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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十七章 反比例函数
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列不是y关于x的反比例函数的是( )
A. y = 3x−1
B. y = −
x
3
C. xy = 5
D. y =
1
2x
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y =
k
x (k ≠0)或y = kx−1
或xy = k的函数是反比例函数．据此逐一判断即可．
【详解】解：A．y = 3x−1 =
3
x，是反比例函数，故该选不符合题意；
B.y = −
x
3 = −
1
3 x，是正比例函数，故该选项符合题意；
C.xy = 5，是反比例函数，故该选项不符合题意；
D.y =
1
2x，是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：B．
2.下列各组变量中，不是反比例函数关系的是( )
A. 车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数
B. 社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数
C. 圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高
D. 用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义与实际应用。主要考查学生对反比例关系核心特征的掌握：
两个相关联的变量乘积为定值即为反比例关系，区分反比例（积定）与一次函数（和定）的本
质区别，侧重结合生活实际场景辨析函数关系。
【详解】
A. 加工时间×每天加工的零件个数= 800,800是定值，所以是反比例函数关系;
B. 组数×每组的人数= 50,50是定值，所以是反比例函数关系;
C. 底面积×高= 6,6是定值，所以是反比例函数关系;
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D. 果的金额+香蕉的金额= 100，不是反比例函数关系.
故选D．
3.如图，直线y = −x与双曲线y =
k
x (k ≠0)交于A，B两点，已知OA = 3√ 2，则双曲线的表达式为 ( )
A. y =
3
x
B. y = −
3
x
C. y =
9
x
D. y = −
9
x
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，核心考查正反比例函数图像的对称性、平面直角坐
标系中线段长度计算及反比例函数解析式求解，依托函数交点性质、勾股定理确定参数k 的值，侧重考查
数形结合的解题思想。
【详解】过点A作AC ⊥x轴于点C.根据题意设A(n, −n)(n > 0)，
则OC = n，CA=n.
∵OA = 3√ 2，
∴√ n2 + n2 = 3√ 2，
解得n = 3(负值已舍去)，
∴A(3,−3)，
代入y =
k
x (k ≠0)，
解得k = −9，
∴双曲线的表达式为y = −
9
x.
故选D．
4.点M(x1,y1)和点N(x2, y2)在反比例函数y =
k2−2k+3
x
(k为常数)的图象上，若x1 < 0 < x2，则y1，y2，0的大小
关系为 ( )
A. y1 < y2 < 0
B. y1 > y2 > 0
C. y1 < 0 < y2
D. y1 > 0 > y2
【答案】C
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【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，主要考查通过配方判断反比例函数比例系数的正
负，结合自变量的取值范围，判断函数值的正负与大小关系，重点考查分类判断与性质活用能
力。
【详解】∵反比例函数y =
k2−2k+3
x
=
(k−1)2+2
x
中，(k −1)2 + 2 > 0，
∴反比例函数图象分别位于第一、三象限．
∵x1 < 0 < x2，
∴点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上，
∴y1 < 0 < y2．
故选C．
5.在同一直角坐标系中，函数y =
k
x和y = kx −4的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图像性质，核心考查根据比例系数k 的正负判断函数图像的分
布特征，利用两个函数解析式的共性参数，辨析图像匹配关系，侧重考查数形结合与分类讨论思想。
【详解】
直线y = kx −4过点(0, −4)，故排除选项A，D，
由选项B，C中直线y = kx −4过第二、四象限可得k < 0，
故双曲线位于第二、四象限，
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故选B．
6.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400
度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是( )
A. 0 < x < 0.25
B. x > 0.25
C. 0 < x < 0.2
D. x > 0.2
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合生活情境考查反比例函数增减性，根据函数值范围求解自
变量取值范围，渗透数形结合思想，注重利用函数性质解决实际问题。
【详解】由题意可知，近视眼镜度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，
设解析式为y =
k
x (k > 0, x > 0)
根据常识及题型固定考点，当y = 400时，对应焦距x = 0.25，
代入可得k = xy = 400 × 0.25 = 100，
因此函数解析式为y =
100
x (x > 0)。
该函数在x > 0范围内，y随x的增大而减小。
题目要求y < 400，结合函数增减性可得x > 0.25，
故本题选B。
7.小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从
而改变灯光的明暗，台灯的电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示.下列说法正确的是( )
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A. 电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而增大
B. 电流I(A)与电阻R(Ω)的关系式为I =
1100
R
C. 当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D. 当电阻R ≥1100Ω时，电流I的范围为0A < I ≤0.2A
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的实际应用与性质辨析，结合物理情境考查反比例函数解析式求解、增减性
判断及取值范围计算，侧重考查学生利用函数模型解决跨学科实际问题的能力。
【详解】
A. 由图象知，电流I(A)随电阻R(Ω)的增大而减小，故A 不符合题意;
B. 电流I(A)与电阻R(Ω)的关系式为I =
U
R，
把(1100,0.2)代入得U = 1100 × 0.2 = 220，
所以I =
220
R ，故B 不符合题意;
C. 把R = 550Ω代入I =
220
R 得，I = 0.4A，故C 不符合题意;
D. 电阻R ≥1100Ω时，电流I的范围为0A < I ≤0.2A，故D 符合题意.
故选D．
8.如图，已知抛物线y = ax2 + bx −1(a,b均不为0)与双曲线y =
k
x (k ≠0)的图象相交于A(−2,m)，B(−1, n)，
C(1,2)三点，则满足不等式ax2 + bx −1 <
k
x的解为( )
A. −2 < x < −1或x > 1
B. x < −2或x > 1
C. −2 < x < −1或0 < x < 1
D. x < −2或−1 < x < 0或x > 1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，核心利用两个函数的交点坐标，结合函数图像位置求解函
数不等式解集，考查数形结合思想，重点掌握图像上下位置关系与不等式的对应规律。
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【详解】不等式ax2 + bx −1 <
k
x的几何意义：抛物线图象在双曲线图象下方时对应的自变量x的取值范围。
已知两函数交点为A(−2,m)、B(−1,n)、C(1,2)，且反比例函数y =
k
x定义域为x ≠0。
结合函数图象走势分析：当−2 < x < −1或0 < x < 1时，抛物线位于双曲线下方，满足不等式条件。
因此不等式的解集为−2 < x < −1或0 < x < 1，
本题选C。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.已知函数y = (m + 1)xm2−10是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则m = ．
【答案】3
【解析】
由题意得m2 −10 = −1且m + 1 > 0，
∴m = 3．
10.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在反比例函数y =
3
x (x > 0)的图象上，顶点B在反比例函数
y =
k
x (x > 0)的图象上，AB//x轴.若△OAB的面积为4，则k = ．
【答案】11
【解析】
由题意，得S△OAB =
|k|−|3|
2
= 4，
解得k = ±11．
又当x > 0时，反比例函数y =
k
x的图象在第一象限，
∴k > 0，
∴k = 11．
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11.如图，反比例函数y1 =
k
x (x > 0, k > 0)与一次函数y2 = −x + b的图象相交于A，B两点，若A，B的横坐标
分别为1,2，则不等式
k
x > −x + b的解集为 ．
【答案】0 < x < 1或x > 2
【解析】
根据两个函数图象和两个函数图象交点的横坐标可知，
不等式
k
x > −x + b的解集为0 < x < 1或x > 2．
故答案为0 < x < 1或x > 2．
12.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = ⋯，过A1，A2，A3，A4，A5，
⋯分别作x轴的垂线，与反比例函数y =
4
x的图象交于点P1，P2，P3，P4，P5，⋯，并设△OA1P1，△A1A2P2，
△A2A3P3，⋯的面积分别为S1，S2，S3，⋯，按此作法进行下去，则S99的值为 ．
【答案】
2
99
【解析】
根据反比例函数中k的几何意义，及OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = ⋯，
得S1 = 2，S2 =
1
2 S1 = 1，S3 =
1
3 S1 =
2
3，S4 =
1
4 S1 =
1
2，S5 =
1
5 S1 =
2
5，⋯，
以此类推，Sn =
2
n，
∴S99 =
2
99．
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三、解答题：本题共6 小题，共64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(10 分)
已知反比例函数y =
2k+3
x ，其中k是常数．
(1)若反比例函数的图象位于第二、第四象限，求k的取值范围;
(2)当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小?
【答案】
(1)解:∵反比例函数y=
2k+3
x 的图象在第二、第四象限,
∴2k+3<0,
解得k<-
3
2.
(2)∵反比例函数y=
2k+3
x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而减小,
∴2k+3>0,
∴k>-
3
2.
14.(7 分)
已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的
图象如图所示．
(1)请求出这个反比例函数的表达式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】
(1) 解：由电流I 是电阻R 的反比例函数，可设I =
k
R，
∵图象经过(8，6)，
∴6 =
k
8．
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解得k＝6×8＝48．
∴I =
48
R．
(2)蓄电池的电压是6×8＝48(V)．
(3)∵I≤10，I =
48
R，
∴
48
R ≤10，
∴R≥4.8(Ω)．
15.(10 分)
小陈同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距(小孔到像的距离)和物体高度不
变时，得到像高y(单位：cm)与物距(小孔到物体的距离)x(单位：cm)的几组数据．
像高y(单位：cm) 1.5 2 3 5
物距x(单位：cm) 8 6 4 2.4
(1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式;
(2)当像高为2.4cm时，物距是多少厘米?
(3)因为实验器材限制，物距(x)不能超过为10cm，则像高(y)的范围是 ．
【答案】
(1)设像高y 关于物距x 的函数关系式为y=
k
x,
∴k=2×6=12,
y=
12
x ,
检验表格中其他数据也符合关系式,
∴像高y 关于物距x 的函数关系式为y=
12
x .
(2)当y=2.4时,2.4=
12
x ,
解得x=5,
∴物距是5 厘米.
(3)y≥1.2
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10 /
16.(12 分)
如图，反比例函数y =
k
x (x > 0)的图象与直线y = ax交于点D(1,4)，点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴
的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C．
(1)求k和a的值；
(2)根据图象直接写出
k
x > ax的自变量x的取值范围；
(3)当AB长为
3
2时，求点A的坐标．
【答案】
(1)解：∵反比例函数y =
k
x (x > 0)的图象与直线y = ax交于点D(1,4)，
∴k = 4，a = 4，
(2)根据图像可知，
k
x > ax的自变量x 的取值范围为：0 < x < 1.
(3)由（1）可知，反比例函数解析式为y =
4
x，正比例函数解析式为：y = 4x，
设A(m, 4m)则B (m +
3
2 , 4m)，
∵点B 在反比例函数图象上，
∴4m (m +
3
2) = 4，
解得m =
1
2或m = −2（舍去），
∴A (
1
2 , 2).
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11 /
17.(12 分)
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y
轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数y =
k
x (x > 0)的图象经过点C．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
【答案】
(1) 解：∵含45°角的三角板OAC 的直角顶点C 的坐标为（2，2），
反比例函数y =
k
x (x > 0)的图象经过点C，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为：y =
4
x；
(2)∵C（2，2），
∴CO2＝22+22＝8，
∵含45°角的三角板OAC 为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，AO = √ CO2 + AC2 = 4，
如图，△OAB 旋转到△OEF 的位置，D 点对应G 点，
∴OE＝OA＝4，
∵D 的对应点G 在y =
4
x的图象上，
∴yG＝1，
∴EG＝1，
由旋转可得：AD＝GE＝1，
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12 /
∴D（﹣1，4）．
18.(13分)
【问题情境】区间测速是检测机动车在两个相邻测速监控点之间路段(测速区间)行驶的平均速度的方法.小
聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)与行驶时间t(单位：h)的数据如下
表．
小型汽车 行驶时间t/h 平均速度v/(km/h)
A
0.5
60
B
0.3
100
C
0.6
50
D
0.4
75
(1)【建立模型】根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数，求v关于t的
函数解析式;
(2)【问题解决】①若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50min，求它的平均速度; ②已知该测速区间
限速要求不超过80km/h，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内?
【答案】(1)解:由表格可知,vt=30,
∴v 关于t 的函数解析式为v=
30
t (t>0).
(2)①50min=
5
6h.
当t=
5
6时,v=
30
5
6
=36.
答:它的平均速度是36km/h.
（2）②把v=80 代入v=
30
t ,
得t=
3
8,
3
8 ×60=22.5(min).
当t>0 时,v 随t 的增大而减小,
∴小汽车通过该测速区间时,行驶时间应不少于22.5min.
