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1
四点共圆的判定（二） 题集【B】
1.
A
B
C
D
P
O
【解析】
【标注】
如图，正方形
的中心为
，面积为
，
为正方形内一点，且
，
，求
的长．
A
B
C
D
P
O
【答案】
．
连接
、
，
是正方形，
，
，
，
、
、
、
四点共圆，
．
在
中，
，
，
设
，
，
则
，
解得
，
，
．
【知识点】四点共圆的应用
2. 设
，
分别是正方形
的边
，
上的点，
，
分别交对角线
于
，
两点，且
，求证
，
，
，
，
五点共圆．
【答案】证明见解析．
2
【解析】
【标注】
将
绕点
逆时针旋转
，
于是
落在
上且
，
，
三点共线，
于是
，
，
.
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
，
四点共圆，
联结
，则
与
关干
对称，
∴
，
∴
，
，
，
四点共圆．
∴
，
，
，
，
五点共圆．
【知识点】四点共圆的应用
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，
中，
，
，
，
是
内部的一个动点，且满足
，则线段
长的最小值为（ ）．
【答案】B
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点
在以
为直径的⊙
上，连接
交⊙
于点
，此时
最小，
在
中，
3
【标注】
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
∴
最小值为．
【知识点】勾股定理的综合应用
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
解答下列各题：
如图，四边形
内接于
，
、
、
分别是
、
、
的中点．连接
与
的延长线交于，连接
与
延长线交于．求证：、、
、
四点共圆．
如图，
中，以
为直径作圆，交
于
，交
的平分线于
，作
于
，
为
中点．求证：
、
、
、
四点共圆．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
连接
、
，
∵
、
、
都是中点，
4
（2 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
，
又∵
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
，
∴、、
、
四点共圆．
延长
交
于
，连接
，
∵
平分
，
，
∴
≌
，∴
，
∵
是
的中点，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
、
、
、
四点共圆．
【知识点】圆内接四边形综合
5. 如图，
是⊙
的直径，且经过弦
的中点
，过
延长线上一点
作⊙
的切线，切点为
，
若
，则
的大小
（度）．
5
【解析】
【标注】
【答案】
连
，易知
，
，
∴
、
、
、
四边形共圆，
又∵
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
6.
【解析】
如图，已知
内接于⊙
，
、
为⊙
的切线，作
，交
于
，连接
并延
长交
于
，求证：
．
【答案】证明见解析．
连接
、
、
，
显然，
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
即
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
，
∴
，
6
【标注】
∴
，
∵
过圆心
，所以
．
【知识点】四点共圆的应用
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，点
是
上一动点，
于
，
于
．无论
的位置如何变化，线段
的最小值为（ ）．
【答案】B
解法一：当
时，线段
的值最小，
如图，∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，且直径为
，
在
中，
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∴
也是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
，
如图，取
的中点
，连接
，则
，
∵
，
7
∴
，
过
作
于
，则
，
，
∴
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∴
，
∴
．
则线段
的最小值为
．
解法二：如图，取
的中点
，连接
、
，有
，
，
∴
为顶角为
的等腰三角形，
∴当
时，线段
的值最小，
如图，作
的中垂线，交
于一点
，交
于
，连接
，
设
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
如图，过
作
于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
8
【标注】【知识点】四点共圆的应用
8.
方法一：
方法二：
【解析】
在四边形
中，
，
，将
沿
翻折得到
，
若
，
，则
．
【答案】
作
于
，
交
的延长线于
，
∵
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
在
中，
．
①
，
——角分互补图；
过点
作
、
，
∴
；
9
【标注】
∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
≌
，
∴
，
．
②翻折——对称型全等；
∵
沿
翻折得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
．
③等腰
——双等腰旋转（已知等腰直、构造等腰直）．
过点
作
交
延长线于点
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
易证
≌
，易求得
．
【知识点】四点共圆的应用
9. 如图，菱形
中，
，点
、
分别为边
、
上的点，且
，连接
、
交于点
，连接
交
于点
．则下列结论①
≌
，②
，③
，④
中，正确的是 ．
10
【解析】
【答案】①②③④
∵四边形
是菱形，
∴
，
∵
，
∴
，
即
是等边三角形，
同理：
是等边三角形
∴
，
在
和
中有，
，
∴
≌
（
）．
故①正确．
∴
，
∵
，
∴
，
在
上截取
，连接
，
∵
，
∴点
，
，
，
四点共圆，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
．
故②正确．
在
和
中，
11
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
故③正确．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
