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重难点专题13 一次函数与反比例函数综合
重难点一 一次函数与反比例函数图象的综合判断
1.根据一次函数y = kx + b中k、b的正负判断直线经过的象限；
2.根据反比例函数y =
m
x中m的正负判断双曲线分布象限，
3.结合增减性、图象趋势、交点位置相互验证，排除矛盾选项，快速判定图象正误。
1．已知𝑘≠0，则反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥和一次函数𝑦= −2𝑘𝑥+ 3的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘与𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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3．反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥与一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象如图，那么正比例函数𝑦= 𝑘𝑥和反比例函数𝑦=
𝑏
𝑥在同一坐标系中的图
象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．𝑦= 𝑚𝑥−𝑚和𝑦= −
𝑚
𝑥(𝑚≠0)在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点二 根据一次函数与反比例函数交点求代数式的值
1.若交点(x0, y0)同时在两个函数图象上，则同时满足y0 = kx0 + b、y0 =
m
x0，可得核心隐含条件x0y0 =
m；
2.直接将交点坐标满足的关系式整体代入所求代数式，采用整体代换思想化简求值，无需单独求未知
数。
1．如图，在平面直角坐标系中，函数𝑦=
6
𝑥与𝑦= 𝑥−1图像交于点𝑃(𝑚, 𝑛)，则代数式
1
𝑚−
1
𝑛的值为（ ）
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A．−
5
6
B．
5
6
C．−
1
6
D．
1
6
2．反比例函数𝑦= −
8
𝑥(𝑥< 0)与一次函数𝑦= −4𝑥+ 1的图象交
于点𝐴(𝑚, 𝑛)，则代
数式
1
𝑚+
4
𝑛的值是（ ）
A．−
1
8
B．
1
4
C．−4
D．2
3．点𝑃(𝑚, 𝑛)在一次函数𝑦= 𝑥+ 4上，也在反比例函数𝑦=
2
𝑥上，则𝑚2 + 𝑛2的值为________．
4．若直线𝑦= 𝑎𝑥(𝑎≠0)与双曲线𝑦= −
3
𝑥交于(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)两点，则−2𝑥1𝑦2 + 5𝑥2𝑦1的值为______．
5．如图，反比例函数𝑦=
3
𝑥与直线𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)交于A、B 两点，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则4𝑥1𝑦2 −
𝑥2𝑦1 =_________．
6．若函数𝑦=
6
𝑥的图像与函数𝑦= 2𝑥−3的图像相交于点(𝑎, 𝑏)，则代数式
𝑏
2𝑎−
2𝑏−2𝑎
𝑏
的值为______．
7．如图，点A 在直线𝑦= 𝑥上，𝐴𝐵⊥𝑥轴于点B，点C 在线段𝐴𝐵上，以𝐴𝐶为边作正方形𝐴𝐶𝐷𝐸，点D 恰
好在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（k 为常数，𝑘≠0）第一象限的图象上，连接𝐴𝐷．
（1）若𝑂𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，则𝑘=______；
（2）若𝑘= 7，则𝑂𝐴2 −𝐴𝐷2 =______．
重难点三 一次函数与反比例函数相交中的面积问题
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1.先联立方程组{
y = kx + b
y =
m
x
求出两函数交点坐标，利用直线与坐标轴交点分割图形；
2.运用铅垂高面积公式S =
1
2 × 水平宽× 铅垂高或坐标面积公式S =
1
2 |x1y2 −x2y1|；
3.通过面积和差计算不规则图形面积。
1．在坐标系中有函数𝑦=
3
𝑥与函数𝑦= 𝑥+ 2相交于A、B 两点，分别连接坐标原点C，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）
A．4
B．
9
2
C．3
D．
3
2
2．如图，已知一次函数𝑦= 𝑥+ 6的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象在第二象限分别交于点𝐴和点𝐵，过点𝐴
和点𝐵作𝑥轴的垂线，垂足分别为点𝐷和点𝐶．当四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为12 时，则𝑘=（ ）
A．−4
B．−5
C．−6
D．−7
3．如图，直线𝑦=
1
2 𝑥+ 2与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象交于𝐶 ，𝐷两点，𝐶𝐸⊥𝑥
轴，垂足为𝐸，连接𝐷𝐸．若𝑂𝐴= 2𝑂𝐸，则△𝐶𝐷𝐸的面积是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．24
4．如图，函数𝑦= −2𝑥与函数𝑦= −
6
𝑥的图象相交于A，B 两点，过A，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分
别为点C，D，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为________．
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5．如图，正比例函数𝑦=
1
2 𝑥与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘> 0)的图象交于点𝐴(𝑚, 2)，若把直线𝑦=
1
2 𝑥向上平移3
个单位长度与𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘> 0)交于点B，连接𝐴𝐵、𝑂𝐵，则△𝐴𝑂𝐵的面积为______．
6．如图，一次函数𝑦= 3𝑥+ 𝑏 的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0 ）的图象交于点𝐴(2,3)，与𝑥轴交于点
𝐶 ．在反比例函数图象上有一点𝐵(−3, 𝑚)，过点𝐵 作𝐵𝐷⊥𝑥 轴于点𝐷 ，连接𝐴𝐷 ，𝐵𝐶 ．
(1)求一次函数𝑦= 3𝑥+ 𝑏 与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0 ）的表达式；
(2)求四边形𝐵𝐷𝐴𝐶 的面积．
7．如图，反比例函数𝑦=
𝑘1
𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏的图象分别相交于点𝐴(1,2)和点𝐵(𝑚, −1)，将点
𝐵向右平移4 个单位长度后得到点𝐶，线段𝐵𝐶与𝑦轴相交于点𝐷，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷．
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(1)求反比例函数𝑦=
𝑘1
𝑥与一次函数𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏的表达式．
(2)求△𝐴𝐶𝐷的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= −2𝑥与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象的交点为𝐴(−1,𝑛)，𝐵．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点𝑃(𝑚, −1)是反比例函数图象上的点，过点𝑃作𝑃𝑄∥𝑦轴，交一次函数𝑦= −2𝑥的图象于点𝑄，求线段𝑃𝑄
的长；
(3)在𝑥轴上找一点𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶的面积为8，求点𝐶的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵分别与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴，𝐵，与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘> 0）的图
象交于点𝐶．已知点𝐴的坐标为(−3,0)，点𝐶的坐标为(1,8)，点𝐷在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘> 0）的图象上，
纵坐标为3．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点𝐵的坐标；
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(2)连接𝐵𝐷，𝑂𝐷，求四边形𝐴𝐵𝐷𝑂的面积．
重难点四 一次函数与反比例函数综合中的不等式解集问题
1.以两个函数交点的横坐标为分界点，划分自变量区间；
2.遵循图象在上，函数值更大的原则，直接观察图象位置高低；
3.写出kx + b >
m
x或kx <
m
x对应的x取值范围，注意区分左右区间、正负区间，取舍完整解集。
1．一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与反比例函数𝑦=
𝑛
𝑥交于𝐴(−2,2)、𝐵(1, −4)，当𝑘𝑥+ 𝑏<
𝑛
𝑥时， x 的取值范围是
（ ）
A．𝑥< −2或0 < 𝑥< 1
B．−2 < 𝑥< 0或𝑥> 1 C．𝑥< −2或𝑥> 1
D．−2 < 𝑥<
1
2．一次函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏和反比例函数𝑦2 =
𝑘2
𝑥的图象如图所示，若𝑦1 > 𝑦2，则𝑥的取值范围是（ ）
A．−1 < 𝑥< 0或𝑥> 7
B．−1 < 𝑥< 7
C．𝑥< −1或𝑥> 7
D．𝑥< −1或0 < 𝑥< 7
3．如图，直线𝑦= −𝑥+ 𝑚与双曲线𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘< 0)交于点𝐴(−1,3)和点𝐵，则不等式−𝑥+ 𝑚<
𝑘
𝑥的解集是
（ ）
A．𝑥< −1或𝑥> 3
B．−1 < 𝑥< 3
C．−1 < 𝑥< 0或𝑥> 3
D．𝑥< −1或0 < 𝑥< 3
4．反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象交于𝐴，𝐵两点，点𝐴的坐标为(2,4)，点𝐵的坐标
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为(𝑛, 1)．不等式𝑘𝑥+ 𝑏−
𝑚
𝑥< 0的解集是（ ）
A．0 < 𝑥< 2 B．𝑥> 8 C．0 < 𝑥< 2或𝑥> 8 D．2 < 𝑥< 8
5．如图，一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象交于M、N 两点，观察图象知，不等式
𝑎𝑥+ 𝑏<
𝑘
𝑥的解集为_______．
函数𝑦=
𝑘2
𝑥的图像交于𝐴、𝐵两点，
6．如图，一次函数𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏与反比例
其横坐标分别为1 和3，则关于𝑥的不等式𝑘1𝑥+ 𝑏−
𝑘2
𝑥< 0的解集是______．
7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数𝑦= 4𝑥的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象相交于A、B 两点，
过点A 作𝐴𝐶⊥𝑥轴于点C，过点B 作𝐵𝐷⊥𝑥轴于点D，连结𝐴𝐷、𝐵𝐶．四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积为8．
(1)求反比例函数的解析式；
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(2)观察图象，直接写出当4𝑥≤
𝑘
𝑥时，x 的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= −𝑥+ 4的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象相交于
𝐴(1, 𝑛)，𝐵两点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)点𝑃是𝑥轴上一点，若△𝐴𝐵𝑃的面积为6，求点𝑃的坐标．
(3)当−𝑥+ 4 >
𝑘
𝑥时，直接写出𝑥的取值范围；
9．如图，一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象与反比例函数𝑦2 =
𝑚
𝑥(𝑚≠0)的图象交于𝐴(−1,6)和𝐵(3, 𝑡)两
点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出𝑦1 ≥𝑦2时x 的取值范围．
重难点五 一次函数与反比例函数综合中的实际问题
1.根据实际情境分别列出一次函数解析式y = kx + b和反比例函数解析式y =
k
x；
2.结合自变量实际取值范围，利用函数增减性、交点临界值、公式代入求值，解决最值、对比方案、变
化趋势分析等实际应用题。
1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升10°C，加热到100°C，停止加热．水温开始下降，此时水温
𝑦（°C）与通电时间𝑥(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热．若水温在20°C时接通
电源，水温𝑦与通电时间𝑥之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
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A．上午8 点接通电源，可以保证当天9: 30能喝到不超过40°C的水
B．水温下降过程中，𝑦与𝑥之间的函数关系式是𝑦=
400
𝑥
C．水温从20°C加热到100°C需要7min
D．水温不低于30°C的时间为
77
3 min
2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中
药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于2 微克/毫升的持续时间多少小时？
3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生
兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y 随时间x 分钟）
变化的函数图像如图所示，当0 ≤𝑥< 10和10 ≤𝑥< 20时，图像是线段；当20 ≤𝑥≤45时，图像是反比
例函数图像的一部分．
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(1)求图中点A 的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综
合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
4．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC 表示
恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
菜避免受到伤害？
5．综合与实践：社区花园的“智慧设计”
【背景材料】某社区有一块长为40 米、宽为20 米的矩形花园𝐴．社区计划对其进行改造，希望找到一种
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新的矩形花园𝐵的设计方案，使得新花园𝐵的周长是原花园𝐴的一半，同时面积也是原花园𝐴的一半．设新
花园𝐵的长为𝑥米，宽为𝑦米．请你协助社区完成此项设计研究．
(1)建立模型
根据题意，列出𝑦关于𝑥的函数关系式，并写出𝑥的取值范围：
关系式：①________；②________；𝑥的取值范围：________；
(2)图象分析
①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象．
②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园𝐵，如果存在，求出花园𝐵的长和宽；如果不存
在，说明理由；
(3)深入探究
①对于长为𝑎、宽为𝑏（其中𝑎> 𝑏）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一
半，则
𝑎
𝑏必须满足的条件是________；
②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）．
0
10
20
30
𝑦
= −𝑥+ 30
30
0
𝑦= 400
𝑥
40
20
