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专题24.8 正多边形与圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 正多边形与圆中求角度】.......................................................................................................................1
【题型2 正多边形与圆中求线段长度】............................................................................................................... 3
【题型3 正多边形与圆中求半径】.......................................................................................................................4
【题型4 正多边形与圆中求面积】.......................................................................................................................5
【题型5 正多边形与圆中求周长】.......................................................................................................................6
【题型6 确定正多边形的边数】...........................................................................................................................6
【题型7 正多边形与圆中的实际应用】............................................................................................................... 7
【题型8 正多边形与圆中的规律问题】............................................................................................................... 8
【题型9 正多边形与圆中求最值】.....................................................................................................................10
【题型10 正多边形与圆中的证明】.....................................................................................................................11
【知识点1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
（2）正多边形每个内角度数为
，每个外角度数为
【题型1 正多边形与圆中求角度】
【例1】（2022 春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则
∠BOM 的度数是（ ）
中心角
边心距
周长
面积
为边数；
为边心距；
为半径；
为边长
B
A
O
A．36°
B．45°
C．48°
D．60°
【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，点M 在^
AF上，则∠CMD 的大小为
（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
【变式1-2】（2022 春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC，以点A 为圆心，AB 为半径画
圆弧交AC 于点F，连接DF．则∠FDC 的度数是 ．
【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF 和正五边形AHIJK 内接于⊙O，且有公共顶点A，则
∠BOH 的度数为 度．
【题型2 正多边形与圆中求线段长度】
【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（
）
A．3√3
B．3
2
C．3√3
2
D．3
【变式2-1】（2022 秋•西城区期末）如图，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，若⊙O 的半径为4，则正方形
ABCD 的边长为（ ）
A．4
B．8
C．2√2
D．4√2
【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F 在圆上．
若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ）
A．3−√13
B．√13−1
C．√13+1
D．2√3−1
【变式2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O，则AD：AB＝
（ ）
A．2√2：√3
B．√2：√3
C．√3：√2
D．√3：2√2
【题型3 正多边形与圆中求半径】
【例3】（2022 春•临海市期末）如图，以点O 为圆心的两个同心圆把以OA 为半径的大圆O 的面积三等分，
这两个圆的半径分别为OB，OC．则OA：OB：OC 的值是（ ）
A．3：2：1
B．9：4：1
C．√3：√2：1
D．3：√6：√2
【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 ．
【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，连接AC，已知AC＝6，则圆的半径
是（ ）
A．3
B．6
C．2√3
D．4√3
【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙O 与正六边形ABCDEF 的两边AB 和EF 相切于点B 和点E
两点，若正六边形的边长是√3，则⊙O 的半径长是（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．3
【题型4 正多边形与圆中求面积】
【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8√3
B．12√3
C．16
D．16√3
【变式4-1】（2022 秋•宣化区期末）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF 的面
积是（ ）
A．27√3
2
B．27√3
4
C．9√3
4
D．27√3
【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半
径为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3√3
4
B．√3
C．5√3
4
D．2√3
【变式4-3】（2022 秋•庐江县期末）⊙O 半径为4，以⊙O 的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距
为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．√2
B．√3
C．2√2
D．2√3
【题型5 正多边形与圆中求周长】
【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆，则正方形
ABCD 与正六边形AEFCGH 的周长之比为（ ）
A．2√2：3
B．√2：1
C．√2：√3
D．1：√3
【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（
）
A．2√3
B．3√3
C．6√3
D．6
【变式5-2】（2022 秋•梅河口市期末）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，连接OC、OD，若OC 长为
2cm，则正六形ABCDEF 的周长为 cm．
【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为6，则△ADE 的
周长是（ ）
A．9+3√3
B．12+6√3
C．18+3√3
D．18+6√3
【题型6 确定正多边形的边数】
【例6】（2022•宽城县一模）如图，边AB 是⊙O 内接正六边形的一边，点C 在^
AB上，且BC 是⊙O 内接
正八边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 的值是（ ）
A．6
B．12
C．24
D．48
【变式6-1】（2022 秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边
形的边数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式6-2】（2022•息烽县二模）如图，AB、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的边，BC 是圆
内接正n 边形的一边，则n 等于（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【变式6-3】（2022 秋•钢城区期末）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正
三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【题型7 正多边形与圆中的实际应用】
【例7】（2022•安国市一模）2019 年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边
长最大不能超过（ ）
A．11.125mm
B．22.25mm
C．89√2
8
mm
D．89√3
8
mm
【变式7-1】（2022 秋•门头沟区期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承
德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为
2 米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
【变式7-2】（2022 秋•东城区期末）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而
圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个
同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5 尺），“庣旁”为两寸
五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25 尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【变式7-3】（2022•清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均
为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以
6 支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；
（1）如果要装6 支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm．
（2）如果你要装12 只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底
面，则底面半径的最小值为 √13 cm．
【题型8 正多边形与圆中的规律问题】
【例8】（2022 秋•椒江区校级月考）已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在
正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针
旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6 次旋转的过程中，点M 在图中直角坐
标系中的纵坐标可能是（ ）
A．2.2
B．﹣2.2
C．2.3
D．﹣2.3
【变式8-1】（2022 秋•铁锋区期末）如图，边长为1 的正六边形ABCDEF 放置于平面直角坐标系中，边
AB 在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋
转60°，那么经过第2022 次旋转后，顶点D 的坐标为 ．
【变式8-2】（2022•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD 的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形
A1B1C1D1．称为第一次数学操作，接下来，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形
A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n 次数学操作后，得到正方形
AnBn∁nDn，则An Bn
AB
的值为（ ）
A．（√2
2
）n
B．（1
2
）n
C．（√3
2
）n
D．（3
4
）n
【变式8-3】（2022•威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正
六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，
…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A．243
2
9
B．81√3
2
9
C．81
2
9
D．81√3
2
8
【题型9 正多边形与圆中求最值】
【例9】（2022•南山区三模）如图，正方形ABCD 内接于⊙O，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的
面积为8π，MN＝2，则△AMN 周长的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
【变式9-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P 是正六边形ABCDEF 内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，
连接PD，则线段PD 的最小值是（ ）
A．2√11−2
B．2√13−2
C．6
D．4√3
【变式9-2】（2022•浙江自主招生）如图，边长为4 的正方形ABCD 内接于⊙O，点E 是弧AB 上的一动点
（不与A、B 重合），点F 是弧BC 上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC 交于点G，H，且∠EOF
＝90°，则△GBH 周长的最小值为 ．
【变式9-3】（2022 秋•广陵区期末）如图，⊙O 半径为√2，正方形ABCD 内接于⊙O，点E 在^
ADC上运
动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF 长的最小值为 ．
【题型10 正多边形与圆中的证明】
【例10】如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BE 相交于点F．
（1）求∠BAC 的度数．
（2）求证：四边形CDEF 为菱形．
【变式10-1】已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE 分别平分
∠ABC、∠ACB．
求证：五边形AEBCD 是正五边形．
【变式10-2】（2022•河南模拟）如图，⊙O 半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q 同时分别从
A，D 两点出发，以1cm/s 速度沿AF，DC 向终点F，C 运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t
（s）．
（1）求证：四边形PEQB 为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝ s 时，四边形PBQE 为菱形；
②当t＝ s 时，四边形PBQE 为矩形．
【变式10-3】（2022•张家口一模）（1）已知：如图1，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点P 为^
BC上一动
点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP 上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC 是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1 和∠2 的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为^
BC上一动点，求证：PA＝PC+√2PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为^
BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者
之间有何数量关系，直接写出结论．
