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勾股定理【章节复习】压轴题--勾股与全等综合
【C4】
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
已知
中，
，
，
．
如图，若
，则线段
、
、
之间的数量关系为 ．
若
．
如图，线段
、
、
满足怎样的数量关系?证明你的结论．
如图，点
在线段
上，且
，
，
，则
．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
．
过点
作
交
的延长线于
，
∵
，
2
【标注】
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
（基本结论）．
设
，则
，
，
∴
，解得
．
【知识点】勾股定理的综合应用
1
2
（1 ）
（2 ）
2. 已知
是等腰直角三角形，
，动点
在斜边
所在的直线上，以
为直角边
作等腰直角三角形
，其中
，探究并解决下列问题：
如图①，若点
在线段
上，且
，
，则：
图
线段
，
．
猜想：
，
，
三者之间的数量关系为 ．
如图②，若点
在
的延长线上，在（）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证
明过程．
3
（3 ）
1
（1 ）
【解析】
图
若动点
满足
，直接写出
的值 ．
备用图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
证明见解析．
或
如图①
图
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
和
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
≌
．
∴
，
，
4
2
图
方法一：
方法二：
（2 ）
∴
为直角三角形．
∴
．
∴
．
如图①．
图
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵在
中，由勾股定理可知：
，
∴
．
如图②：过点
作
，垂足为
，
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵在
中，由勾股定理可知：
，
∴
．
如图②，连接
，
∵
，
∴
，
，
在
和
中，
5
图
（3 ）
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
①如图③：过点
作
，垂足为
，
点
位于点
处时，
图
∵
，
∴
．
在
中，由勾股定理得：
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
．
②点
位于点
处时，
∵
，
∴
．
在
中，由勾股定理得：
，
在
中，由勾股定理得：
，
6
【标注】
，
综上所述，
的比值为
或
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【思想】数形结合思想
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】勾股定理
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
，垂足分别为
，
，
为
中点，
与
，
分别交于点
，
，
．
线段
与
相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
，理由如下：
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
，
∵
，
7
（2 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵在
和
中
，
∴
≌
（
），
∴
．
连接
，
由（）知，
，
∵
为
的中点，
∴
垂直平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
中，由勾股定理得：
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】勾股定理的综合应用
