的切线．
若
，
，求弦
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，如图，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
连接
．
∵
是
的直径，
∴
，
19
方法二：
【标注】
∵
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，设
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
设
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
过点
作
于
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与等腰+平行线
5. 如图，
是⊙
的直径，
交⊙
于点
，
是弧
的中点，
与
交于点
，
．
20
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
求证：
是⊙
的切线．
已知
，
，
求
的长．
求
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
$．
如图，连接
，
∵
是弧
的中点，
∴弧
弧
．
∴
，
即
．
∵
，
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
即
．
∴
．
∴
是⊙
的切线．
由（）得
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
21
2
【标注】
∵
，
，
∴
．
∴
．
如图，过点
作
，垂足为点
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
,
,
∴
．
设
,则
,
，
∴
．
解得
．
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知
是⊙
的直径，
是⊙
上的一点，连结
并延长至
，使
，连结
，作
，垂足为
．
判断线段
与
的大小关系．请证明你的结论．
判断
与⊙
的位置关系，并证明．
当
与四边形
的面积比是
时，求证：
是等边三角形．
22
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
为⊙
切线．
证明见解析．
．
∵
为
直径，
∴
．
又
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
与⊙
相切．
连接
．
∵点
为
中点，点
为
中点，
∴
为
的中位线，即
．
又
，
∴
，
即
为⊙
切线．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
为等边三角形．
【知识点】圆与相似
四边形
23
