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1
分式【章节复习】压轴题-阅读材料 题集C2
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做
对称式．例如：
，
，
，
含有两个字母，的对称式的基本对称式是
和
，像
，
等对称式都可以用
和
表示，例如：
．
请根据以上材料解决下列问题：
式子①
，②
，③
中，属于对称式的是 ．（填序号）
已知
．
若
，
，求对称式
的值．
若
，直接写出对称式
的最小值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
①③
．
．
①③．
由已知得
，
．
化简得
，
∵
，
，
∴原式
，
∵
，
，
∴原式
．
由已知得
，
．
，
，
，
，
．
∵
，
，
2
【标注】
∴原式
，
∵
，
∴原式
，
∴最小值为
．
【知识点】定义新运算
（1 ）
1
2
3
（2 ）
2.
（1 ）
1
2
3
（2 ）
【解析】
阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．
类比这一特性，丽丽发现像
，
，
等代数式，如果任意交换两个字母的位置，
式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．
她还发现像
，
等神奇对称式都可以用
，
表示．例如：
，
．于是丽丽把
和
称为基本神奇对称式 ．
请根据以上材料解决下列问题：
代数式①
， ②
， ③
， ④
中，属于神奇对称式的
是 （填序号）．
已知
．
（用含
，的代数式表示）．
若
，
，则神奇对称式
．
若
，求神奇对称式
的最小值．
【答案】（1 ）
1
2
3
（2 ）
①④
．
分别将各式中
与换位后，只有①、④两式的值不发生变化．
，
∴
．
由①可知，
，
，
∴
．
∵
，
3
【标注】
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
即
，
（）当
时，
∴原式
；
（）当
时，
∴原式
，
综上，
的最小值为
．
【知识点】列代数式
【知识点】代数式的定义
【知识点】分式化简求值-整体代入求值
【知识点】分式加减、乘除、乘方混合运算
【知识点】多项式乘多项式
【能力】运算能力
3. 阅读下列材料：
我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可以化为带分数．
例如：
．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们
称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：
，
这样的分式就是假分式；
，
这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
例如：
，
，
．
解决下列问题：
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
分式
是 分式（填“真”或“假”）．
将假分式
化为带分式为 ．
若分式
的值为整数，则的整数值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
真
，
，
因为分子的次数小于分母的次数，所以是真分数．
．
，
使方程为整数的的整数值为
，
，
．
【知识点】分式化简求值-条件化简求值
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
阅读材料，解决问题：
对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真
分式．如
就是一个真分式．有时候需要把一个真分式化成几个更简单的真分式的代数
和，如
，像这种恒等变形，称为真分式化为部分分式．将一个真分式化
为部分分式时，一般将分式的分母因式分解，再根据分母的次数假设分解后的部分分式，最后用待
定系数法求解．
如果分式的分母中含有因式
，那么设相应的部分分式为：
，（其中
、
、
……
为待定常数）
请你根据以上信息，解决下列问题：
已知
，求
、
的值．
请将
化为部分分式．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
5
（2 ）
【标注】
．
∴
解得
．
设
．
∴
解得
．
∴
．
【知识点】分式恒等变形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐
分式”．如：
，则
是“和谐分式”．
下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）．
①
；②
；③
；④
将“和谐分式”
化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
．
应用：先化简
，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
①③④
．
①
，是和谐分式．③
，是和
谐分式．④
，是和谐分式．
故答案为：①③④．
，
故答案为：
．
6
（3 ）
【标注】
原式
.
∴当
或
时，分式的值为整数，
此时
或
或或
，
又∵分式有意义时
、、
、
，
∴
．
【知识点】分式方程的解与解分式方程
【知识点】分式的性质
【思想】类比思想
【思想】整体思想
【能力】分析和解决问题能力
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分
式”．
下列分式: ①
；②
；③
；④
． 其中是“和谐分式”
是 (填写序号即可)．
若为正整数，且
为“和谐分式”，请写出的值．
在化简
时，
小东和小强分别进行了如下三步变形:
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单，
原因是：______________________________．
请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1 ）②．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
，．
利用和谐分式找到了最简公分母；
．
①分子，分母都不可因式分解，不是和谐分式，
②
，是和谐分式，
③
，不是和谐分式，
④
，不是和谐分式．
可因式分解，
①当
是完全平方公式时，
，
②当
可以十字相乘时，
．
原式
．
【知识点】分式加减、乘除、乘方混合运算
