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1
圆与正多边形 题集【A】
1. 圆内接正多边形的概念及计算
1.
【解析】
【标注】
半径为的圆内接正三角形的边心距为为 ，正五边形的中心角是 度；已知正六边形的
边心距为
，则它的周长是 ．
【答案】 ;
;
如图，
，
∴边心距
．
如图，中心角
．
如图，
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
从一个半径为
的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（ ）．
【答案】C
如图，连接
、
，过
作
于
，
∵圆内接多边形是正六边形，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
2
【标注】
故选：．
【能力】运算能力
【知识点】正多边形与圆
【知识点】圆与三角函数
3.
【解析】
【标注】
半径为的正六边形的边心距为 ，中心角等于 度，面积为 ．
【答案】
;
;
边长为的正六边形可以分成六个边长为的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距等于
，
∴中心角为：
，
∴正六边形的面积为
．
【能力】运算能力
【知识点】正多边形与圆
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
已知正六边形的周长是
，则它的外接圆的半径是（ ）．
【答案】C
正六边形的周长是
，边长为，则它的外接圆的半径是．
【知识点】正多边形的半径与边心距
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
已知正六边形的边心距为，则它的外接圆的半径是（ ）．
【答案】B
如图，连接
、
，
3
【标注】
∵六边形
为正六边形，
∴
．
∵
，
∴
是等边三角形．
∴
．
∵
，
．
∴
．
【知识点】正多边形的半径与边心距
6.
【解析】
如图，正六边形
内接于⊙
，⊙
的半径为，则
的长为 ．
【答案】
如图连接
和
，
∵正六边形
内接于⊙
，
∴
，
4
【标注】
∵⊙
的半径为，
∴
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
7.
【解析】
【标注】
已知⊙
的周长等于
，则它的内接正六边形
的边长
．
【答案】
连接
，
，
∵⊙
周长为
，
∴⊙
半径
．
为⊙
内接正六边形，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
为等边三角形．
∴
．
【知识点】正多边形与圆的综合
A.
B.
8. 下列说法正确的是（ ）．
三点确定一个圆
任意的一个三角形一定有一个外接圆
5
C.
D.
【解析】
【标注】
三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
任意一个圆有且只有一个内接三角形
【答案】B
∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，任何一个三角形都有一个外接圆，
∴
不正确，正确；
∵三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点，
∴
不正确；
∵任意一个圆由无数个内接三角形，
∴
不正确．
【知识点】三角形五心
A. 三角形的外心到三边距离相等
B. 三角形的内心不一定在三角形的内部
C. 等边三角形的内心、外心重合
D. 三角形不一定有内切圆
9.
【解析】
【标注】
下列命题正确的是（ ）．
【答案】C
三角形的外心到三个顶点的距离相等，A错误；
三角形的内心一定在三角形的内部，B错误；
等边三角形的内心、外心重合，C正确；
三角形一定有内切圆，D错误．
故选C．
【知识点】三角形五心
A. 点
是
的三条角平分线的交点
B. 点
是
的三条中线的交点
C. 点
是
的三条边的垂直平分线的交点
D.
一定是锐角三角形
10. 如图，
的内切圆
与各边分别相切于点
，
，
，那么下列叙述错误的是（ ）．
6
【解析】
【标注】
【答案】B
连接
，
，
，
∵
的内切圆
与各边分别相切于点
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴点
是
的三条角平分线的交点，
∵
是
的外接圆，
∴点
是
的三条边的垂直平分线的交点，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是锐角，同理
与
是锐角，
∴
是锐角三角形，
故答案为．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
A. 外接圆直径是
B. 内切圆直径是
C. 面积是
D. 外心与内心重合
11.
【解析】
【标注】
已知
中，
，
，
，则该三角形的（ ）．
【答案】B
中，
，
，
．
∴
，外接圆直径为
．
内切圆直径
．
面积
．
外心内心不重合．
【知识点】三角形五心
A.
B.
C.
D.
12. 以半径为的圆内接正三角形的边心距为（ ）．
7
【解析】
【标注】
【答案】B
边心距
．
【知识点】正多边形的半径与边心距
13.
【解析】
【标注】
如图，点
是
的外心，
，则
．
【答案】
连接
，
∵点
是
的外心，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【知识点】三角形五心
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
14.
【解析】
若正方形的边长为，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）．
【答案】B
∵正方形的边长为，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
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【标注】
即外接圆半径为
，内切圆半径为．
【知识点】正多边形与圆的综合
15.
【解析】
【标注】
如图，正八边形
外接圆
的半径为，它的面积为 ．
【答案】
连接
、
、
，
∵正八边形
的半径为，
∴
， 连接
，
∴
，
∴
，
∴
，此时
与
垂直，
∴
，
∴
．
故答案为
．
【知识点】正多边形与圆的综合
四边形
正八边形
A.
B.
C.
D.
16. 在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（ ）
9
【解析】
【标注】
【答案】B
如图所示，
在正三角形
中连接
，过
作
于
，
则
，
，
故
；
如图所示，
在正方形
中，连接
、
，过
作
于
，
则
是等腰直角三角形，
，即
，
故
；
如图所示，
在正六边形
中，连接
、
，过
作
于
，
则
是等边三角形，
故
，
，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为
．
故选：．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
A.
B.
C.
D.
17.
【解析】
【标注】
已知正三角形的边长为，其内切圆的半径为，外接圆的半径为
，则
等于（ ）．
【答案】A
等边三角形的一边上的高的
倍为它的内切圆的半径，
等边三角形的一边上的高的
倍为它的外接圆的半径，
而高又为边长的
倍，
∴
．
故选
．
【知识点】三角形五心
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2. 作圆内接正多边形
1.
【解析】
【标注】
已知圆
，求作它的一个内接正五边形．
【答案】
步骤：
1、任作一圆
2、任作圆
中互相垂直的两直径
、
3、作
的垂直平分线交
于
4、以
为圆心，
长为半径作弧，交
于
5、在圆
上顺序作弦
则得正五边形
．
【知识点】作圆的内接正多边形
O
A
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
已如：
与
上的一点
．
求作：
的内接正六边形
．（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）．
连接
，
，判断四边形
是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
四边形
为矩形，理由见解析．
如图，正六边形
为所作．
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方法一：
方法二：
（2 ）
四边形
为矩形．理由如下：
连接
，如图，
O
D
C
B
A
F
E
∵六边形
为正六边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为直径，
∴
，
同理可得
，
∴四边形
为矩形．
连接
，
，
，
，
B
A
F
E
∴
，
∴
，
，
三点共线
同理，
，
，
三点共线
又∵
∴四边形
为矩形．
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【标注】【知识点】弧、弦、圆心角关系
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙
．
求作：⊙
的内接等腰直角三角形．
作法：如图，
①作直径
．
②分别以点
，
为圆心，以大于
的同样长为
半径作弧，两弧交于
，
两点．
③作直线
交⊙
于点
，
．
④连接
，
．
所以
就是所求作的三角形．
根据小松设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）．
完成下面的证明．
证明：∵
是直径，
是⊙
上一点．
∴
( ) （填写推理依据）．
∵
( )（填写推理依据）．
∴
是等腰直角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
; 直径所对的圆周角是直角 ; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等
补全的图形如图所示：
∵
是直径，
是⊙
上一点．
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【标注】
∴
（直径所对的圆周角是直角） ．
∵
（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．
∴
是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形的判定
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，已知等边
，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保
留作图痕迹）：
作
的外心
．
设
是
边上一点，在图中作出一个正六边形
，使点
，点
分别在边
和
上．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
作图见解析．
如图所示：点
即为所求．
．
如图所示：六边形
即为所求正六边形．
．
【知识点】作圆的内接正多边形
【知识点】作线段的垂直平分线
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