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1
双曲线与圆：代几综合【题集B】
1.
【解析】
【标注】
如图，半径为的⊙
与轴交于点
，
，函数
的图象过点
，则
．
【答案】
连接
，作
，
根据勾股定理可求出
，
根据圆中的垂径定理可知点
，
所以点
的坐标为
，
则
．
【知识点】反比例函数与圆综合
2. 如图，点
是双曲线
（
）上一个动点，点
为线段
的中点，则
的面积最小值
为 ．
2
【标注】
x
y
O
【答案】
【知识点】瓜豆原理（轨迹与最值）：轨迹为其他
3.
【解析】
如图，点
是反比例函数
图象第一象限上一点，过点
作
轴于
点，以
为直
径的圆恰好与轴相切，交反比例函数图象于点
，在
的左侧半圆上有一动点
，连结
交
于点
．记
的面积为
，
的面积为
，若
的值最大为，则的值
为 ．
【答案】
如图连接
、
，作
轴于
．
由题意⊙
与反比例函数图象均关于直线
对称，
∴点
、
关于直线
对称，设
则
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
，
∴四边形
是正方形．
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
3
【标注】
∵
，
的面积是定值，
∴
的面积最大时，
的值最大，
∴当
时，
的面积最大，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为
．
【知识点】反比例函数与圆综合
4.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，若点
、
均在函数
，
的图象上，⊙
与轴相
切，⊙
与轴相切，若点
的坐标为
，⊙
的半径是⊙
的半径的倍，则点
的坐标
为 ．
【答案】
把
的坐标为
代入反比例函数解析式得：
，
则函数的解析式是：
，
∵
的坐标为
，⊙
与轴相切，
∴⊙
的半径是，
则⊙
的半径是，即点
的纵坐标为，
把
代入
得：
，
则
的坐标是
，
故答案为
．
4
【标注】【知识点】反比例函数与圆综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，矩形
的顶点
是函数
与函数
在第二象限的交点，
垂直于
轴于
，
垂直于轴于
，且矩形
的面积为．
求两函数的解析式；
求交点
、
的坐标；
若以
为直径的圆与轴交于
点，求
点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
反比例函数的解析式为
，
一次函数的解析式为
．
点
、
的坐标分别为
，
．
点
的坐标为
，
.
设点
的坐标为
，
∵点
在第二象限，
∴
，
，
又
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
，
一次函数的解析式为
．
由
，
矩形
5
（3 ）
【标注】
解得：
或
，
∴点
、
的坐标分别为
，
.
∵点
、
的坐标分别为
，
，
∴线段
的长为
，
∴以
为直径的圆的半径为
，
∴线段
的中点坐标为：
，
即：
，
设
点的坐标为
，
则
，解得：
，
∴点
的坐标为
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
6.
【解析】
如图，已知点
为反比例函数
（
）图象上一点，⊙
交轴于点
，
，连接
并延长
交⊙
于点
．连接
交反比例函数于点
，当
时，以
为对称轴将
翻折得到
，则
与
重叠部分
的面积是 ．
【答案】
∵
与
关于
对称，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴四边形
是菱形，
∴
，
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
6
【标注】
∵
，
∴
设点
的横坐标为，
∵点
为反比例函数
（
）图象上一点，
∴
（
），
∴
，
，
根据垂径定理可得
，
又∵
，
∴
，
∵点
在反比例函数
（
）图象上，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】反比例函数与圆综合
四边形
（1 ）
7. 在直角坐标系
中，已知点
是反比例函数
（
）图象上一个动点，以
为圆心的圆
始终与轴相切，设切点为
．
如图，⊙
运动到与轴相切，设切点为
，试判断四边形
的形状，并说明理由．
7
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
图
如图，⊙
运动到与轴相交，设交点为
，
．当四边形
是菱形时：
图
求出点
，
，
的坐标．
在过
，
，
三点的抛物线上是否存在点
，使
的面积是菱形
面积的
？若存在，试求出所有满足条件的
点的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
正方形．
，
，
．
存在，
，
，
，
．
四边形
是正方形．
∵⊙
分别与两坐标轴相切，
∴
，
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴四边形
是矩形．
又∵
，
∴四边形
是正方形．
连接
，设点
的横坐标为，则其纵坐标为
．
过点
作
于
．
8
方法一：
2
∵四边形
为菱形，
∴
（半径）．
∴
为等边三角形．
在
中，
，
，
．
，即
．
解之得：
（负值舍去）．
∴
，
．
易知四边形
是矩形，
，
，
∴
，
．
∴
，
，
．
设二次函数解析式为：
．
据题意得：
解之得：
，
，
．
∴二次函数关系式为：
．
设直线
的解析式为：
，据题意得：
，
解之得：
，
．
∴直线
的解析式为：
，
过点
作直线
，
则可得直线
的解析式为：
．
9
方法二：
解方程组：
，
得：
；
．
过点
作直线
，则可设直线
的解析式为：
．
∴
．
∴
．
∴直线
的解析式为：
．
解方程组：
，
得：
；
．
综上可知，满足条件的
的坐标有四个，
分别为：
，
，
，
．
∵
，
∴
，
显然满足条件．
延长
交抛物线于点
，由抛物线与圆的轴对称性可知，
．
又∵
，
∴
．
∴点
的纵坐标为
．
又∵点
的横坐标为
．
∴点
符合要求．
点
的求法同解法一．
综上可知，满足条件的
的坐标有四个，
分别为：
，
，
，
．
平行四边形
平行四边形
10
方法三：
【标注】
延长
交抛物线于点
，由抛物线与圆的轴对称性可知，
．
又∵
，
∴
．
∴点
的纵坐标为
．
即
．
解得：
（舍），
．
∴点
的坐标为
．
点
的求法同解法一．
综上可知，满足条件的
的坐标有四个，
分别为：
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与圆综合
平行四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 已知：如图，直线
与轴负半轴、轴正半轴分别交于点
、
，与双曲线
交于第
一象限内的点
，且
，点
与点
关于轴对称．
图
求的值．
如图，
为轴正半轴上一点，过
、
、
的圆与直线
交于点
，
轴于
，求
的长．
图
如图，
为线段
上一动点，连
，将线段
绕点
顺时针旋转
，
点的对应点为
，直线
与轴交于
，求
的值．
11
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
如图，过
作
轴，
∵直线
与、轴分别交于点
、
，与双曲线
交
于点
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
由条件可知
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，代入
，得
．
如图，连接
、
，过
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵在
和
中，
12
图
（3 ）
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
．
如图，连接
、
，过
作
轴于点
，
∵
，
，
∴
，
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵将线段
绕点
顺时针旋转
，
点的对应点为
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】反比例函数与三角形的全等
9. 如图，
过
，
，半径
，双曲线
（
）恰好经过
点，则
的值是 ．
，
13
【标注】
x
y
O
【答案】
【知识点】反比例函数与圆综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10.
方法一：
（1 ）
【解析】
如图，点
在反比例函数
的图象上，点
在反比例函数
的图象
上，作正方形
，且正方形
的四边分别与坐标轴平行，边
与轴交于点
，边
与
轴交于点
．
求
的度数．
求
的面积最小值．
当
的面积最小时，求
外接圆的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的外接圆的半径是．
如图，
14
方法二：
（2 ）
（3 ）
设矩形
，矩形
的面积分别为，，
由题知：
，
，
，
∴
，
将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
作
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
在
的平分线上，
又
，
∴
．
设
，由
，得
，即
，
∴
，
则
，
由正方形的基本模式得
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
（当
时，取
）．
当
的面积最小时，
≌
，矩形
，矩形
均为正方形，
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
即
的外接圆的半径是．
矩形
，
矩形
15
【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
11.
【解析】
【标注】
如图，圆
的半径为，圆心
在函数
图象上运动，当圆
与坐标轴相切时，点
的
坐标为 ．
【答案】
或
当点
的横坐标或者纵坐标为时，满足题意．
则点
的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与圆综合
A.
B.
C.
D.
12.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，⊙
切轴于点
，且点
在反比例函数
的图象
上，连接
交⊙
于点
，且点
为
中点，则图中阴影部分的面积为( ) ．
【答案】D
连接
，
，
16
【标注】
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
，
∵点
为
中点，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：
．
【知识点】反比例函数与圆综合
扇形
阴影
扇形
