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重难点专题13 一次函数与反比例函数综合
重难点一 一次函数与反比例函数图象的综合判断
1.根据一次函数y = kx + b中k、b的正负判断直线经过的象限；
2.根据反比例函数y =
m
x中m的正负判断双曲线分布象限，
3.结合增减性、图象趋势、交点位置相互验证，排除矛盾选项，快速判定图象正误。
1．已知𝑘≠0，则反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥和一次函数𝑦= −2𝑘𝑥+ 3的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分𝑘> 0和𝑘< 0两种情况，进行讨论，判断即可.
【详解】解：当𝑘> 0时，则−2𝑘< 0，则双曲线过一、三象限，
∵−2𝑘< 0，3 > 0，则直线过一、二、四象限；
当𝑘< 0时，则−2𝑘> 0，则双曲线过二、四象限，
∵−2𝑘> 0，3 > 0，则直线过一、二、三象限；
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观察可知，只有选项C 的图象符合题意.
2．函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘与𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据𝑘的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：①当𝑘> 0时，则−𝑘< 0，
∴反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象在第一、三象限，一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当𝑘< 0时，则−𝑘> 0，
∴反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象在第二、四象限，一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
3．反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥与一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直
线的方向以及与y 轴交点、双曲线的位置决定系数k 的符号．是解题的关键．
由图象结合性质判断反比例函数中的k 和一次函数中的k 的值是否一致即可判断．
【详解】
解：A、
，
反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥图象在第一、三象限，
则𝑘> 0，
一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘图象经过一、三、四象限，与y 轴交于负半轴，
则𝑘> 0，−𝑘< 0，即𝑘> 0，
k 的取值相同，故此选项正确；
B、
反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥图象在第二、四象限，
则𝑘< 0，
一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘图象经过二、三、四象限，与y 轴交于负半轴，
则𝑘< 0，−𝑘< 0，即𝑘> 0，
k 的取值不同，故此选项错误；
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C、
反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥图象在第二、四象限，
则𝑘< 0，
一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘图象经过一、三、四象限，与y 轴交于负半轴，
则𝑘> 0，−𝑘< 0，即𝑘> 0，
k 的取值不同，故此选项不正确；
D、
反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥图象在第一、三象限，
则𝑘> 0，
一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘图象经过一、三象限，过原点，
则𝑘> 0，−𝑘= 0，
k 的取值不同，故此选项错误．
故选：A．
4．已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象如图，那么正比例函数𝑦= 𝑘𝑥和反比例函数𝑦=
𝑏
𝑥在同一坐标系中的图
象大致是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象可以确定k、b
的符号，根据k、b 的符号来判定正比例函数𝑦= 𝑘𝑥和反比例函数𝑦=
𝑏
𝑥图象所在的象限即可．
【详解】解：如图所示，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过第一、三、四象限，
∴𝑘> 0，𝑏< 0，
∴正比例函数𝑦= 𝑘𝑥的图象经过第一、三象限，反比例函数𝑦=
𝑏
𝑥的图象经过第二、四象限，
综上所述，符合条件的图象是C 选项，
故选：C．
5．𝑦= 𝑚𝑥−𝑚和𝑦= −
𝑚
𝑥(𝑚≠0)在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系
是解题的关键．
分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m 的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意．
【详解】解：A．由一次函数𝑦= 𝑚𝑥−𝑚的图像可知𝑚> 0，由反比例函数𝑦= −
𝑚
𝑥(𝑚≠0)图像可知𝑚<
0，存在矛盾，不符合题意；
B．由一次函数𝑦= 𝑚𝑥−𝑚的图像可知𝑚> 0，由反比例函数𝑦= −
𝑚
𝑥(𝑚≠0)图像可知𝑚> 0，不存在矛
盾，符合题意；
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C．由一次函数𝑦= 𝑚𝑥−𝑚的增减性来看𝑚< 0，又其与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即−𝑚< 0，即𝑚>
0存在矛盾，不符合题意；
D．由一次函数𝑦= 𝑚𝑥−𝑚的增减性来看𝑚< 0，又其与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即−𝑚< 0，即𝑚>
0存在矛盾，不符合题意．
故选B．
重难点二 根据一次函数与反比例函数交点求代数式的值
1.若交点(x0, y0)同时在两个函数图象上，则同时满足y0 = kx0 + b、y0 =
m
x0，可得核心隐含条件x0y0 =
m；
2.直接将交点坐标满足的关系式整体代入所求代数式，采用整体代换思想化简求值，无需单独求未知
数。
1．如图，在平面直角坐标系中，函数𝑦=
6
𝑥与𝑦= 𝑥−1图像交于点𝑃(𝑚, 𝑛)，则代数式
1
𝑚−
1
𝑛的值为（ ）
A．−
5
6
B．
5
6
C．−
1
6
D．
1
6
【答案】C
【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可．
【详解】解：因为点𝑃(𝑚, 𝑛)是函数𝑦=
6
𝑥与𝑦= 𝑥−1图像的交点，
将点𝑃(𝑚, 𝑛)代入𝑦=
6
𝑥，可得𝑛=
6
𝑚，变形得到𝑚𝑛= 6，
将点𝑃(𝑚, 𝑛)代入𝑦= 𝑥−1，可得𝑛= 𝑚−1，移项得到𝑛−𝑚= −1，
所以
1
𝑚−
1
𝑛=
𝑛−𝑚
𝑚𝑛=
−1
6 = −
1
6．
2．反比例函数𝑦= −
8
𝑥(𝑥< 0)与一次函数𝑦= −4𝑥+ 1的图象交于点𝐴(𝑚, 𝑛)，则代数式
1
𝑚+
4
𝑛的值是（ ）
A．−
1
8
B．
1
4
C．−4
D．2
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例
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函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
根据反比例函数𝑦= −
8
𝑥(𝑥< 0)的图象与一次函数𝑦= −4𝑥+ 1的图象交于点𝐴(𝑚, 𝑛)，得到𝑚𝑛= −8, 𝑛=
−4𝑚+ 1，利用整体思想代入
1
𝑚+
4
𝑛，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数𝑦= −
8
𝑥(𝑥< 0)的图象与一次函数𝑦= −4𝑥+ 1的图象交于点𝐴(𝑚, 𝑛)，
∴𝑚𝑛= −8, 𝑛= −4𝑚+ 1，
∴4𝑚+ 𝑛= 1，
∴
1
𝑚+
4
𝑛=
𝑛
𝑚𝑛+
4𝑚
𝑚𝑛
= 4𝑚+ 𝑛
𝑚𝑛
= −
1
8；
故选：A．
3．点𝑃(𝑚, 𝑛)在一次函数𝑦= 𝑥+ 4上，也在反比例函数𝑦=
2
𝑥上，则𝑚2 + 𝑛2的值为________．
【答案】20
【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到𝑚, 𝑛的关系式与𝑚𝑛的值，再利用完全平方公式变
形计算得到结果.
【详解】解：∵点𝑃(𝑚, 𝑛)在一次函数𝑦= 𝑥+ 4上，
∴将𝑃(𝑚, 𝑛)代入𝑦= 𝑥+ 4得𝑛= 𝑚+ 4，整理得𝑛−𝑚= 4，
∵点𝑃(𝑚, 𝑛)在反比例函数𝑦=
2
𝑥上，
∴将𝑃(𝑚, 𝑛)代入𝑦=
2
𝑥得𝑛=
2
𝑚，整理得𝑚𝑛= 2，
∴𝑚2 + 𝑛2 = (𝑛−𝑚)2 + 2𝑚𝑛= 42 + 2 × 2 = 16 + 4 = 20.
4．若直线𝑦= 𝑎𝑥(𝑎≠0)与双曲线𝑦= −
3
𝑥交于(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)两点，则−2𝑥1𝑦2 + 5𝑥2𝑦1的值为______．
【答案】9
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知
𝑥1 = −𝑥2，𝑦1 = −𝑦2，代入代数式解题即可．
【详解】解：∵直线𝑦= 𝑎𝑥(𝑎≠0)与双曲线𝑦= −
3
𝑥交于(𝑥1, 𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)两点，
∴𝑥1 = −𝑥2，𝑦1 = −𝑦2，𝑥2𝑦2 = −3
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∴−2𝑥1𝑦2 + 5𝑥2𝑦1 = 2𝑥2𝑦2 −5𝑥2𝑦2 = −3𝑥2𝑦2 = −3 × (−3) = 9，
故答案为：9．
5．如图，反比例函数𝑦=
3
𝑥与直线𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)交于A、B 两点，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则4𝑥1𝑦2 −
𝑥2𝑦1 =_________．
【答案】−9
【分析】根据反比例函数图象与正比例函数图象的对称性，可知交点𝐴与点𝐵关于原点对称，从而得出𝑥1 =
−𝑥2，𝑦1 = −𝑦2，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到𝑥1𝑦1 = 3，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵反比例函数𝑦=
3
𝑥与直线𝑦= 𝑘𝑥的图象均关于原点对称
∴它们的交点𝐴(𝑥1,𝑦1)与𝐵(𝑥2,𝑦2)关于原点对称
∴𝑥2 = −𝑥1，𝑦2 = −𝑦1
∵点𝐴(𝑥1,𝑦1)在反比例函数𝑦=
3
𝑥的图象上
∴𝑥1𝑦1 = 3
∴4𝑥1𝑦2 −𝑥2𝑦1
= 4𝑥1(−𝑦1) −(−𝑥1)𝑦1
= −4𝑥1𝑦1 + 𝑥1𝑦1
= −3𝑥1𝑦1
= −3 × 3
= −9．
6．若函数𝑦=
6
𝑥的图像与函数𝑦= 2𝑥−3的图像相交于点(𝑎, 𝑏)，则代数式
𝑏
2𝑎−
2𝑏−2𝑎
𝑏
的值为______．
【答案】
3
4/0.75
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的
特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到𝑎𝑏= 6，2𝑎−𝑏= 3，代入分式
𝑏
2𝑎−
2𝑏−2𝑎
𝑏
=
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(2𝑎−𝑏)2
2𝑎𝑏中求解即可．
【详解】解：∵函数𝑦=
6
𝑥的图像与函数𝑦= 2𝑥−3的图像相交于点(𝑎, 𝑏)，
∴𝑎𝑏= 6，𝑏= 2𝑎−3，即2𝑎−𝑏= 3，
∴
𝑏
2𝑎−
2𝑏−2𝑎
𝑏
= 𝑏2 −4𝑎𝑏+ 4𝑎2
2𝑎𝑏
=
(2𝑎−𝑏)2
2𝑎𝑏
=
32
2 × 6
=
3
4，
故答案为：
3
4．
7．如图，点A 在直线𝑦= 𝑥上，𝐴𝐵⊥𝑥轴于点B，点C 在线段𝐴𝐵上，以𝐴𝐶为边作正方形𝐴𝐶𝐷𝐸，点D 恰
好在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（k 为常数，𝑘≠0）第一象限的图象上，连接𝐴𝐷．
（1）若𝑂𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，则𝑘=______；
（2）若𝑘= 7，则𝑂𝐴2 −𝐴𝐷2 =______．
【答案】 16 14
【分析】（1）根据𝑂𝐵= 𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3可以计算出点𝐷的坐标为(8,2)，进而计算出𝑘的值；
（2）设正方形的边长为𝑎，𝐴(𝑡, 𝑡)，则𝑂𝐵= 𝐴𝐵= 𝑡，𝐴𝐶= 𝐶𝐷= 𝑎，利用等腰直角三角形的性质得𝑂𝐴=
√2𝑡，𝐴𝐷= √2𝑎，点𝐷在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象上，𝑘= 7，可得𝑡2 −𝑎2 = 7，再代入计算𝑂𝐴2 −𝐴𝐷2．
【详解】解：（1）∵点A 在直线𝑦= 𝑥上，𝐴𝐵⊥𝑥，
∴𝑥𝐴= 𝑦𝐴，即𝑂𝐵= 𝐴𝐵，
∵𝑂𝐵= 𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= 5 −3 = 2，𝐷点的横坐标为：5 + 3 = 8，
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点𝐷的坐标为：(8,2)，
∴𝑘= 8 × 2 = 16．
故答案为：16；
（2）设正方形的边长为𝑎，𝐴𝐶= 𝐶𝐷= 𝑎，
则𝐴(𝑡, 𝑡)，𝑂𝐵= 𝐴𝐵= 𝑡，
∴𝑂𝐴= √2𝑡，𝐴𝐷= √2𝑎，
∵点𝐷在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象上，𝑘= 7，
∴(𝑡+ 𝑎)(𝑡−𝑎) = 7，即𝑡2 −𝑎2 = 7，
∴𝑂𝐴2 −𝐴𝐷2 = (√2𝑡)2 −(√2𝑎)2 = 2(𝑡2 −𝑎2) = 14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直
角三角形的判定和性质．
重难点三 一次函数与反比例函数相交中的面积问题
1.先联立方程组{
y = kx + b
y =
m
x
求出两函数交点坐标，利用直线与坐标轴交点分割图形；
2.运用铅垂高面积公式S =
1
2 × 水平宽× 铅垂高或坐标面积公式S =
1
2 |x1y2 −x2y1|；
3.通过面积和差计算不规则图形面积。
1．在坐标系中有函数𝑦=
3
𝑥与函数𝑦= 𝑥+ 2相交于A、B 两点，分别连接坐标原点C，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）
A．4
B．
9
2
C．3
D．
3
2
【答案】A
【分析】首先，设函数𝑦= 𝑥+ 2的图象与y 轴交于点D，根据函数𝑦=
3
𝑥与函数𝑦= 𝑥+ 2相交于A、B 两
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点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点𝐴, 𝐵的坐标，然后求得𝐶𝐷的长，最后，由
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷即可求得结果．
【详解】解：如图，设函数𝑦= 𝑥+ 2的图象与y 轴交于点D，
∵函数𝑦=
3
𝑥与函数𝑦= 𝑥+ 2相交于A、B 两点，
∴{
𝑦=
3
𝑥
𝑦= 𝑥+ 2
，
解得{𝑥1 = −3
𝑦1 = −1
，{𝑥2 = 1
𝑦2 = 3
，
∴𝐴(−3,−1)，𝐵(1,3)，
将𝑥= 0代入函数𝑦= 𝑥+ 2，得𝑦= 2，
∴𝐷(0,2)，
∴𝐶𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷· |𝑥𝐴| +
1
2 𝐶𝐷· |𝑥𝐵| =
1
2 × 2 × 3 +
1
2 × 2 × 1 = 4．
2．如图，已知一次函数𝑦= 𝑥+ 6的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象在第二象限分别交于点𝐴和点𝐵，过点𝐴
和点𝐵作𝑥轴的垂线，垂足分别为点𝐷和点𝐶．当四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为12 时，则𝑘=（ ）
A．−4
B．−5
C．−6
D．−7
【答案】B
【分析】设𝐴(𝑥1,𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)，则𝑘= 𝑥1𝑦1 = 𝑥2𝑦2，𝑦1 = 𝑥1 + 6，𝑦2 = 𝑥2 + 6，根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积
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为12，得出𝑥1 −𝑥2 = 4，联立{
𝑦= 𝑥+ 6
𝑦=
𝑘
𝑥
得出𝑥2 + 6𝑥−𝑘= 0，根据根与系数的关系得出𝑥1 + 𝑥2 =
−6,𝑥1𝑥2 = −𝑘，代入𝑥1 −𝑥2 = 4进行求解即可．
【详解】解：设𝐴(𝑥1,𝑦1), 𝐵(𝑥2,𝑦2)，
∴𝑘= 𝑥1𝑦1 = 𝑥2𝑦2，𝑦1 = 𝑥1 + 6，𝑦2 = 𝑥2 + 6．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为12，
∴
1
2 (𝐵𝐶+ 𝐴𝐷) ⋅𝐶𝐷=
1
2 (𝑦1 + 𝑦2) ⋅(𝑥1 −𝑥2) = 12．
∴𝑦2𝑥1 −𝑥2𝑦2 + 𝑥1𝑦1 −𝑦1𝑥2 = 24，
∴𝑦2𝑥1 −𝑦1𝑥2 = 24，
∴(𝑥2 + 6)𝑥1 −(𝑥1 + 6)𝑥2 = 24，
∴𝑥2𝑥1 + 6𝑥1 −𝑥1𝑥2 −6𝑥2 = 24，化简整理得𝑥1 −𝑥2 = 4，
又联立{
𝑦= 𝑥+ 6
𝑦=
𝑘
𝑥
，消去𝑦得：𝑥2 + 6𝑥−𝑘= 0，
∴𝑥1和𝑥2是方程𝑥2 + 6𝑥−𝑘= 0的两根．
由一元二次方程根与系数的关系可知𝑥1 + 𝑥2 = −6, 𝑥1𝑥2 = −𝑘，
∴(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = 16，
∴36 + 4𝑘= 16，
解得𝑘= −5．
3．如图，直线𝑦=
1
2 𝑥+ 2与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象交于𝐶 ，𝐷两点，𝐶𝐸⊥𝑥
轴，垂足为𝐸，连接𝐷𝐸．若𝑂𝐴= 2𝑂𝐸，则△𝐶𝐷𝐸的面积是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．24
【答案】B
【分析】先利用一次函数求出点𝐴的坐标，由𝑂𝐴= 2𝑂𝐸推出点𝐸的坐标，再次利用一次函数求出点𝐶的坐
标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点𝐷的坐标，最后利用割补法求出△
𝐶𝐷𝐸的面积．
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【详解】解：将𝑦= 0代入𝑦=
1
2 𝑥+ 2，得𝑥= −4，
∴点𝐴的坐标为(−4,0)，
∴𝑂𝐴= 4，
∵𝑂𝐴= 2𝑂𝐸，
∴𝑂𝐸= 2，𝐴𝐸= 6，
∴点𝐸的坐标为(2,0)，
∵𝐶𝐸⊥𝑥轴，
∴𝑥𝐶= 𝑥𝐸= 2，
将𝑥= 2代入𝑦=
1
2 𝑥+ 2，得𝑦= 3，
∴点𝐶的坐标为(2,3)，
将点𝐶(2,3)代入𝑦=
𝑘
𝑥，得𝑘= 6，
∴反比例函数的解析式为𝑦=
6
𝑥，
联立一次函数与反比例函数得，
{
𝑦=
1
2 𝑥+ 2
𝑦=
6
𝑥
，
解得{𝑥= 2
𝑦= 3
或{𝑥= −6
𝑦= −1
，
∴点𝐷的坐标为(−6,−1)，
𝑆△𝐶𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2 𝐴𝐸⋅|𝑦𝐷| +
1
2 𝐴𝐸⋅|𝑦𝐶| =
1
2 × 6 × 1 +
1
2 × 6 × 3 = 3 + 9 = 12．
4．如图，函数𝑦= −2𝑥与函数𝑦= −
6
𝑥的图象相交于A，B 两点，过A，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分
别为点C，D，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为________．
【答案】12
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【分析】根据题意，得{
𝑦= −2𝑥
𝑦= −
6
𝑥
，解得{ 𝑥= √3
𝑦= −2√3
或{𝑥= −√3
𝑦= 2√3
，故𝐵(√3,−2√3)，𝐴(−√3,2√3)， 得到
𝑂𝐶= 𝑂𝐷= 2√3，𝐴𝐶= 𝐵𝐷= √3，根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积等于𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握交点坐标的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得{
𝑦= −2𝑥
𝑦= −
6
𝑥
，
解得{ 𝑥= √3
𝑦= −2√3
或{𝑥= −√3
𝑦= 2√3
，
故𝐵(√3, −2√3)，𝐴(−√3, 2√3)，
故𝑂𝐶= 𝑂𝐷= 2√3，𝐴𝐶= 𝐵𝐷= √3，
故四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积等于𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷
=
1
2 𝐶𝐷· 𝐴𝐶+
1
2 𝐶𝐷· 𝐵𝐷= [2√3 −(−2√3)] × √3 = 12，
故答案为：12．
5．如图，正比例函数𝑦=
1
2 𝑥与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘> 0)的图象交于点𝐴(𝑚, 2)，若把直线𝑦=
1
2 𝑥向上平移3
个单位长度与𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘> 0)交于点B，连接𝐴𝐵、𝑂𝐵，则△𝐴𝑂𝐵的面积为______．
【答案】6
【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，把𝐴(𝑚, 2)代入𝑦=
1
2 𝑥，求出
𝐴点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出平移后的直线的解析式，进而求出点𝐵的坐标，作𝐴𝐶⊥𝑥
轴，𝐵𝐷⊥𝑥轴，推出△𝐴𝑂𝐵的面积等于梯形𝐵𝐷𝐶𝐴的面积，进行求解即可．
【详解】解：把𝐴(𝑚, 2)代入𝑦=
1
2 𝑥，得：𝑚= 4，
∴𝐴(4,2)，
∴𝑘= 2 × 4 = 8，
∴𝑦=
8
𝑥，
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∵把直线𝑦=
1
2 𝑥向上平移3 个单位长度，得到𝑦=
1
2 𝑥+ 3，
∴联立{
𝑦=
1
2 𝑥+ 3
𝑦=
8
𝑥
，解得：{𝑥= 2
𝑦= 4
或{𝑥= −8
𝑦= −1
，
∴𝐵(2,4)，
作𝐴𝐶⊥𝑥轴，𝐵𝐷⊥𝑥轴，则：𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐶=
𝑘
2 = 4，
则：𝐴𝐶= 2, 𝐵𝐷= 4, 𝐶𝐷= 4 −2 = 2，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐵𝑂𝐷+ 𝑆四边形𝐵𝐷𝐶𝐴−𝑆△𝐴𝑂𝐶
= 𝑆四边形𝐵𝐷𝐶𝐴=
1
2 × (2 + 4) × 2 = 6；
故答案为：6．
6．如图，一次函数𝑦= 3𝑥+ 𝑏 的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0 ）的图象交于点𝐴(2,3)，与𝑥轴交于点
𝐶 ．在反比例函数图象上有一点𝐵(−3, 𝑚)，过点𝐵 作𝐵𝐷⊥𝑥 轴于点𝐷 ，连接𝐴𝐷 ，𝐵𝐶 ．
(1)求一次函数𝑦= 3𝑥+ 𝑏 与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0 ）的表达式；
(2)求四边形𝐵𝐷𝐴𝐶 的面积．
【答案】(1)𝑦= 3𝑥−3，𝑦=
6
𝑥 (2)10
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
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（2）求得点𝐵(−3,−2)，点𝐶(1,0)，过点𝐴 作𝐴𝐸⊥𝑥 轴于点𝐸 ，则𝐸𝐴= 3 ，根据𝑆四边形𝐵𝐷𝐴𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐷+
𝑆△𝐴𝐶𝐷，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴(2,3)在一次函数𝑦= 3𝑥+ 𝑏 的图象上，
∴3 × 2 + 𝑏= 3 ，
∴𝑏= −3 ，
∴一次函数的表达式为𝑦= 3𝑥−3；
∵点𝐴(2,3)在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象上，
∴𝑘= 2 × 3 = 6 ，
∴反比例函数的表达式为𝑦=
6
𝑥；
（2）解：∵点𝐵(−3,𝑚)在反比例函数𝑦=
6
𝑥的图象上，
∴𝑚= −2 ，
∴点𝐵(−3,−2)，
∵𝐵𝐷⊥𝑥 轴于点𝐷 ，
∴𝐷𝑂= 3 ，𝐵𝐷= 2 ．
∵一次函数𝑦= 3𝑥−3与𝑥轴交于点𝐶 ，
令3𝑥−3 = 0，解得𝑥= 1，
∴点𝐶(1,0)，
∴𝑂𝐶= 1 ，
∴𝐷𝐶= 3 + 1 = 4 ，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐷𝐶⋅𝐵𝐷=
1
2 × 4 × 2 = 4 ．
过点𝐴 作𝐴𝐸⊥𝑥 轴于点𝐸 ，则𝐸𝐴= 3 ，
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∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐷𝐶⋅𝐸𝐴=
1
2 × 4 × 3 = 6 ，
∴𝑆四边形𝐵𝐷𝐴𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 4 + 6 = 10 ．
7．如图，反比例函数𝑦=
𝑘1
𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏的图象分别相交于点𝐴(1,2)和点𝐵(𝑚, −1)，将点
𝐵向右平移4 个单位长度后得到点𝐶，线段𝐵𝐶与𝑦轴相交于点𝐷，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷．
(1)求反比例函数𝑦=
𝑘1
𝑥与一次函数𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏的表达式．
(2)求△𝐴𝐶𝐷的面积．
【答案】(1)𝑦=
2
𝑥，𝑦= 𝑥+ 1 (2)3
【分析】（1）将点𝐴(1,2)代入𝑦=
𝑘1
𝑥求出𝑘1 = 2，得出反比例函数解析式，再将点𝐵(𝑚, −1)代入反比例函数
解析式求出𝐵(−2, −1)，最后将𝐴(1,2)，𝐵(−2, −1)代入一次函数解析式利用待定系数法求解即可；
（2）根据平移的性质得出𝐶(2,−1)，𝐷(0,−1)，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵𝐴(1,2)，
∴代入𝑦=
𝑘1
𝑥得
𝑘1
1 = 2，即𝑘1 = 2，
∴𝑦=
2
𝑥，
将点𝐵(𝑚, −1)代入𝑦=
2
𝑥可得
2
𝑚= −1，
解得：𝑚= −2，
∴𝐵(−2, −1)，
将𝐴，𝐵代入𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏得{
𝑘2 + 𝑏= 2
−2𝑘2 + 𝑏= −1
，
解得：𝑘2 = 1，𝑏= 1，
∴𝑦= 𝑥+ 1．
（2）解：根据平移可得𝐵𝐶∥𝑥轴，
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∴𝐶(2, −1)，𝐷(0, −1)，
∴𝐶𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅|𝑦𝐴−𝑦𝐵| =
1
2 × 2 × [2 −(−1)] =
1
2 × 2 × 3 = 3．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= −2𝑥与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象的交点为𝐴(−1,𝑛)，𝐵．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点𝑃(𝑚, −1)是反比例函数图象上的点，过点𝑃作𝑃𝑄∥𝑦轴，交一次函数𝑦= −2𝑥的图象于点𝑄，求线段𝑃𝑄
的长；
(3)在𝑥轴上找一点𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶的面积为8，求点𝐶的坐标．
【答案】(1)𝑦= −
2
𝑥
(2)3
(3)𝐶(4,0)或(−4,0)
【分析】（1）把点A 的坐标代入一次函数解析式中，求得点A 的坐标，再代入反比例函数解析式中求得k
的值，即可求解；
（2）由点P 的坐标及𝑃𝑄∥𝑦轴，可求得点Q 的坐标，即可求得线段𝑃𝑄的长；
（3）求出点B 的坐标，设𝐶(𝑥，0)，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝑂𝐴𝐶+ 𝑆△𝑂𝐵𝐶即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数𝑦= −2𝑥与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象的交点为𝐴(−1, 𝑛)，
∴𝑛= −2 × (−1) = 2，
∴𝐴(−1,2)，
∴2 =
𝑘
−1，
∴𝑘= −2，
∴反比例函数解析式为𝑦= −
2
𝑥；
（2）解：∵𝑃(𝑚, −1)是反比例函数图象上的点，
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∴−1 = −
2
𝑚，
∴𝑚= 2，即𝑃(2,−1)；
∵𝑃𝑄∥𝑦轴，
∴点𝑄的横坐标为2，
∴𝑦= −2 × 2 = −4，
即𝑄(2, −4)，
∴𝑃𝑄= −1 −(−4) = 3；
（3）解：解{
𝑦= −2𝑥
𝑦= −
2
𝑥
，得{ 𝑥= 1
𝑦= −2
或{𝑥= −1
𝑦= 2
，
∴𝐵(1,−2)，
设𝐶(𝑥，0)，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝑂𝐴𝐶+ 𝑆△𝑂𝐵𝐶，
∴8 =
1
2 |𝑥| × 2 +
1
2 |𝑥| × 2，
解得𝑥= ±4，
∴𝐶(4,0)或(−4,0)．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵分别与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴，𝐵，与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘> 0）的图
象交于点𝐶．已知点𝐴的坐标为(−3,0)，点𝐶的坐标为(1,8)，点𝐷在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘> 0）的图象上，
纵坐标为3．
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(1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点𝐵的坐标；
(2)连接𝐵𝐷，𝑂𝐷，求四边形𝐴𝐵𝐷𝑂的面积．
【答案】(1)𝑦=
8
𝑥，𝑦= 2𝑥+ 6，(0,6) (2)17
【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可；
（2）根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝑂= 𝑆△𝐴𝐵𝑂+ 𝑆△𝐵𝐷𝑂，解答即可；
【详解】（1）解：反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘> 0）经过点𝐶(1,8)，
∴8 =
𝑘
1，
解得𝑘= 8，
故反比例函数的解析式为𝑦=
8
𝑥；
设𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
根据题意，得{ 𝑘+ 𝑏= 8
−3𝑘+ 𝑏= 0
，
解得{𝑘= 2
𝑏= 6
，
∴𝐴𝐵的解析式为𝑦= 2𝑥+ 6，
当𝑥= 0时，𝑦= 6，
故点B 的坐标为(0,6)；
（2）解：点𝐷在反比例函数𝑦=
8
𝑥的图象上，且纵坐标为3，
∴3 =
8
𝑥，
解得𝑥=
8
3，
∵𝐴(−3,0),𝐵(0,6)，
∴𝑂𝐴= 3, 𝑂𝐵= 6，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝑂= 𝑆△𝐴𝐵𝑂+ 𝑆△𝐵𝐷𝑂
= 1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵+ 1
2 𝑂𝐵⋅𝑥𝐷
=
1
2 × 3 × 6 +
1
2 ×
8
3 × 6 = 9 + 8 = 17．
重难点四 一次函数与反比例函数综合中的不等式解集问题
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1.以两个函数交点的横坐标为分界点，划分自变量区间；
2.遵循图象在上，函数值更大的原则，直接观察图象位置高低；
3.写出kx + b >
m
x或kx <
m
x对应的x取值范围，注意区分左右区间、正负区间，取舍完整解集。
1．一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与反比例函数𝑦=
𝑛
𝑥交于𝐴(−2,2)、𝐵(1, −4)，当𝑘𝑥+ 𝑏<
𝑛
𝑥时， x 的取值范围是
（ ）
A．𝑥< −2或0 < 𝑥< 1
B．−2 < 𝑥< 0或𝑥> 1 C．𝑥< −2或𝑥> 1
D．−2 < 𝑥<
1
【答案】B
【分析】不等式𝑘𝑥+ 𝑏<
𝑛
𝑥表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得
到𝑥的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数𝑦=
𝑛
𝑥的图象过点𝐴(−2,2)，
∴𝑛= 𝑥𝑦= −2 × 2 = −4，
∴反比例函数的表达式为𝑦= −
4
𝑥，其函数图象分别位于第二、四象限；
把𝐴(−2,2)，𝐵(1,−4)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，得{−2𝑘+ 𝑏= 2
𝑘+ 𝑏= −4
，
解得{𝑘= −2
𝑏= −2
，即一次函数的表达式为𝑦= −2𝑥−2．
∴反比例函数𝑦= −
4
𝑥与一次函数𝑦= −2𝑥−2的图象如图所示：
由图象可知，当−2𝑥−2 < −
4
𝑥时，𝑥的取值范围是−2 < 𝑥< 0或𝑥> 1．
2．一次函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏和反比例函数𝑦2 =
𝑘2
𝑥的图象如图所示，若𝑦1 > 𝑦2，则𝑥的取值范围是（ ）
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A．−1 < 𝑥< 0或𝑥> 7
B．−1 < 𝑥< 7
C．𝑥< −1或𝑥> 7
D．𝑥< −1或0 < 𝑥< 7
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，当𝑥< −1或0 < 𝑥< 7时，一次函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏的图象在反比例函数𝑦2 =
𝑘2
𝑥的图象上方，
则𝑦1 > 𝑦2时，𝑥的取值范围是𝑥< −1或0 < 𝑥< 7．
3．如图，直线𝑦= −𝑥+ 𝑚与双曲线𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘< 0)交于点𝐴(−1,3)和点𝐵，则不等式−𝑥+ 𝑚<
𝑘
𝑥的解集是
（ ）
A．𝑥< −1或𝑥> 3
B．−1 < 𝑥< 3
C．−1 < 𝑥< 0或𝑥> 3
D．𝑥< −1或0 < 𝑥< 3
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求
出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出𝐵点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是
解题的关键．
【详解】解：把𝐴(−1,3)代入𝑦= −𝑥+ 𝑚得，3 = 1 + 𝑚，
∴𝑚= 2，
∴一次函数为𝑦= −𝑥+ 2，
把𝐴(−1,3)代入𝑦=
𝑘
𝑥得，3 =
𝑘
−1，
∴𝑘= −3，
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∴反比例函数为𝑦=
−3
𝑥，
由{
𝑦= −𝑥+ 2
𝑦=
−3
𝑥
，解得{𝑥= −1
𝑦= 3
或{ 𝑥= 3
𝑦= −1
，
∴𝐵(3,−1)，
由图象可得，当−1 < 𝑥< 0或𝑥> 3时，−𝑥+ 𝑚<
𝑘
𝑥，
故选：C．
4．反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象交于𝐴，𝐵两点，点𝐴的坐标为(2,4)，点𝐵的坐标
为(𝑛, 1)．不等式𝑘𝑥+ 𝑏−
𝑚
𝑥< 0的解集是（ ）
A．0 < 𝑥< 2
B．𝑥> 8
C．0 < 𝑥< 2或𝑥> 8
D．2 < 𝑥< 8
【答案】C
【分析】首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把𝐵的坐标代入求得𝑛的值，观察图象，写出
反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把点𝐴(2,4)的坐标代入𝑦=
𝑚
𝑥得𝑚= 8．
∴反比例函数表达式为𝑦=
8
𝑥．
把点𝐵(𝑛, 1)的坐标代入𝑦=
8
𝑥，得𝑛= 8．
∴𝐵点坐标为(8,1)．
∵𝑘𝑥+ 𝑏−
𝑚
𝑥< 0，即：𝑘𝑥+ 𝑏<
𝑚
𝑥
由图象得，不等式𝑘𝑥+ 𝑏<
𝑚
𝑥的解集为0 < 𝑥< 2或𝑥> 8，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后求出交点的坐
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标，体现了数形结合的思想．
5．如图，一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象交于M、N 两点，观察图象知，不等式
𝑎𝑥+ 𝑏<
𝑘
𝑥的解集为_______．
【答案】−4 < 𝑥< 0或𝑥> 2
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
先求得n 的值，然后观察函数图象即可求解．
【详解】解：由题意可得−2𝑛= −4 × 1，
解得𝑛= 2，
∴𝑁(2, −2)，
观察图像可得，当−4 < 𝑥< 0或𝑥> 2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴不等式𝑎𝑥+ 𝑏<
𝑘
𝑥的解集为−4 < 𝑥< 0或𝑥> 2，
故答案为：−4 < 𝑥< 0或𝑥> 2．
6．如图，一次函数𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏与反比例函数𝑦=
𝑘2
𝑥的图像交于𝐴、𝐵两点，其横坐标分别为1 和3，则关
于𝑥的不等式𝑘1𝑥+ 𝑏−
𝑘2
𝑥< 0的解集是______．
【答案】1 < 𝑥< 3或𝑥< 0
【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知，关于𝑥的不等式𝑘1𝑥+ 𝑏−
𝑘2
𝑥< 0的解集是1 < 𝑥< 3或𝑥< 0．
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7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数𝑦= 4𝑥的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象相交于A、B 两点，
过点A 作𝐴𝐶⊥𝑥轴于点C，过点B 作𝐵𝐷⊥𝑥轴于点D，连结𝐴𝐷、𝐵𝐶．四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积为8．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当4𝑥≤
𝑘
𝑥时，x 的取值范围．
【答案】(1)𝑦=
4
𝑥
(2)𝑥≤−1或0 < 𝑥≤1
【分析】（1）可证明四边形𝐴𝐶𝐵𝐷是平行四边形，则𝑆△𝐴𝑂𝐶=
1
4 𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 2，𝑘= 2𝑆△𝐴𝑂𝐶= 4，则题目
可解；
（2）观察图像得不等式的解集；
【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴点A 与点B 关于原点中心对称．
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵．
∵𝐴𝐶⊥𝑥轴于点C，𝐵𝐷⊥𝑥轴于点D，
∴∠𝐴𝐶𝑂= ∠𝐵𝐷𝑂= 90°.
又∵∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷．
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐷．
∴四边形𝐴𝐶𝐵𝐷是平行四边形．
∴𝑆△𝐴𝑂𝐶= 1
4 𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐷= 2
∴𝑘= 2𝑆△𝐴𝑂𝐶= 4
∴反比例函数的解析式为𝑦=
4
𝑥
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（2）解：由图象可知𝑥≤−1或0 < 𝑥≤1．
8．如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= −𝑥+ 4的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象相交于
𝐴(1, 𝑛)，𝐵两点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)点𝑃是𝑥轴上一点，若△𝐴𝐵𝑃的面积为6，求点𝑃的坐标．
(3)当−𝑥+ 4 >
𝑘
𝑥时，直接写出𝑥的取值范围；
【答案】(1)𝑦=
3
𝑥
(2)𝑃1(−2,0)，𝑃2(10,0)
(3)𝑥<0或1<𝑥<3
【分析】（1）根据题意，得𝐴(1,3)，得到𝑦=
3
𝑥；
（2）设𝑃(𝑚, 0)，则𝑃𝐸= |𝑚−4|，过点P 作𝑃𝐹⊥𝐴𝐵于点F，根据勾股定理，得𝑃𝐹= √2
2 𝑃𝐸=
√2
2 |𝑚−4|，结合三角形的面积得|𝑚−4| = 6，求解即可；
（3）根据交点的横坐标，求解即可．
【详解】（1）解：一次函数𝑦= −𝑥+ 4的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象相交于𝐴(1,𝑛)，𝐵两点．
∴𝑦= −1 + 4 = 3，
故𝐴(1,3)，
反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象经过点𝐴，
∴3 =
𝑘
1，
解得𝑘= 3，
∴𝑦=
3
𝑥；
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（2）解：根据题意，得{
𝑦= −𝑥+ 4
𝑦=
3
𝑥
，
整理，得−𝑥+ 4 =
3
𝑥，
∴𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0，
解得𝑥1 = 1,𝑥2 = 3，
当𝑥= 3时，𝑦=
3
3 = 1，
∴𝐵(3,1)．
∴𝐴𝐵= √(1 −3)2 + (3 −1)2 = 2√2，
设直线𝑦= −𝑥+ 4与x 轴的交点为E，与y 轴的交点为D，
当𝑥= 0时，𝑦= 4；当𝑦= 0时，𝑥= 4；
则𝐸(4,0)，𝐷(0,4)，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 4，
∴∠𝑂𝐷𝐸= ∠𝑂𝐸𝐷= 45°，
设𝑃(𝑚, 0)，则𝑃𝐸= |𝑚−4|，
过点P 作𝑃𝐹⊥𝐴𝐵于点F，
∴∠𝐹𝑃𝐸= ∠𝑂𝐸𝐷= 45°，
∴𝐹𝑃= 𝐹𝐸，
根据勾股定理，得𝐹𝑃2 + 𝐹𝐸2 = 2𝐹𝑃2 = 𝑃𝐸2，
∴𝑃𝐸= √2𝑃𝐹，
∴𝑃𝐹= √2
2 𝑃𝐸= √2
2 |𝑚−4|，
∵△𝐴𝐵𝑃的面积为6，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝑃𝐹=
1
2 × 2√2 × √2
2 |𝑚−4| = 6，
∴|𝑚−4| = 6，
∴𝑚−4 = 6或𝑚−4 = −6，
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解得𝑚= 10或𝑚= −2，
故𝑃1(−2,0)，𝑃2(10,0)．
（3）解：∵𝐴(1,3)，𝐵(3,1)，
故不等式−𝑥+ 4 >
𝑘
𝑥的解集为：𝑥<0或1<𝑥<3．
9．如图，一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象与反比例函数𝑦2 =
𝑚
𝑥(𝑚≠0)的图象交于𝐴(−1,6)和𝐵(3, 𝑡)两
点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出𝑦1 ≥𝑦2时x 的取值范围．
【答案】(1)𝑦1 = −2𝑥+ 4，𝑦2 =
−6
𝑥
(2)𝑥≤−1或0 < 𝑥≤3
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据函数图象结合交点坐标即可解答．
【详解】（1）解：∵ 点𝐴(−1,6)在反比例函数𝑦2 =
𝑚
𝑥的图象上，
∴𝑚= −1 × 6 = −6，
∴ 反比例函数的解析式为𝑦2 = −
6
𝑥；
∵ 点𝐵(3,𝑡)在反比例函数𝑦2 = −
6
𝑥的图象上，
∴𝑡= −
6
3 = −2，
∴ 𝐵(3, −2)，
又∵ 点𝐴(−1,6)，𝐵(3, −2)两点在一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象上，
∴{ −𝑘+ 𝑏= 6
3𝑘+ 𝑏= −2
，
解得{𝑘= −2
𝑏= 4
，
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则该一次函数的解析式为𝑦1 = −2𝑥+ 4．
（2）解：根据图象可知使𝑦1 ≥𝑦2成立的𝑥的取值范围是：𝑥≤−1或0 < 𝑥≤3．
重难点五 一次函数与反比例函数综合中的实际问题
1.根据实际情境分别列出一次函数解析式y = kx + b和反比例函数解析式y =
k
x；
2.结合自变量实际取值范围，利用函数增减性、交点临界值、公式代入求值，解决最值、对比方案、变
化趋势分析等实际应用题。
1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10°C，加热到100°C，停止加热．水温开始下降，此时水温
𝑦（°C）与通电时间𝑥(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热．若水温在20°C时接通
电源，水温𝑦与通电时间𝑥之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8 点接通电源，可以保证当天9: 30能喝到不超过40°C的水
B．水温下降过程中，𝑦与𝑥之间的函数关系式是𝑦=
400
𝑥
C．水温从20°C加热到100°C需要7min
D．水温不低于30°C的时间为
77
3 min
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一
次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求
得对应信息．
【详解】A、根据题意可得𝑦与𝑥的函数关系式是𝑦=
800
𝑥，令𝑦= 20，则
800
𝑥= 20，
∴ 𝑥= 40，即饮水机每经过40min，要重新从开始加热一次从8点至9: 30，经过的时间为90min，90 −
40 × 2 = 10min，而水温加热到100°C，需要的时间为
100−20
10
= 8min，故9: 30时，饮水机第三次从开始加
热了10min，令𝑥= 10，则𝑦=
800
𝑥=
800
10 = 80，即9: 30时，饮水机的水温为80°C，故A 选项不符合题意；
B、由题意可得点(8,100)在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为𝑦=
𝑘
𝑥，将点(8,100)代入，可得
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𝑘= 800，
∴水温下降过程中，𝑦与𝑥的函数关系式是𝑦=
800
𝑥，故B 选项不符合题意；
C、∵开机加热时水温每分钟上升10°C，
∴水温从20°C升高到100°C，需要的时间为
100−20
10
= 8min，故C 选项不符合题意；
D、水温从20°C加热到30°C所需要的时间为
30−20
10
= 1min，
令𝑦= 30，则
800
𝑥= 30，解得𝑥=
80
3 ，
∴水温不低于30℃的时间为
80
3 −1 =
77
3 min，故D 选项符合题意．
故选：D．
2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中
药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于2 微克/毫升的持续时间多少小时？
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为𝑦= 2𝑥（0 ≤𝑥≤4），下降阶段的函数关系式为𝑦=
32
𝑥（𝑥> 4）．
(2)15 小时
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出𝑦= 2在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
【详解】（1）解：当0 ≤𝑥≤4时，设直线解析式为：𝑦= 𝑘𝑥，
将(4，8)代入得：8 = 4𝑘，解得：𝑘= 2，
故直线解析式为：𝑦= 2𝑥；
当𝑥>4时，设反比例函数解析式为： 𝑦=
𝑎
𝑥，
将(4，8)代入得： 8 =
𝑎
4，解得：a=32，
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故反比例函数解析式为： 𝑦=
32
𝑥；
所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为𝑦= 2𝑥（0 ≤𝑥≤4），
下降阶段的函数关系式为𝑦=
32
𝑥（𝑥> 4）．
（2）解：如图：由题意：2 = 2𝑥，解得：𝑥= 1；2 =
32
𝑥，𝑥= 16，
∴16 −1 = 15
∴血液中药物浓度不低于2 微克/毫升的持续时间为15 小时．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题
关键．
3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生
兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y 随时间x 分钟）
变化的函数图像如图所示，当0 ≤𝑥< 10和10 ≤𝑥< 20时，图像是线段；当20 ≤𝑥≤45时，图像是反比
例函数图像的一部分．
(1)求图中点A 的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综
合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)20
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设反比例函数的解析式为𝑦=
𝑘
𝑥，由𝐶(20,45)求出𝑘，可得𝐷坐标，从而求出𝐴的指标值；
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（2）求出𝐴𝐵解析式，得到𝑦≥36时，𝑥≥
32
5 ，由反比例函数𝑦=
900
𝑥可得𝑦≥36时，𝑥≤25，根据25 −
32
5 =
93
5 > 17，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当20 ≤𝑥≤45时，反比例函数的解析式为𝑦=
𝑘
𝑥，将𝐶(20,45)代入得：
45 =
𝑘
20，解得𝑘= 900，
∴反比例函数的解析式为𝑦=
900
𝑥，
当𝑥= 45时，𝑦=
900
45 = 20，
∴𝐷(45,20)，
∴𝐴(0,20)，即𝐴对应的指标值为20；
（2）解：设当0 ≤𝑥< 10时，𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，将𝐴(0,20)、𝐵(10,45)代入得：
{
20 = 𝑛
45 = 10𝑚+ 𝑛
，解得{ 𝑚=
5
2
𝑛= 20
，
∴𝐴𝐵的解析式为𝑦=
5
2 𝑥+ 20，
当𝑦≥36时，
5
2 𝑥+ 20 ≥36，解得𝑥≥
32
5 ，
由（1）得反比例函数的解析式为𝑦=
900
𝑥，
当𝑦≥36时，
900
𝑥≥36，解得𝑥≤25，
∴
32
5 ≤𝑥≤25时，注意力指标都不低于36，
而25 −
32
5 =
93
5 > 17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0 ≤
𝑥< 10和20 ≤𝑥≤45时的解析式．
4．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC 表示
恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
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(1)求线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
菜避免受到伤害？
【答案】(1)𝑦= 2𝑥+ 10(0 ≤𝑥< 5)，𝑦=
200
𝑥(10 ≤𝑥≤24)
(2)20°C
(3)恒温系统最多关闭10 小时，蔬菜才能避免受到伤害
【分析】（1）利用待定系数法分别求一次函数和反比例函数解析式即可；
（2）将𝑥= 5代入线段AB 解析式，即可求恒温系统设定恒温；
（3）将y=10 代入（1）中相应的函数解析式，然后即可得到这天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才
能避免蔬菜受到伤害．
【详解】（1）解：设线段AB 解析式为𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)
∵线段AB 过点(0,10)，(2,14)
代入得{
𝑏= 10
2𝑘1 + 𝑏= 14
解得{𝑘1 = 2
𝑏= 10
∴AB 解析式为：𝑦= 2𝑥+ 10(0 ≤𝑥< 5)
设双曲线CD 解析式为：𝑦=
𝑘2
𝑥(𝑘2 ≠0)
∵𝐶(10,20)
∴𝑘2 = 200
∴双曲线CD 解析式为：𝑦=
200
𝑥(10 ≤𝑥≤24)
（2）解：∵B 在线段AB 上当𝑥= 5时，𝑦= 20
∴恒温系统设定恒温为20°C
（3）解：把𝑦= 10代入𝑦=
200
𝑥中，解得：𝑥= 20
∴20 −10 = 10
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答：恒温系统最多关闭10 小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数
形结合的思想解答．
5．综合与实践：社区花园的“智慧设计”
【背景材料】某社区有一块长为40 米、宽为20 米的矩形花园𝐴．社区计划对其进行改造，希望找到一种
新的矩形花园𝐵的设计方案，使得新花园𝐵的周长是原花园𝐴的一半，同时面积也是原花园𝐴的一半．设新
花园𝐵的长为𝑥米，宽为𝑦米．请你协助社区完成此项设计研究．
(1)建立模型
根据题意，列出𝑦关于𝑥的函数关系式，并写出𝑥的取值范围：
关系式：①________；②________；𝑥的取值范围：________；
(2)图象分析
①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象．
②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园𝐵，如果存在，求出花园𝐵的长和宽；如果不存
在，说明理由；
(3)深入探究
①对于长为𝑎、宽为𝑏（其中𝑎> 𝑏）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一
半，则
𝑎
𝑏必须满足的条件是________；
②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）．
【答案】(1)𝑦= −𝑥+ 30，𝑦=
400
𝑥，0 < 𝑥< 30
(2)①见解析；②不存在，理由见解析
(3)①
𝑎
𝑏≥3 + 2√2或0 <
𝑎
𝑏≤3 −2√2；②原矩形长为60米，宽为10米，（答案不唯一）
【分析】（1）根据“新花园𝐵的周长是原花园𝐴的一半”，以及“新花园𝐵面积也是原花园𝐴的一半”建立𝑦关于
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𝑥的函数关系式，并求出𝑥的取值范围，即可解题；
（2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可；
②根据所画的图象交点情况分析即可；
（3）①设存在一个新矩形长为𝑥1米，宽为𝑦1米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出−𝑥1 +
𝑎+𝑏
2 =
𝑎𝑏
2𝑥1有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题；
②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可．
【详解】（1）解：根据“新花园𝐵的周长是原花园𝐴的一半，”得：2(𝑥+ 𝑦) =
1
2 × 2 × (40 + 20)，
整理得，𝑦= −𝑥+ 30；
根据“新花园𝐵面积也是原花园𝐴的一半，”得：𝑥𝑦=
1
2 × 40 × 20，
整理得，𝑦=
400
𝑥；
∵−𝑥+ 30 > 0，
∴𝑥< 30
则𝑥的取值范围为0 < 𝑥< 30；
故答案为：𝑦= −𝑥+ 30，𝑦=
400
𝑥，0 < 𝑥< 30；
（2）解：①根据题意列表如下：
0
10
20
30
𝑦
= −𝑥+ 30
30
0
𝑦= 400
𝑥
40
20
结合表格数据画图如下：
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②∵所画的图象无交点，
∴不存在满足条件的新矩形花园𝐵；
（3）解：①设存在一个新矩形长为𝑥1米，宽为𝑦1米，使其周长和面积均为原矩形的一半，
由题意得：2(𝑥1 + 𝑦1) =
1
2 × 2 × (𝑎+ 𝑏)，整理得，𝑦1 = −𝑥1 +
𝑎+𝑏
2 ；
𝑥1𝑦1 =
𝑎𝑏
2 ，整理得，𝑦1 =
𝑎𝑏
2𝑥1；
则−𝑥1 +
𝑎+𝑏
2 =
𝑎𝑏
2𝑥1，整理得−2𝑥12 + (𝑎+ 𝑏)𝑥1 −𝑎𝑏= 0，
∴(𝑎+ 𝑏)2 −4 × (−2) × (−𝑎𝑏) ≥0
𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 −8𝑎𝑏≥0
(𝑎
𝑏)
2
−6 𝑎
𝑏+ 1 ≥0
(𝑎
𝑏−3)
2
≥8
则
𝑎
𝑏−3 ≥2√2或
𝑎
𝑏−3 ≤−2√2，
𝑎
𝑏≥3 + 2√2或0 <
𝑎
𝑏≤3 −2√2；
故答案为：
𝑎
𝑏≥3 + 2√2或0 <
𝑎
𝑏≤3 −2√2．
②由①题知，原矩形长为60米，宽为10米，
记其新矩形长为𝑚，宽为𝑛，
则−𝑛+
70
2 =
600
2𝑛
𝑛2 −35𝑛+ 300 = 0
(𝑛−20)(𝑛−15) = 0
解得𝑛= 20或𝑛= 15，
当𝑛= 20时，𝑚= 15；
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当𝑛= 15时，𝑚= 20；
∴长为60米，宽为10米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）．
