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重难点专题12 反比例函数与几何综合问题
重难点一 反比例函数图象上的单点面积计算问题
1.过双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积𝑆= |𝑘|；
2.该点与原点、垂足组成直角三角形面积𝑆=
1
2 |𝑘|，直接套用两个固定公式直接求解。
1．如图，点A 在反比例函数𝑦=
8
𝑥的图象上，过点A 作𝐴𝐵⊥𝑥轴于点B，作𝐴𝐶⊥𝑦轴于点C，连接𝐵𝐶，则
△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
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【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)图象中任取一点，
过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|𝑘|．先判断四边形𝐴𝐶𝑂𝐵是矩
形，得出𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐵，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义求解即可．
【详解】解∶∵𝐴𝐵⊥𝑥轴， 𝐴𝐶⊥𝑦轴，𝑥轴⊥𝑦轴，
∴四边形𝐴𝐶𝑂𝐵是矩形，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐵，
∵点A 在反比例函数𝑦=
8
𝑥的图象上，
∴𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐵= 8，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4，
故选∶B．
2．如图，点A 是反比例函数𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)图象上任意一点，𝐴𝐵⊥𝑦轴，点C 是x 轴上的动点，则△𝐴𝐵𝐶
的面积为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的前提，
掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键．
根据反比例函数系数k 的几何意义可得𝑆△𝐴𝑂𝐵=
1
2 |𝑘| =
1
2 × 6 = 3，再根据同底等高的三角形面积相等，可
求出答案
【详解】解：如图，连接𝑂𝐴，
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由反比例函数系数k 的几何意义得，
𝑆△𝐴𝑂𝐵=
1
2 |𝑘| =
1
2 × 6 = 3，
又∵𝐴𝐵⊥𝑦轴，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵= 3．
故选：A．
3．如图，反比例函数𝑦=
−4
𝑥(𝑥> 0)的图像上有一点P，𝑃𝐴⊥𝑥轴于点A，点B 在y 轴上，则△𝑃𝐴𝐵的面
积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，
与坐标轴围成的矩形面积就等于|𝑘|，并根据面积关系得出方程是解题的关键．
设𝑃(𝑥, 𝑦)，则|𝑥𝑦| = |−4|，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设𝑃(𝑥, 𝑦)，
∵点P 在反比例函数𝑦=
−4
𝑥(𝑥> 0)的图象上，
∴|𝑥𝑦| = |−4|．
∵𝑃𝐴⊥𝑥轴，
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∴𝑆△𝑃𝐴𝐵=
1
2 × 𝑃𝐴× 𝑂𝐴=
1
2 |𝑥𝑦| =
1
2 × 4 = 2．
故选：B．
4．如图，反比例函数𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)的图象经过长方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐵，𝑂𝐶，𝑂𝐴分别在𝑥轴上与𝑦轴上，则长
方形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积为___________．
【答案】6
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)得𝑥𝑦= 6即可解答．
【详解】解：设𝐵(𝑥, 𝑦)在𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)上，
∴𝑥𝑦= 6，
由题意得𝑂𝐶= 𝑥，𝑂𝐴= 𝑦，
∴𝑆长方形𝑂𝐴𝐵𝐶= 𝑂𝐶⋅𝑂𝐴= 𝑥𝑦= 6，
故答案为6．
5．如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点𝐶在函数𝑦=
2
𝑥的图像上，
则矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为______．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数𝑘的几何意义，根据题意得出矩形𝐶𝐸𝑂𝐹的面积为2，进而即可求解．
【详解】解：如图，
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依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，𝑂为对称中心，点𝐶在函数𝑦=
2
𝑥的图像上，
∴矩形𝐶𝐸𝑂𝐹的面积为2，
∴矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为2 × 4 = 8
故答案为：8．
重难点二 反比例函数图象上的双点面积计算问题
1.同一双曲线上两点构成不规则三角形，可用外围矩形割补法求面积；
2.也可直接使用坐标通用面积公式S =
1
2 |x1y2 −x2y1|整体列式计算。
1．如图，点，在反比函数𝑦=
12
𝑥的图象上，A，B 的纵坐标分别是3 和6，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，则△𝑂𝐴𝐵的
面积是（ ）
A．1.5
B．3
C．9
D．13
【答案】C
【分析】设𝐵𝐷⊥𝑦轴于点D，𝐴𝐶⊥𝑦轴于点C，由题意求出𝐴(4,3)，𝐵(2,6)，则𝐴𝐶= 4，𝐵𝐷= 2，𝐶𝐷=
3，由反比例函数的几何意义可得𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐶，𝑆△𝑂𝐴𝐵= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶然后
代入即可求值．
本题考查了反比例函数的性质及k 的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设𝐵𝐷⊥𝑦轴于点D，𝐴𝐶⊥𝑦轴于点C，
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由条件可知𝐴(4,3)，𝐵(2,6)，
∴𝐴𝐶= 4，𝐵𝐷= 2，𝐶𝐷= 3，
由反比例函数的几何意义可得𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐶，
∴𝑆△𝑂𝐴𝐵= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶=
1
2 × (4 + 2) × 3 = 9，
故选：C．
2．如图，A，B 为反比例函数 𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘< 0)图象上任意两点，分别过点A，B 作y 轴的垂线，垂足分别为
C，D，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，设△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷的面积分别为𝑆₁，𝑆₂，则（ ）
A．𝑆₁ > 𝑆₂
B．𝑆₁ = 𝑆₂
C．𝑆₁ < 𝑆₂
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥中𝑘的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标
轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积𝑆是个定值，即𝑆=
1
2 |𝑘|．
【详解】解：依题意有：Rt △𝐴𝑂𝐶和Rt △𝐵𝑂𝐷的面积是个定值
1
2 |𝑘|．
所以𝑆1 = 𝑆2．
故选：B．
3．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝑂和正方形𝐶𝐷𝐸𝐹的顶点B、E 在双曲线𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)上，连接𝑂𝐵、𝑂𝐸、𝐵𝐸，则
𝑆△𝑂𝐵𝐸的值为（ ）
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A．3
B．3√2
C．4
D．4√2
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识．连接𝐶𝐸．只要证
明𝐶𝐸∥𝑂𝐵，推出𝑆△𝑂𝐵𝐸= 𝑆△𝑂𝐵𝐶，即可解决问题．
【详解】解：连接𝐶𝐸．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑂，四边形𝐶𝐷𝐸𝐹都是正方形，
∴∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐵𝑂𝐶= 45°，
∴𝐶𝐸∥𝑂𝐵，
∴𝑆△𝑂𝐵𝐸= 𝑆△𝑂𝐵𝐶，
∵点B 在𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)的图象上，
∴𝑆△𝑂𝐵𝐸= 𝑆△𝑂𝐵𝐶=
1
2 × 6 = 3，
故选：A．
4．如图，𝐴、𝐵两点在反比例函数𝑦=
6
𝑥的图象上，分别经过𝐴、𝐵两点向两坐标轴作垂线段，已知𝑆阴影=
2，则空白部分𝑆1 + 𝑆2的值为______．
【答案】8
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【分析】本题考查了反比例函数的系数𝑘的几何意义：在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥图象中任取一点，过这一个点向
𝑥轴和𝑦轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|𝑘|．根据反比例函数的系数𝑘的几何意义得到
𝑆1 + 𝑆阴影= 𝑆2 + 𝑆阴影= 6，由𝑆阴影= 2，得𝑆1 = 𝑆2 = 4，然后计算𝑆1 + 𝑆2．
【详解】解：根据题意得𝑆1 + 𝑆阴影= 𝑆2 + 𝑆阴影= 6，
而𝑆阴影= 2，
所以𝑆1 = 𝑆2 = 4，
所以𝑆1 + 𝑆2 = 8．
故答案为：8．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为菱形，𝑂𝐴在x 轴的正半轴上，∠𝐶𝑂𝐴= 60°，过点C 的反
比例函数𝑦=
4
𝑥的图象与𝐴𝐵交于点D．则△𝐶𝑂𝐷的面积为______．
【答案】4
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质．作𝐶𝐸⊥𝐴𝑂，连接𝐴𝐶，设点𝐶的坐标为(𝑎，
4
𝑎)，求
得𝑆菱形𝑂𝐴𝐵𝐶= 8，根据𝑆Δ𝐶𝐷𝑂=
1
2 𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝑂，即可求得结论．
【详解】解：作𝐶𝐸⊥𝐴𝑂，连接𝐴𝐶，设点𝐶的坐标为(𝑎，
4
𝑎)，
∵∠𝐴𝑂𝐶= 60°，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为菱形，
∴△𝐴𝑂𝐶是等边三角形，
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∴𝑂𝐴= 2𝑂𝐸= 2𝑎，𝐶𝐸=
4
𝑎，
∴𝑆菱形𝑂𝐴𝐵𝐶= 𝑂𝐴× 𝐶𝐸= 2𝑎⋅
4
𝑎= 8，
∴𝑆Δ𝐶𝐷𝑂=
1
2 𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝑂=
1
2 × 8 = 4，
故答案为：4．
重难点三 与两曲线上的点有关的面积计算
1.两点分别在y =
k1
x 、y =
k2
x 两条双曲线上，分别用|k1|、|k2|表示基础图形面积，
2.利用水平宽、铅垂高S =
1
2 × 水平宽× 铅垂高，通过面积和差组合求解整体面积。
1．双曲线𝑦=
4
𝑥与𝑦=
2
𝑥在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A，B 两
点，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，则△𝐴𝑂𝐵的面积为（ ）
A．1
B．2
C．1.5
D．0.5
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k 的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、
坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即𝑆=
1
2 |𝑘|．
如果设直线𝐴𝐵与x 轴交于点C，那么△𝐴𝑂𝐵的面积=△𝐴𝑂𝐶的面积−△𝐶𝑂𝐵的面积．根据反比例函数的比
例系数k 的几何意义，知△𝐴𝑂𝐶的面积为2，△𝐶𝑂𝐵的面积为1，从而求出结果．
【详解】解：设直线𝐴𝐵与𝑥轴交于点𝐶．
∵𝐴𝐵∥𝑦轴，
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∴𝐴𝐶⊥𝑥轴，𝐵𝐶⊥𝑥轴．
∵点𝐴在双曲线𝑦=
4
𝑥的图象上，
∴△𝐴𝑂𝐶的面积=
1
2 × 4 = 2．
点𝐵在双曲线𝑦=
2
𝑥的图象上，
∴△𝐶𝑂𝐵的面积=
1
2 × 2 = 1．
∴△𝐴𝑂𝐵的面积=△𝐴𝑂𝐶的面积−△𝐶𝑂𝐵的面积= 2 −1 = 1．
故选：A．
2．如图，点A 在反比例函数𝑦1 =
16
𝑥(𝑥> 0)的图象上，过点A 作𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为B，交反比例函数𝑦2 =
6
𝑥(𝑥> 0)的图象于点C．P 为y 轴上一点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐶．则△𝐴𝑃𝐶的面积为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题
意可设点𝐴(𝑎,
16
𝑎)，则有𝐶(𝑎,
6
𝑎) , 𝐵(𝑎, 0)，然后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】解：由题意可设点𝐴(𝑎,
16
𝑎)，
∵𝐴𝐵⊥𝑥轴，
∴𝐶(𝑎,
6
𝑎) , 𝐵(𝑎, 0)，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑃=
1
2 𝐴𝐶⋅𝑎=
1
2 × (
16
𝑎−
6
𝑎) × 𝑎= 5；
故选A．
3．如图，点𝐴在双曲线𝑦=
6
𝑥上， 点𝐵在双曲线𝑦=
𝑘
𝑥 上，𝐴𝐵∥𝑥轴，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷，连接𝑂𝐵，与
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𝐴𝐷相交于点𝐶，若𝐴𝐵= 2𝑂𝐷，则𝑘的值为（ ）
A．6
B．12
C．8
D．18
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数𝑘的几何意义，矩形的判定和性
质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键．过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑥轴于𝐸，延长线
段𝐵𝐴，交𝑦轴于𝐹，得到四边形𝐴𝐹𝑂𝐷是矩形，四边形𝑂𝐸𝐵𝐹是矩形，所以𝑆矩形𝐴𝐹𝑂𝐷= 6，𝑆矩形𝑂𝐸𝐵𝐹= 𝑘，由
𝐴𝐵= 2𝑂𝐷，得到𝐷𝐸= 2𝑂𝐷，由此得到𝑆矩形𝑂𝐸𝐵𝐹= 3𝑆矩形𝐴𝐹𝑂𝐷= 18，根据反比例函数系数𝑘的几何意义求
出答案．
【详解】解：过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑥轴于𝐸，延长线段𝐵𝐴，交𝑦轴于𝐹，
∵ 𝐴𝐵∥𝑥轴，𝐴𝐹⊥𝑦轴，
∴四边形𝐴𝐹𝑂𝐷是矩形，四边形𝑂𝐸𝐵𝐹是矩形，
∴ 𝐴𝐹= 𝑂𝐷，𝐵𝐹= 𝑂𝐸，
∴ 𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∵点𝐴在双曲线𝑦=
6
𝑥上，
∴ 𝑆矩形𝐴𝐹𝑂𝐷= 6，同理𝑆矩形𝑂𝐸𝐵𝐹= 𝑘，
∵ 𝐴𝐵= 2𝑂𝐷，
∴ 𝐷𝐸= 2𝑂𝐷，
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∴ 𝑆矩形𝑂𝐸𝐵𝐹= 3𝑆矩形𝐴𝐹𝑂𝐷= 18，
∴ 𝑘= 18，
故选：D．
4．如图，点𝐴在反比例函数𝑦=
3
𝑥(𝑥< 0)的图像上，点𝐵在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图像上，连接𝐴𝐵，
𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝐶，且𝐴𝐵∥𝑥轴，𝐵𝐶= 2𝐴𝐶，𝐷是𝑥正半轴上一点，连接𝐴𝐷，𝐵𝐷，则△𝐴𝐵𝐷的面积为
（ ）
A．3
B．
7
2
C．
9
2
D．
5
2
【答案】C
【分析】过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴交𝑥轴于𝐸，过𝐵作𝐵𝐹⊥𝑥轴交𝑥轴于𝐹，可求𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐸= 3，从而可求𝑆矩形𝑂𝐶𝐵𝐹=
6，可得𝐴𝐵⋅𝐴𝐸= 9，即可求解．
【详解】解：如图，过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴交𝑥轴于𝐸，过𝐵作𝐵𝐹⊥𝑥轴交𝑥轴于𝐹，
∴𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐸= 3，
∵𝐵𝐶= 2𝐴𝐶，
∴𝑆矩形𝑂𝐶𝐵𝐹= 2𝑆矩形𝐴𝐶𝑂𝐸= 6，
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∴𝐴𝐵⋅𝐴𝐸= 9，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐸=
9
2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数中𝑘的几何意义，理解𝑘的几何意义是解题的关键．
5．如图，点A 在函数𝑦= −
6
𝑥(𝑥< 0)的图象上，作𝐴𝐶 ∥𝑥轴交函数𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)的图象于点C，四边形
𝐴𝐵𝑂𝐶的面积为 _____．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．延长𝐴𝐶交y 轴于
点D，根据𝑆四边形𝐴𝐵𝑂𝐶= 𝑆长方形𝐴𝐵𝑂𝐷−𝑆△𝐶𝑂𝐷，利用比例函数系数k 的几何意义，即可解答．
【详解】解：延长𝐴𝐶交y 轴于点D，
∵𝐴𝐶 ∥𝑥轴，
∴𝐴𝐷⊥𝑦轴，
设𝐶(𝑚，𝑛)，
∵点C 在反比例函数𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)的图象上，
∴𝑚𝑛= −2，
∴𝑆△𝐶𝑂𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝑂𝐷=
1
2 × (−𝑚) × 𝑛= 1，
∵∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐵𝑂𝐷= 90°，
∴四边形𝐴𝐵𝑂𝐷是长方形，
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设𝐴(𝑐，𝑑)，
∵点A 在反比例函数𝑦= −
6
𝑥(𝑥< 0)的图象上，
∴𝑐𝑑= −6，
∴𝑆长方形𝐴𝐵𝑂𝐷= 𝑂𝐵× 𝑂𝐷= (−𝑐) × 𝑑= 6，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝑂𝐶= 𝑆长方形𝐴𝐵𝑂𝐷−𝑆△𝐶𝑂𝐷= 6 −1 = 5．
故答案为：5．
6．如图，直线𝑙与𝑥轴平行且分别与反比例函数𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)，𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)的图象交于点𝐴和点𝐵，点𝑃
是𝑥轴上的一个动点，则△𝐴𝑃𝐵的面积为______．
【答案】4
【分析】本题考查反比例函数𝑘的几何意义，平行线之间的距离，掌握反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)中比例系数
𝑘的几何意义是解题的关键．连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，则𝑆△𝐴𝐵𝑂= 𝑆△𝐴𝐵𝑃，进而根据反比例函数𝑘的几何意义即可解
答．
【详解】解：如图，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，设𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐶，
∵𝑙∥𝑥轴，
∴𝐴𝐵⊥𝑦轴，
∵𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)，𝑦=
6
𝑥(𝑥> 0)，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑂=
2
2 = 1，𝑆△𝐵𝐶𝑂=
6
2 = 3，
∵𝑙∥𝑥轴，
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∴△𝐴𝐵𝑃与△𝐴𝐵𝑂同底等高，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑂= 𝑆△𝐴𝐵𝑃= 𝑆△𝐴𝐶𝑂+ 𝑆△𝐵𝐶𝑂= 1 + 3 = 4，
∴△𝐴𝑃𝐵的面积为4．
故答案为：4．
重难点四 根据面积求K 的值
1.依据图形面积结合S = |k|、S =
1
2 |k|或割补得到的面积关系式列方程；
2.根据双曲线所在象限判断k正负，去掉绝对值符号解出k。
1．如图，点𝐴在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑥< 0）的图象上，点𝐵是𝑂𝐴上一点，作𝐴𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，连接𝐵𝐶．若
𝑂𝐵=
1
3 𝑂𝐴，△𝑂𝐵𝐶的面积为2，则𝑘的值为（ ）
A．6
B．−6
C．12
D．−12
【答案】D
【分析】先根据△𝑂𝐵𝐶和△𝑂𝐴𝐶同高，求出△𝑂𝐴𝐶的面积，再根据反比例函数系数𝑘的几何意义求出𝑘的
值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可．
【详解】∵点𝐵在𝑂𝐴上，𝑂𝐵=
1
3 𝑂𝐴，
∴△𝑂𝐵𝐶和△𝑂𝐴𝐶同高，
∴
𝑆△𝑂𝐵𝐶
𝑆△𝑂𝐴𝐶=
𝑂𝐵
𝑂𝐴=
1
3𝑂𝐴
𝑂𝐴=
1
3，
∵△𝑂𝐵𝐶的面积为2，
∴𝑆△𝑂𝐴𝐶= 3𝑆△𝑂𝐵𝐶= 3 × 2 = 6，
∵𝐴𝐶⊥𝑥轴，
∴𝑆△𝑂𝐴𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝑂𝐶=
1
2 × |𝑘| = 6，
解得𝑘= ±12，
∵点𝐴所在的反比例函数图象在第二象限，
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∴𝑘< 0，
∴𝑘= −12．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐶分别位于𝑥轴、𝑦轴的正半轴上，𝐷、𝐸、𝐹、𝐺分别
是𝑂𝐴、𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝑂的中点，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)经过点𝐹，若四边形𝐷𝐸𝐹𝐺的面积为6，则𝑘的值为
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】连接𝐹𝐷，易得四边形𝑂𝐶𝐷𝐹，𝐷𝐹𝐵𝐴均为矩形，矩形𝑂𝐶𝐷𝐹的面积等于四边形𝐷𝐸𝐹𝐺的面积，根据𝑘
值的几何意义即可得出结果．
【详解】解：连接𝐹𝐷，
∵矩形𝑂𝐴𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶∥𝑂𝐴，𝐵𝐶= 𝑂𝐴，∠𝑂= ∠𝑂𝐴𝐵= 90°，
∵𝐷、𝐸、𝐹、𝐺分别是𝑂𝐴、𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝑂的中点，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐹=
1
2 𝐵𝐶，𝑂𝐷= 𝐴𝐷=
1
2 𝑂𝐴，
∴𝐶𝐹= 𝑂𝐷，𝐵𝐹= 𝐴𝐷，
∵𝐵𝐶∥𝑂𝐴，∠𝑂= ∠𝑂𝐴𝐵= 90°，
∴四边形𝑂𝐶𝐷𝐹，𝐷𝐹𝐵𝐴均为矩形，
∴𝐷𝐹∥𝑂𝐶∥𝐴𝐵，
∴四边形𝐷𝐸𝐹𝐺的面积=
1
2 𝐷𝐹⋅𝑂𝐷+
1
2 𝐷𝐹⋅𝐴𝐷= 𝐷𝐹⋅𝑂𝐷= 6，
∵反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)经过点𝐹，
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∴𝑆矩形𝑂𝐶𝐷𝐹= |𝑘| = 𝑂𝐷⋅𝐷𝐹= 6，
∵反比例函数过第一象限，
∴𝑘> 0，
∴𝑘= 6．
3．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐵、𝐶在𝑥轴上，点𝐴、𝐷分别在反比例函数𝑦= −
4
𝑥和𝑦=
𝑘
𝑥上，若矩形𝐴𝐵𝐶𝐷
的面积为6，则𝑘的值是（ ）
A．−2
B．2
C．−4
D．4
【答案】B
【分析】设𝐴𝐷与𝑦轴交于点𝐸，根据反比例函数𝑘的几何意义可知，矩形𝐴𝐵𝑂𝐸的面积为|−4|，矩形𝐷𝐶𝑂𝐸的
面积为|𝑘|，由矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为6 建立方程求解即可．
【详解】解：如图，设𝐴𝐷与𝑦轴交于点𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，点𝐵、𝐶在𝑥轴上，
∴𝐴𝐵⊥𝑥轴，𝐷𝐶⊥𝑥轴，𝐴𝐷∥𝑥轴，
∴四边形𝐴𝐵𝑂𝐸和四边形𝐷𝐶𝑂𝐸均为矩形．
∵点𝐴在反比例函数𝑦= −
4
𝑥的图象上，
∴𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸= |−4| = 4．
∵点𝐷在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象上，且图象在第一象限，
∴𝑘> 0，
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∴𝑆矩形𝐷𝐶𝑂𝐸= |𝑘| = 𝑘．
∵𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸+ 𝑆矩形𝐷𝐶𝑂𝐸= 6，
∴4 + 𝑘= 6，
∴𝑘= 2．
4．点P 在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥（𝑘≠0）的图象上，𝑃𝐴⊥𝑥轴于点A，△𝑃𝐴𝑂的面积为2，则k 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．±4
【答案】D
【分析】根据三角形面积可得|𝑘|的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此𝑘有两种可能．
【详解】解：∵ 过反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)图象上一点作x 轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积
为
1
2 |𝑘|，
又∵ △𝑃𝐴𝑂的面积为2，
∴
1
2 |𝑘| = 2，
解得|𝑘| = 4，即𝑘= ±4，
本题未给出函数图象所在象限，因此𝑘的值为±4．
5．如图，已知A、B 是函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)图象上的两点，点B 位于点A 的左侧，𝐴𝑀，𝐵𝑁均垂直于x 轴，
垂足为点M、N，连接𝐴𝑂，交𝐵𝑁于点𝐸．若𝑁𝐸=
1
4 𝑁𝐵，四边形𝐴𝑀𝑁𝐸的面积为3，则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】先设点𝐵坐标为(𝑎, 𝑏)，用𝑎、𝑏表示出△𝑂𝐸𝑁的面积，再根据四边形𝐴𝑀𝑁𝐸的面积列方程求得𝑘的
值便可．
【详解】解：设点𝐵坐标为(𝑎, 𝑏)，则𝑂𝑁= 𝑎，𝐵𝑁= 𝑏，𝑘= 𝑎𝑏，
∵𝑁𝐸=
1
4 𝑁𝐵，
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∴𝑁𝐸=
1
4 𝑏，
∴ 𝑆Δ𝑂𝐸𝑁=
1
2 𝑂𝑁⋅𝐸𝑁=
1
8 𝑎𝑏=
1
8 𝑘，
∵𝐴𝑀⊥𝑥轴于𝑀，
∴ 𝑆△𝑂𝐴𝑀=
1
2 𝑘，
∵四边形𝐴𝑀𝑁𝐸的面积为3，
∴
1
2 𝑘−
1
8 𝑘= 3，
解得𝑘= 8．
6．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图像上一点A 作𝐴𝐵⊥𝑦轴于点B，点P 在x
轴上，若𝑆△𝐴𝐵𝑃= 2，则k 的值为______．
【答案】4
【详解】解：设点𝐴的坐标为(𝑎,
𝑘
𝑎)，其中𝑎> 0，
∵𝐴𝐵⊥𝑦 轴于点 𝐵，
∴ 点𝐵的坐标为 (0,
𝑘
𝑎)，
∴𝐴𝐵= 𝑎，
△𝐴𝐵𝑃 的底边为𝐴𝐵，高为点𝑃到直线𝐴𝐵的距离，
点𝑃到直线𝐴𝐵的距离为
𝑘
𝑎−0 =
𝑘
𝑎，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 × 𝐴𝐵×高=
1
2 × 𝑎×
𝑘
𝑎=
𝑘
2，
由题意𝑆△𝐴𝐵𝑃= 2，
∴
𝑘
2 = 2，
∴𝑘= 4.
7．如图，已知反比例函数𝑦1 =
𝑘
𝑥(𝑥> 0)和𝑦2 =
1
𝑥(𝑥> 0)的图象，点𝑀为𝑦1 =
𝑘
𝑥(𝑥> 0)图象上一点，过点
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𝑀作𝑀𝐴⊥𝑥轴于点𝐴, 𝑀𝐴与𝑦2 =
1
𝑥(𝑥> 0)图象交于点𝑁，若△𝑀𝑂𝑁的面积为1，则𝑘的值为___________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的几何意义得𝑆△𝐴𝑂𝑁=
1
2，由𝑆△𝐴𝑂𝑀=
𝑘
2求解即可．
【详解】解：由题意可得点𝑁在𝑦2 =
1
𝑥(𝑥> 0)图象上，
∴𝑆△𝐴𝑂𝑁=
1
2，
∵𝑆△𝑀𝑂𝑁= 1，
∴𝑆△𝐴𝑂𝑀=
1
2 + 1 =
3
2，
∵点𝑀为𝑦1 =
𝑘
𝑥(𝑥> 0)图象上一点，
∴
3
2 =
𝑘
2，
∴𝑘= 3．
8．如图，点A 为x 轴正半轴上一点，点B 为反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥上一点，𝐵𝐶∥𝑥轴交y 轴于点C，延长𝐴𝐵交反
比例函数于点D，若点B 恰好为𝐴𝐷中点，且△𝐴𝑂𝐶面积为9，则k 的值为________．
【答案】12
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解此反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数
的表达式，熟练掌握梯形的中位线定理和三角形的面积公式是解决问题的关键．过点D 作𝐷𝐸∥𝑥轴交y 轴
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于点E，设𝑂𝐵= 𝑎，证明𝐵𝐶是梯形𝑂𝐴𝐷𝐸的中位线，得𝐶𝐸= 𝑂𝐶= 𝑎，𝐵𝐶=
1
2 (𝐷𝐸+ 𝑂𝐴)，则𝑂𝐸= 2𝑎，
进而得点B(
𝑘
𝑎, 𝑎)，，点D(
𝑘
2𝑎, 2𝑎)，𝑂𝐴=
3𝑘
2𝑎，再根据△𝐴𝑂𝐶面积为9 得
1
2 𝑂𝐴• 𝑂𝐶= 9，则，由此即可得出
k 的值．
【详解】解：过点D 作𝐷𝐸∥𝑥轴交y 轴于点E，如图所示：
设𝑂𝐵= 𝑎，则𝑎> 0，
∵𝐵𝐶∥𝑥轴，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶∥𝑂𝐴，
∵点B 恰好为𝐴𝐷中点，
∴𝐵𝐶是梯形𝑂𝐴𝐷𝐸的中位线，
∴𝐶𝐸= 𝑂𝐶= 𝑎，𝐵𝐶=
1
2 (𝐷𝐸+ 𝑂𝐴)，
∴𝑂𝐸= 2𝑎，
∴点B 的纵坐标为b，点D 的纵坐标为2b，
∵点B，D 都在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象上，
∴点B 的坐标为(
𝑘
𝑎, 𝑎)，
，点D 的坐标为(
𝑘
2𝑎, 2𝑎)，
∴𝐵𝐶=
𝑘
𝑎，𝐷𝐸=
𝑘
2𝑎，
∴
𝑘
𝑎=
1
2 × (
𝑘
2𝑎+ 𝑂𝐴)，
∴𝑂𝐴=
3𝑘
2𝑎，
∵△𝐴𝑂𝐶面积为9，
∴
1
2 𝑂𝐴• 𝑂𝐶= 9，
∴
1
2 ×
3𝑘
2𝑎× 𝑎= 9，
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∴𝑘= 12．
故答案为：12．
重难点五 反比例函数中的最小值问题
1.多为将军饮马最值模型，作出定点关于坐标轴的对称点；
2.依据两点之间线段最短L = √(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2，连线与双曲线交点即为取得线段和、周长最小值
的动点。
1．如图，点A、B 在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图像上，点A 坐标为(1,𝑚)，点B 坐标为(3,2)，y 轴上有一动点
P，连接𝑃𝐴、𝑃𝐵，则𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值为（ ）
A．2√6
B．5
C．3√3
D．4√2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知
识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点𝐴
的坐标，再作点𝐴关于𝑦轴的对称点𝐶，连接𝑃𝐶, 𝐵𝐶，则可得𝑃𝐶= 𝑃𝐴和点𝐶的坐标，然后根据两点之间线段
最短可得当点𝐵, 𝑃, 𝐶共线时，𝑃𝐶+ 𝑃𝐵的值最小，最小值为𝐵𝐶的长，由此即可得．
【详解】解：将点𝐵(3,2)代入反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥得：𝑘= 3 × 2 = 6，
∴反比例函数的解析式为𝑦=
6
𝑥，
将点𝐴(1, 𝑚)代入𝑦=
6
𝑥得：𝑚=
6
1 = 6，
∴𝐴(1,6)，
如图，作点𝐴关于𝑦轴的对称点𝐶，连接𝑃𝐶, 𝐵𝐶，
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则𝐶(−1,6)，𝑃𝐶= 𝑃𝐴，
∴𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝑃𝐶+ 𝑃𝐵，
由两点之间线段最短可知，当点𝐵, 𝑃, 𝐶共线时，𝑃𝐶+ 𝑃𝐵的值最小，最小值为𝐵𝐶=
√(−1 −3)2 + (6 −2)2 = 4√2，
即𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值为4√2，
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的OA 边在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上，
𝑂𝐴= 3，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘> 0)与正方形BC 边交于点D，与边AB 交于点E，点P 在y 轴上，若△𝑂𝐷𝐸
的面积为
5
2，则𝑃𝐷+ 𝑃𝐸的最小值是______．
【答案】√26
【分析】本题主要考查了反比例函数的𝑘的意义，得到𝐵点的坐标为(3,3)，设𝐷(
𝑘
3 , 3)，𝐸(3,
𝑘
3)，根据
𝑆△𝑂𝐷𝐸= 𝑆正方形𝑂𝐶𝐵𝐴−𝑆△𝐴𝑂𝐸−𝑆△𝐶𝑂𝐷−𝑆△𝐵𝐷𝐸 =
5
2列方程求出𝑘= 6或𝑘= −6（不合题意，舍去），得到反
比例函数𝑦=
6
𝑥，则𝐷(2,3)，𝐸(3,2)，作点D 关于𝑦轴的对称点𝐷′(−2.3)，连接𝐸𝐷′交𝑦轴于点P，连接𝐷𝑃，
则𝑃𝐷+ 𝑃𝐸= 𝑃𝐷′ + 𝑃𝐸= 𝐷′𝐸为最小值，利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵四边形𝑂𝐶𝐵𝐴是正方形，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐶= 𝐴𝑂= 𝐵𝐶= 3，
则𝐵点的坐标为(3,3)，
∵点𝐷，𝐸在反比例函数的图象上，
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∴𝐷(
𝑘
3 , 3)，𝐸(3,
𝑘
3)，
∵𝑆△𝑂𝐷𝐸= 𝑆正方形𝑂𝐶𝐵𝐴−𝑆△𝐴𝑂𝐸−𝑆△𝐶𝑂𝐷−𝑆△𝐵𝐷𝐸
= 9 −
1
2 𝑘−
1
2 𝑘−
1
2 (3 −
𝑘
3) (3 −
𝑘
3) =
5
2，
解得，𝑘= 6或𝑘= −6（不合题意，舍去），
∴反比例函数𝑦=
6
𝑥，
∴𝐷(2,3)，𝐸(3,2)，
作点D 关于𝑦轴的对称点𝐷′(−2,3)，连接𝐸𝐷′交𝑦轴于点P，连接𝐷𝑃，
则𝑃𝐷+ 𝑃𝐸= 𝑃𝐷′ + 𝑃𝐸= 𝐷′𝐸为最小值，
∴𝐷′𝐸= √(3 + 2)2 + (2 −3)2 = √26，
即𝑃𝐷+ 𝑃𝐸的最小值是√26．
故答案为：√26
3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图象与边长是7 的正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的两边
𝐴𝐵，𝐵𝐶分别相交于D，E 两点，△𝑂𝐷𝐸的面积为24，若动点P 在x 轴上，则𝑃𝐷+ 𝑃𝐸的最小值是
_______．
【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，轴对称-最短路线问题，勾股定理．由正方形𝑂𝐴𝐵𝐶
的边长是7，得到点D 的横坐标和点E 的纵坐标为7，求得𝐷(7,
𝑘
7) ，𝐸(
𝑘
7 , 7)，根据三角形的面积列方程
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得到𝐷(7,1)，𝐸(1,7)，作D 关于x 轴的对称点𝐹，连接𝐸𝐹交x 轴于P，则𝐸𝐹的长= 𝑃𝐷+ 𝑃𝐸的最小值，根
据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长是7，
∴点D 的横坐标和点E 的纵坐标为7，
∴𝐷(7,
𝑘
7) ，𝐸(
𝑘
7 , 7)，
∴𝐵𝐷= 7 −
𝑘
7 ，𝐵𝐸= 7 −
𝑘
7，
∵△𝑂𝐷𝐸的面积为24，
∴7 × 7 −
1
2 × 7 ×
𝑘
7 −
1
2 × 7 ×
𝑘
7 −
1
2 × (7 −
𝑘
7)
2
= 24，
∴𝑘= ±7(舍去负值)，
∴𝐷(7,1)，𝐸(1,7)，
作D 关于x 轴的对称点𝐹，连接𝐸𝐹交x 轴于P，则𝐸𝐹的长= 𝑃𝐷+ 𝑃𝐸的最小值，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐹= 1，
∴𝐵𝐹= 8，𝐵𝐸= 7 −1 = 6，
∴𝐸𝐹= √𝐵𝐸2 + 𝐵𝐹2 = √62 + 82 = 10，
故答案为：10．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图象与边长等于6 的正方形OABC 的两边
AB，BC 分别相交于M，N 两点，△𝑀𝑂𝑁的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
x 轴向右运动，记运动时间为t，当𝑡=_______s 时，𝑃𝑀+ 𝑃𝑁最小．
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【答案】2.5
【分析】由正方形OABC 的边长是6，得到点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，求得M（6，
𝑘
6），N（
𝑘
6，
6），根据三角形的面积列方程得到M（6，2），N（2，6），作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于
P，则NM′的长=PM+PN 的最小值，运用待定系数法求出NM′的解析式，再求出OP 的长即可解决问题．
【详解】解：∵正方形OABC 的边长是6，
∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，
∴M（6，
𝑘
6），N（
𝑘
6，6），
∴BN=6-
𝑘
6，BM=6-
𝑘
6，
∵△OMN 的面积为16，
∴6 × 6 −
1
2 × 6 ×
𝑘
6 −
1
2 × 6 ×
𝑘
6 −
1
2 × (6 −
𝑘
6)2 = 16，
整理得，𝑘2 = 144
∴𝑘= ±12
∵𝑘> 0
∴k=12，
∴M（6，2），N（2，6），
作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于P，则NM′的长=PM+PN 的最小值，
∵AM=AM′=2，
∴点M′的坐标为（6，-2），
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设直线NM′的解析式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，
把（2，6），（6，-2）代入得，{ 2𝑚+ 𝑛= 6
6𝑚+ 𝑛= −2
解得，{𝑚= −2
𝑛= 10
∴直线NM′的解析式为𝑦= −2𝑥+ 10，
令y=0，则−2𝑥+ 10=0，解得，x=5
∴P（5，0）
∴OP=5，
∴𝑡= 5 ÷ 2 = 2.5（s）
故答案为2.5．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，轴对称-最短路线问题，正方形的性质，正确作出辅
助线是解题的关键．
5．如图，点𝐴(5𝑎−1,2)、𝐵(8,1)都在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)的图象上，点𝑃是直线𝑦= 𝑥上的一个动点，
则𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值是______．
【答案】3√5
【分析】先根据A，B 都在反比例函数图象上，求出A，B 坐标，再求出A 的对称点，利用两点之间，线
段最短来解答即可．
【详解】解：∵A（5a-1，2）、B（8，1）都在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)的图象上，
∴（5a-1）×2=8，
∴a=1，
∴A（4，2），B（8，1），
∴A 关于直线y=x 的对称点A'（2，4），
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∴𝐴′𝐵= √(8 −2)2 + (1 −4)2 = 3√5
∴𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值是3√5
故答案为：3√5
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求
出A 关于直线y=x 的对称点，利用数形结合的思想解答．
6．如图，𝐴是双曲线𝑦= −
4
𝑥在第二象限上的一动点，𝐴𝑂的延长线与双曲线的另一支相交于点𝐵，取点𝐶在
第一象限，且𝐶𝐴= 𝐶𝐵=
5
6 𝐴𝐵，则𝑂𝐶的最小值为______．
【答案】
8√2
3 ．
【分析】过𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷，连接𝐶𝑂，根据点𝐴是双曲线𝑦= −
4
𝑥在第二象限上的一动点，𝐴𝑂的延长线与
双曲线的另一支相交于点𝐵，得到𝐴𝑂= 𝐵𝑂，且𝐴𝑂= 𝐵𝑂=
1
2 𝐴𝐵，可求得cos∠𝐶𝐴𝑂=
𝐴𝑂
𝐴𝐶=
3
5，可设𝐴𝑂=
3𝑎，则𝐴𝐶= 5𝑎，得𝐶𝑂= 4𝑎，设点𝐴的坐标是：（𝑥，−
4
𝑥），在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝑂中，有𝑥2 + (−
4
𝑥)2 = (3𝑎)2，即
有：9𝑎2 = 𝑥2 + (
4
𝑥)2 = (𝑥−
4
𝑥)2 + 8，化简可得当𝑥= −2时，𝑎有最小值是𝑎=
2√2
3 ，则有𝑂𝐶= 4𝑎=
8√2
3 ．
【详解】解：如图，过𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷，连接𝐶𝑂，
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∵点𝐴是双曲线𝑦= −
4
𝑥在第二象限上的一动点，𝐴𝑂的延长线与双曲线的另一支相交于点𝐵，
∴点𝐴，点𝐵关于原点对称，即𝐴𝑂= 𝐵𝑂，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐵=
5
6 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐵是等腰三角形，
∴𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，且𝐴𝑂= 𝐵𝑂=
1
2 𝐴𝐵，
∴cos∠𝐶𝐴𝑂=
𝐴𝑂
𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐵
5
6𝐴𝐵=
3
5，
设𝐴𝑂= 3𝑎，则𝐴𝐶= 5𝑎，
∴𝐶𝑂= √𝐴𝐶2 −𝐴𝑂2 = √(5𝑎)2 −(3𝑎)2 = 4𝑎
∵点𝐴是双曲线𝑦= −
4
𝑥在第二象限上的一动点，
∴设点𝐴的坐标是：（𝑥，−
4
𝑥），
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝑂中，𝑥2 + (−
4
𝑥)2 = (3𝑎)2，
即有：9𝑎2 = 𝑥2 + (
4
𝑥)2 = (𝑥−
4
𝑥)2 + 8，
∴当𝑥=
4
𝑥，即𝑥= ±2时，9𝑎2有最小值是8，
∴当𝑥= −2时，𝑎有最小值是𝑎=
2√2
3 ，
∴4𝑎=
8√2
3 ，
∴𝑂𝐶的最小值为
8√2
3 ，
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故答案是：
8√2
3 ．
7．如图，直线𝐴𝐵与反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥的图象交于第二象限内的点𝐶，与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴(2,0)，
𝐵(0,4)．过点𝐶作𝐶𝐷垂直𝑥轴于点𝐷，已知𝑂𝐷= 1．点𝑃为直线𝐴𝐵上一动点，连接𝑂𝑃．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求线段𝑂𝑃的最小值．
【答案】(1)𝑦= −
6
𝑥
(2)
4√5
5
【分析】（1）先求直线𝐴𝐵解析式，代入𝑥= −1得𝐶点坐标，再代入反比例函数即可求解析式；
（2）由垂线段最短可知𝑂𝑃⊥𝐴𝐵时最小，此时𝑂𝑃为Rt △𝐴𝑂𝐵斜边上的高，用等积法即可求此时𝑂𝑃长．
【详解】（1）解：设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
把𝐴(2,0)，𝐵(0,4)代入，得：
{2𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 4
，
解得：{𝑘= −2
𝑏= 4
，
∴𝑦= −2𝑥+ 4，
∵𝑂𝐷= 1，
∴把𝑥= −1代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，得：
𝑦= −2 × (−1) + 4 = 6，
∴点𝐶坐标为(−1,6)，
把𝐶(−1,6)代入𝑦=
𝑚
𝑥，得：
𝑚
−1 = 6，
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解得𝑚= −6，
∴反比例函数解析式为𝑦= −
6
𝑥；
（2）解：由“垂线段最短”可知：当𝑂𝑃⊥𝐴𝐵时，𝑂𝑃最小，如图，
∵𝐴(2,0)，𝐵(0,4)，
∴𝑂𝐴= 2, 𝑂𝐵= 4，
在Rt △𝑂𝐴𝐵中，由勾股定理得，
𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = √22 + 42 = 2√5，
∵𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=
1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝑃，
∴
1
2 × 2 × 4 =
1
2 × 2√5 ⋅𝑂𝑃，
解得𝑂𝑃=
4√5
5 ，
即线段𝑂𝑃的最小值为
4√5
5 ．
8．如图，直线𝑦=
3
2 𝑥与双曲线𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)交于𝐴，𝐵两点，点𝐴的坐标为(𝑚, −3)，点𝐶是双曲线第一象限
分支上的一点，连接𝐵𝐶并延长交𝑥轴于点𝐷，且𝐵𝐶= 2𝐶𝐷．
(1)直接写出𝑘的值和点𝐵的坐标；
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(2)点𝐺是𝑦轴上的动点，连接𝐺𝐵，𝐺𝐶，求𝐺𝐵+ 𝐺𝐶的最小值．
【答案】(1)6；(2,3)；
(2)2√17．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，熟
练掌握反比例函数与一次函数交点的计算方法进行求解是解题的关键．
（1）由直线𝑦=
3
2 𝑥过点𝐴(𝑚, −3)，求出𝑚的值，则点𝐴的坐标为(−2,−3)，代入即可求出𝑘的值，联立
{
𝑦=
3
2 𝑥
𝑦=
6
𝑥
，解出方程即可求出点𝐵的坐标；
（2）作𝐵关于𝑦轴对称轴𝐵1，过𝐵、𝐶分别作𝐵𝐸⊥𝑥，𝐶𝐹⊥𝑥轴于点𝐸、𝐹，连接𝐵1𝐶，与𝑦轴交于点𝐻，则
𝐵𝐸∥𝐶𝐹，𝐵1(−2,3)，𝐵𝐸= 3，当𝐺与𝐻重合，即𝐵1、𝐺、𝐶三点共线时𝐺𝐵+ 𝐺𝐶的值最小为𝐵1𝐶长，证明△
𝐶𝐹𝐷∽△𝐵𝐸𝐷，则
𝐶𝐹
𝐵𝐸=
𝐶𝐷
𝐵𝐷，求出𝐶(6,1)，然后根据两点间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线𝑦=
3
2 𝑥过点𝐴(𝑚, −3)，
∴−3 =
3
2 𝑚，解得：𝑚= −2，
∴点𝐴的坐标为(−2, −3)，
∵双曲线𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)过𝐴点，
∴𝑘= 6，
∴双曲线解析式为𝑦=
6
𝑥，
联立得：{
𝑦=
3
2 𝑥
𝑦=
6
𝑥
，
解得：{𝑥= −2
𝑦= −3
或{𝑥= 2
𝑦= 3
，
∴点𝐵的坐标为(2,3)；
（2）解：如图，作𝐵关于𝑦轴对称轴𝐵1，过𝐵、𝐶分别作𝐵𝐸⊥𝑥，𝐶𝐹⊥𝑥轴于点𝐸、𝐹，连接𝐵1𝐶，与𝑦轴交
于点𝐻，则𝐵𝐸∥𝐶𝐹，𝐵1(−2,3)，𝐵𝐸= 3，
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∴𝐻𝐵= 𝐻𝐵1，
∵𝐺𝐵1 + 𝐺𝐶≥𝐵1𝐶= 𝐻𝐵+ 𝐻𝐶，
∴当𝐺与𝐻重合，即𝐵1、𝐺、𝐶三点共线时𝐺𝐵+ 𝐺𝐶的值最小为𝐵1𝐶长，
∵𝐵𝐸∥𝐶𝐹，
∴△𝐶𝐹𝐷∽△𝐵𝐸𝐷，
∴
𝐶𝐹
𝐵𝐸=
𝐶𝐷
𝐵𝐷，
∴
𝐶𝐹
3 =
1
3，
∴𝐶𝐹= 1，即𝐶纵坐标为1，
∵𝐶在双曲线𝑦=
6
𝑥的图象上，
∴𝐶(6,1)，
∴𝐵1𝐶= √(−2 −6)2 + (3 −1)2 = √68 = 2√17，
∴𝐺𝐵+ 𝐺𝐶的最小值为2√17．
重难点六 反比例函数中的存在性问题
1.平行四边形利用中点公式x1+x3
2
=
x2+x4
2
,
y1+y3
2
=
y2+y4
2
分三类讨论；
2.直角三角形利用垂直坐标关系(x −x1)(x −x2) + (y −y1)(y −y2) = 0分类找点；
3.等腰三角形利用距离公式d = √(x1 −x2)2 + (y1 −y2)2平方列式；
4.相似三角形依靠对应边成比例
a1
a2 =
b1
b2求解坐标，再代入y =
k
x检验。
1．如图，点A 在反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑥< 0)图象上，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点B，连接𝑂𝐴，
tan∠𝐴𝑂𝐵=
1
2，𝑂𝐵= 2．
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(1)求反比例函数解析式；
(2)在y 轴上是否存在点M，使得△𝐴𝑂𝑀为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)
(2)点M 的坐标为(0,2.5)或(0,2)或(0,√5)或(0,−√5)
【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分
析是解题关键．
（1）根据题意得出𝐴(−2,1)，然后利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出𝐴𝑂= √5，然后分三种情况分析：当𝑂𝐴= 𝑂𝑀时，当𝑂𝐴= 𝐴𝑀时，当𝑂𝑀= 𝐴𝑀时，分
别作出图象，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵tan∠𝐴𝑂𝐵=
1
2，𝑂𝐵= 2．
∴𝐴𝐵= 1，
∵点A 在第二象限，
∴𝐴(−2,1)，
∵点A 在反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑥< 0)图象上，
∴1 =
𝑚
−2，
∴𝑚= −2，
∴𝑦= −
2
𝑥(𝑥< 0)；
（2）由（1）得𝑂𝐵= 2，𝐴𝐵= 1，
∴𝐴𝑂= √𝑂𝐵2 + 𝐴𝐵2 = √5，
∵在y 轴上存在点M，使得△𝐴𝑂𝑀为等腰三角形，
∴设𝑀(0, 𝑚)，
∴当𝑂𝐴= 𝑂𝑀时，
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|𝑚| = √5，
∴𝑚= ±√5，
∴点M 的坐标为(0, √5)或(0, −√5)；
当𝑂𝐴= 𝐴𝑀时，过点A 作𝐴𝐺⊥𝑦轴，如图所示：
∴四边形ABOG 为矩形，
∴𝑂𝐺= 𝐴𝐵= 𝐺𝑀3 = 1，
∴𝑂𝑀3 = 2，
∴点M 的坐标为(0,2)；
当𝑂𝑀= 𝐴𝑀时，过点A 作𝐴𝐻⊥𝑦轴，如图所示：
∴四边形ABOG 为矩形，
∴𝑂𝐻= 𝐴𝐵= 1, 𝐴𝐻= 𝑂𝐵= 2，
设𝑂𝑀4 = 𝐴𝑀4 = 𝑥，则𝐻𝑀4 = 𝑥−1，
∵𝐴𝐻2 + 𝐻𝑀4
2 = 𝐴𝑀4
2，
∴22 + (𝑥−1)2 = 𝑥2，
解得：𝑥= 2.5，
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∴点M 的坐标为(0,2.5)；
综上可得：点M 的坐标为(0,2.5)或(0,2)或(0, √5)或(0, −√5) ．
2．如图，菱形𝐴𝑂𝐵𝐶的顶点A 的坐标为(3,4)，顶点O 与坐标原点重合，顶点B 在x 轴正半轴上，点D 是
𝐴𝐶的中点，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥 (𝑘> 0，𝑥> 0)的图像经过点D．
(1)求𝑂𝐴的长及k 的值；
(2)反比例𝑦=
𝑘
𝑥 (𝑘> 0，𝑥> 0)的图像上存在点E，使得△𝐴𝐷𝐸的面积为
5
2，求点E 的坐标．
【答案】(1)5，22 (2)(
11
3 , 6)或(11,2)
【详解】（1）解∶∵点A 的坐标为(3,4)
∴𝑂𝐴= √32 + 42 = 5，
∵菱形𝐴𝑂𝐵𝐶，
∴𝐶𝐴= 𝑂𝐴= 5，𝐴𝐶∥𝑥轴，
∵点D 是𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐶=
5
2，
∴𝐷(
11
2 , 4)，
代入𝑦=
𝑘
𝑥，得𝑘=
11
2 × 4 = 22；
（2）解：设E 的纵坐标为𝑦𝐸，则E 到𝐴𝐷的距离为|𝑦𝐸−4|，
∵△𝐴𝐷𝐸的面积为
5
2，
∴
1
2 ×
5
2 |𝑦𝐸−4| =
5
2，
解得𝑦𝐸= 6或2，
由（1）知：反比例函数解析式为𝑦=
22
𝑥，
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当𝑦= 6时，6 =
22
𝑥，解得𝑥=
11
3 ；
当𝑦= 2时，2 =
22
𝑥，解得𝑥= 11；
∴E 的坐标为(
11
3 , 6)或(11,2)．
3．如图，点𝐴(1,6)、𝐵(𝑚, 𝑛)在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)的图象上，𝐴𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，𝐵𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，
𝐶𝐷= 3．
(1)求反比例函数的解析式及点𝐵的坐标；
(2)在反比例函数图象上是否存在点𝐸，使△𝐶𝐷𝐸的面积等于3？若存在，直接写出点𝐸的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为𝑦=
6
𝑥，点𝐵的坐标为(−2, −3)； (2)存在，点𝐸的坐标为(3,2)或
(−3, −2)．
【详解】（1）解：∵𝐴(1,6), 𝐵(𝑚, 𝑛)，
∴𝑂𝐷= 𝑚，𝑂𝐶= 1．
∵𝐷𝐶= 3，
∴𝑚= −2，
∴𝐵(−2, 𝑛)．
设反比例函数的表达式为𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)，把𝐴(1,6)代入可得𝑘= 𝑥𝑦= 6
∴反比例函数的表达式为𝑦=
6
𝑥，
把𝐵(−2, 𝑛)代入𝑦=
6
𝑥中，𝑛= −3，
∴𝐵(−2, −3)；
（2）解：存在，理由如下：
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设𝐸(𝑥,
6
𝑥)，△𝐶𝐷𝐸的面积等于3，
∴
1
2 × 3 ⋅|
6
𝑥| = 3，
解得：𝑥= 3或𝑥= −3，经检验符合题意；
∴𝐸(3,2)或𝐸(−3, −2)．
4．如图，直线𝑦= 2𝑥−2与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)图象交于点C，
𝐶𝐸⊥𝑥轴于点E，𝑂𝐴= 𝐴𝐸．
(1)求k 的值；
(2)点F 为x 轴上一点（在点E 的右侧），过点F 作x 轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数
图象交于点N，若四边形𝐵𝑂𝑀𝑁为平行四边形，求𝐸𝐹的长；
(3)在x 轴的正半轴上是否存在点P，使△𝑃𝐵𝐶为直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，则
说明理由．
【答案】(1)𝑘= 4
(2)𝐸𝐹= √3 −1
(3)存在，点P 的坐标为𝑃(6,0)或𝑃(1 + √5, 0)
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分
类求解是解题的关键．
（1）证明△𝐴𝑂𝐵∽𝐴𝐸𝐶，根据相似三角形的性质可求出𝐶𝐸= 𝑂𝐵= 2，得点𝐶坐标，从而求出𝑘的值；
（2）由𝑀𝑁= 𝑂𝐵= 2得𝑀𝑁= 𝑀𝐹−𝑁𝐹= 2𝑥−2 −
4
𝑥= 2，求出𝑥= 1 + √3，从而可求出𝐸𝐹= √3 −1；
（3）分∠𝐵𝐶𝑃= 90°和∠𝐵𝑃𝐶= 90°两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由𝑦= 2𝑥−2可得𝐴(1,0)，𝐵(0,−2)
∵𝑂𝐴= 𝐴𝐸，𝑂𝐵∥𝐸𝐶，
∴△𝐴𝑂𝐵∽𝐴𝐸𝐶，
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∴𝑂𝐵
𝐶𝐸= 𝑂𝐴
𝐴𝐸= 𝐴𝐵
𝐴𝐶= 1
∴𝐶𝐸= 𝑂𝐵= 2，
∴点𝐶(2,2)，
∴𝑘= 2 × 2 = 4；
（2）解：∵四边形𝐵𝑂𝑀𝑁为平行四边形
∴𝑀𝑁= 𝑂𝐵= 2，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐹−𝑁𝐹= 2𝑥−2 −4
𝑥= 2
解得𝑥1 = 1 + √3，𝑥2 = 1 −√3（不合题意舍去）
∴𝐸𝐹= 𝑂𝐹−𝑂𝐸= 1 + √3 −2 = √3 −1；
（3）①当∠𝐵𝐶𝑃= 90°时，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝑃𝐶𝐸= 90°,
又∵𝐶𝐸⊥𝐴𝑃，
∴∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐸𝑃，∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝑃𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐶𝐸∽△𝐶𝑃𝐸，
∴
𝐴𝐸
𝐶𝐸=
𝐶𝐸
𝑃𝐸，
∴𝐶𝐸2 = 𝐴𝐸⋅𝐸𝑃，即22 = 1 × 𝐸𝑃
∴𝐸𝑃= 4，
∴𝑃(6,0)；
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②当∠𝐵𝑃𝐶= 90°时，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= √22 + 12 = √5
∴𝑃𝐴=
1
2 𝐵𝐶= √5，
∴𝑃(1 + √5,0)；
综上所述，点P 的坐标为𝑃(6,0)或𝑃(1 + √5,0)．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=
1
3 𝑥+ 1的图象与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，与反比例函
数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)的图象相交于𝐶、𝐷两点，点𝐷的横坐标为3，𝐷𝐸⊥𝑥轴，垂足为点𝐸．
(1)求出点𝐴，𝐵，𝐷的坐标；
(2)若点𝑀是反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)图象上的一个动点且位于点𝐷右侧，连接𝑀𝐸，过点𝑀作𝑀𝐹⊥𝑥轴，垂
足为点𝐹．是否存在这样的点𝑀，使得以点𝑀，𝐸，𝐹为顶点的三角形与△𝐴𝑂𝐵相似？若存在，请求出所有
满足条件的点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(−3,0)，𝐵(0,1)，𝐷(3,2)；
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(2)𝑀(6,1)或𝑀(
3+√17
2
,
3√17−9
2
)．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性
质，一元二次方程的解法，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键．
（1）由一次函数𝑦=
1
3 𝑥+ 1可得当𝑥= 0，𝑦= 0，𝑥= 3，分别求解对应的𝑦，𝑥，从而可得点𝐴、𝐵、𝐷的
坐标；
（2）代入𝐷的坐标可得反比例函数解析式，证明∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐸𝐹𝑀，由𝑀在𝐷的右侧，分两种情况：当△
𝑂𝐴𝐵∽△𝐹𝐸𝑀时，设𝑀(𝑥,
6
𝑥)；当△𝑂𝐴𝐵∽△𝐹𝑀𝐸时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数𝑦=
1
3 𝑥+ 1的图象与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，
∴当𝑥= 0时，𝑦= 1；当𝑦= 0时，𝑥= −3；当𝑥= 3时，𝑦= 2；
∴𝐴(−3,0)，𝐵(0,1)，𝐷(3,2)；
（2）解：∵𝐷(3,2)在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)的图象上，
∴𝑘= 3 × 2 = 6，
∴反比例函数解析式为𝑦=
6
𝑥，
∵𝑀𝐹⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐸𝐹𝑀= 90°，
当△𝑂𝐴𝐵∽△𝐹𝐸𝑀时，
设𝑀(𝑥,
6
𝑥)，
∴
3
𝑥−3 =
1
6
𝑥
，
解得：𝑥1 = 6，𝑥2 = −3（不符合题意，舍去），
∴𝑀(6,1)，
当△𝑂𝐴𝐵∽△𝐹𝑀𝐸时，
∴
1
6
𝑥
=
1
𝑥−3，
解得：𝑥1 =
3+√17
2
，𝑥2 =
3−√17
2
（不符合题意，舍去），
∴𝑦=
6
𝑥= 6 ×
2
3+√17 =
3√17−9
2
，
∴𝑀(
3+√17
2
,
3√17−9
2
)，
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综上：𝑀(6,1)或𝑀(
3+√17
2
,
3√17−9
2
)．
6．如图，已知一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与反比函数𝑦2 =
𝑚
𝑥的图象在第一、三象限分别交于𝐴(6,1)、𝐵(𝑎, −3)两
点，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积；
(3)点P 为y 轴上的一个动点，连接𝐴𝑃，是否存在点P 使得△𝑃𝐴𝑂是以𝑂𝐴为腰的等腰三角形？若存在，请
写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝑦1 =
1
2 𝑥−2，𝑦2 =
6
𝑥
(2)8
(3)存在，𝑃(0, √37)或𝑃(0,−√37)或𝑃(0,2)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析
式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分割法求出△𝐴𝑂𝐵的面积即可；
（3）分𝑂𝐴= 𝐴𝑃, 𝑂𝐴= 𝑂𝑃两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：𝑚= 6 × 1 = −3𝑎，
∴𝑚= 6, 𝑎= −2，
∴𝑦2 =
6
𝑥，𝐵(−2, −3)，
把𝐴(6,1)、𝐵(−2,−3)代入𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏，得：
{ 6𝑘+ 𝑏= 1
−2𝑘+ 𝑏= −3
，解得：{ 𝑘=
1
2
𝑏= −2
，
∴𝑦1 =
1
2 𝑥−2；
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（2）设直线𝑦1 =
1
2 𝑥−2与𝑦轴交于点𝐶，
当𝑥= 0时，𝑦1 = −2，
∴𝐶(0, −2)，
∴𝑂𝐶= 2，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=
1
2 𝑂𝐶⋅|𝑥𝐴−𝑥𝐵| =
1
2 × 2 × (6 + 2) = 8；
（3）存在；
设𝑃(0,𝑝)，
∵𝑂(0,0),𝐴(6,1)，
∴𝐴𝑃2 = 62 + (𝑝−1)2，𝑂𝐴= √36 + 1 = √37，𝑂𝑃= |𝑝|，
△𝑃𝐴𝑂是以𝑂𝐴为腰的等腰三角形，分两种情况：
①𝑂𝐴= 𝑂𝑃，则：|𝑝| = √37，
∴𝑝= ±√37，
∴𝑃(0, √37)或𝑃(0, −√37)；
②𝑂𝐴= 𝐴𝑃，则：62 + (𝑝−1)2 = 37，
解得：𝑝= 0（舍去）或𝑝= 2；
∴𝑃(0,2)；
综上：存在𝑃(0,√37)或𝑃(0,−√37)或𝑃(0,2)，使△𝑃𝐴𝑂是以𝑂𝐴为腰的等腰三角形．
7．如图，平面直角坐标系中，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝑂为原点，𝐴(4,0)，𝐶(0,5)，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥上的图象经
过𝐵𝐶的中点𝑃，交𝐴𝐵于点𝑄．
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(1)求反比例函数和直线𝑃𝑄的解析式；
(2)若点𝑀为反比例函数图象上一个动点，点𝑁为𝑥轴上一个动点，是否存在以𝑃，𝑄，𝑀，𝑁为顶点的四边形
是以𝑃𝑄为边的平行四边形？若存在，请求出𝑀的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝑦=
10
𝑥，𝑦= −
5
4 𝑥+
15
2
(2)存在，(−4，−
5
2)
【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比
例函数的关系式，掌握反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求
反比例函数的关系式的方法是解决问题的前提．
（1）利用矩形的性质求得𝐵(4，5)，得到𝑃(2，5)，再利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再求
得点Q 的坐标，利用待定系数法可求得直线𝑃𝑄的解析式；
（2）分两种情况讨论，①当点𝑃(2，5)与点N 对应时，②当点𝑄(4，
5
2)与点N 对应时，利用平移的性质
求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点O 为原点，𝐴(4，0)，𝐶(0，5)，
∴𝐵(4，5)，
∵点P 是𝐵𝐶的中点，
∴𝑃(2，5)，
∵反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥上的图象经过𝐵𝐶的中点P，
∴𝑘= 2 × 5 = 10，
∴反比例函数的解析式为𝑦=
10
𝑥，
∵点Q 在𝐴𝐵上，
∴点Q 的横坐标为4，当𝑥= 4时，𝑦=
10
4 =
5
2，
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∴𝑄(4，
5
2)，
设直线𝑃𝑄的解析式为𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏，
∴{
2𝑎+ 𝑏= 5
4𝑎+ 𝑏=
5
2
，解得，{
𝑎= −
5
4
𝑏=
15
2
，
∴直线𝑃𝑄的解析式为𝑦= −
5
4 𝑥+
15
2 ；
（2）解：存在以P，Q，M，N 为顶点的四边形是以𝑃𝑄为边的平行四边形，
分两种情况讨论，当𝑃𝑄∥𝑀𝑁时，
①当点𝑃(2，5)与点N 对应时，即纵坐标向下平移了5 个单位，
∴点𝑄(4，
5
2)也向下平移5 个单位得到点M，此时点M 的纵坐标为
5
2 −5 = −
5
2，
当𝑦= −
5
2时，−
5
2 =
10
𝑥，解得𝑥= −4，
∴点𝑀(−4，−
5
2)；
②当点𝑄(4，
5
2)与点N 对应时，即纵坐标向下平移了
5
2个单位，
∴点𝑃(2，5)也向下平移
5
2个单位得到点M，此时点M 的纵坐标为5 −
5
2 =
5
2，
当𝑦=
5
2时，
5
2 =
10
𝑥，解得𝑥= 4，
点𝑀(4，
5
2)，但与点Q 重合，舍去；
综上，点M 的坐标为(−4，−
5
2)．
8．如图，一次函数𝑦=
1
2 𝑥+ 2的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0，𝑥> 0)的图象相交于点𝐴(2, 𝑎)，与𝑥轴交
于𝐶点，与𝑦轴交于𝐵点．
(1)由图像可知，当x 时，
1
2 𝑥+ 2 >
𝑘
𝑥；
(2)求出a，k 的值；
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(3)若𝑀(𝑚, 0)为x 轴上的一动点，当△𝐴𝑀𝐵的面积为
7
2时，求m 的值；
(4)在𝑥轴上是否存在点𝐷，使得∠𝐵𝑂𝐴= ∠𝑂𝐴𝐷，若存在，请直接写出点𝐷坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)> 2；
(2)𝑎= 3，𝑘= 6；
(3)𝑚= 3或-11；
(4)𝐷的坐标为(2,0)或(−
26
5 , 0)．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）将点𝐴(2, 𝑎)代入𝑦=
1
2 𝑥+ 2，即可求出𝑎的值，从而得到𝐴(2,3)．再将𝐴(2,3)代入𝑦=
𝑘
𝑥，即可求出𝑘的
值；
（3）根据一次函数解析式可求出𝐶(−4,0)，𝐵(0,2)．结合𝑀(𝑚, 0)为𝑥正轴上的一动点，可求出𝐶𝑀= 𝑚+
4．最后根据𝑆△𝐴𝑀𝐵= 𝑆△𝐴𝐶𝑀−𝑆△𝐵𝐶𝑀，结合三角形面积公式，即可列出关于𝑚的等式，解出𝑚的值即可．
（4）过𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷，作𝑂𝐴的垂直平分线交𝑦轴于𝐸，交𝑂𝐴于𝐹，连接𝐴𝐸，并延长𝐴𝐸交𝑥轴于𝐷′，分
两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）根据图像可以看出
1
2 𝑥+ 2 >
𝑘
𝑥表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当𝑥> 2时，
1
2 𝑥+ 2 >
𝑘
𝑥；
（2）由题意可知点𝐴(2, 𝑎)在一次函数𝑦=
1
2 𝑥+ 2的图象上，
∴𝑎=
1
2 × 2 + 2 = 3，
∴𝐴(2,3)．
∵一次函数𝑦=
1
2 𝑥+ 2的图象与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0, 𝑥> 0)的图象相交于点𝐴，
∴3 =
𝑘
2，
∴𝑘= 6；
（3）对于𝑦=
1
2 𝑥+ 2，令𝑦= 0，则0 =
1
2 𝑥+ 2，
解得：𝑥= −4，
∴𝐶(−4,0)．
令𝑥= 0，则𝑦= 2，
∴𝐵(0,2)．
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∵𝑀(𝑚, 0)为𝑥轴的一动点，
∴𝐶𝑀= |𝑚| −(−4) = |𝑚| + 4，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑀=
1
2 𝐶𝑀⋅𝑦𝐴=
1
2 (|𝑚| + 4) × 3 =
3
2 (|𝑚| + 4)，
𝑆△𝐵𝐶𝑀=
1
2 𝐶𝑀⋅𝑦𝐵=
1
2 (|𝑚| + 4) × 2 = (|𝑚| + 4)，
∵𝑆△𝐴𝑀𝐵= 𝑆△𝐴𝐶𝑀−𝑆△𝐵𝐶𝑀，𝑆△𝐴𝑀𝐵=
7
2，
∴
3
2 (|𝑚| + 4) −(|𝑚| + 4) =
7
2，
解得：𝑚= 3或−11．
（4）过𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷，
∴𝐴𝐷∥𝑦轴，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐷，
∵𝐴(2, 𝑎)，𝑘= 6，
∴𝑦=
6
𝑥，
把𝑥= 2，代入𝑎=
6
2 = 3，
∴𝐷(2,0)，
作𝑂𝐴的垂直平分线交𝑦轴于𝐸，交𝑂𝐴于𝐹，连接𝐴𝐸，并延长𝐴𝐸交𝑥轴于𝐷′，
∴△𝐸𝑂𝐴是等腰三角形，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐷′，
∵𝐴(2,3)，
∴𝑂𝐴= √22 + 32 = √13，
∵tan∠𝐴𝑂𝐵=
2
3 =
𝐸𝐹
𝑂𝐹=
𝐸𝐹
√13
2
，
∴𝐸𝐹= √13
3 ，
∴𝑂𝐸= √𝐸𝐹2 + 𝑂𝐹2 = √(√13
3 )2 + (√13
2 )2 =
13
6 ，
设直线𝐴𝐸的解析式为：𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，
把𝐴(2,3)，𝐸(0,
13
6 )代入解析式可得：{
2𝑚+ 𝑛= 3
𝑛=
13
6
，
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解得：{
𝑚=
5
12
𝑛=
13
6
，
∴直线𝐴𝐸的解析式为：𝑦=
5
12 𝑥+
13
6 ，
把𝑦= 0代入𝑦=
5
12 𝑥+
13
6 ，
解得：𝑥= −
26
5 ，
∴𝐷′(−
26
5 , 0)，
综上所述，𝐷的坐标为(2,0)或(−
26
5 , 0)．
9．如图，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点A，C 分别在x，y 轴的正半轴上，点D 为对角线𝑂𝐵的中点，点𝐸(4,𝑛)在边𝐴𝐵
上，反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)在第一象限内的图象经过点D，E．且tan∠𝐵𝑂𝐴=
1
2，
(1)求反比例函数的解析式和n 的值．
(2)线段𝑂𝐵上是否存在一点M．使得四边形𝐵𝐸𝑀𝐹的面积等于△𝑂𝐴𝐵的面积?若存在，请求出点M 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝑦=
2
𝑥，𝑛=
1
2 (2)存在，𝑀(
4
3 ,
2
3)
【分析】（1）根据点E 坐标求出𝑂𝐴，解直角三角形求出𝐴𝐵，得到点B 坐标，继而求出点D 坐标，代入反
比例函数解析式求出k，再将点E 代入反比例函数解析式即可求出n 值；
（2）分别过点M 作𝑀𝑃⊥𝐵𝐶，𝑀𝑄⊥𝐴𝐵，垂足分别为P，Q，求出点F 的坐标，再求出𝑂𝐵的解析式，设
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𝑀(𝑎,
1
2 𝑎)，表示出相应线段的长度，求出△𝑂𝐴𝐵的面积，可得四边形𝐵𝐸𝑀𝐹的面积，据此列出方程，解之
可得a 值，即可得到点M 坐标．
【详解】（1）解：∵点𝐸(4, 𝑛)在边𝐴𝐵上，
∴𝑂𝐴= 4，
在直角△𝐴𝑂𝐵中，∵tan∠𝐵𝑂𝐴=
𝐴𝐵
𝑂𝐴=
1
2，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐴⋅tan∠𝐵𝑂𝐴= 2，
∴𝐵(4,2)，
∵点D 为对角线𝑂𝐵的中点，
∴𝐷(2,1)，代入𝑦=
𝑘
𝑥中，
得：𝑘= 2 × 1 = 2，
∴反比例函数解析式为𝑦=
2
𝑥，
又∵点𝐸(4, 𝑛)在反比例函数图象上，
∴𝑛=
2
4 =
1
2；
（2）分别过点M 作𝑀𝑃⊥𝐵𝐶，𝑀𝑄⊥𝐴𝐵，垂足分别为P，Q，
在𝑦=
2
𝑥中，令𝑦= 2，则𝑥= 1，
∴𝐹(1,2)，
设𝑂𝐵: 𝑦= 𝑚𝑥，将𝐵(4,2)代入，
得2 = 4𝑚，则𝑚=
1
2，
∴𝑦=
1
2 𝑥，设𝑀(𝑎,
1
2 𝑎)，
∴𝑀𝑃= 2 −
1
2 𝑎，𝑀𝑄= 4 −𝑎，
∵𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 𝑂𝐴× 𝑂𝐵= 4，
∴𝑆𝐵𝐸𝑀𝐹= 𝑆△𝐵𝑀𝐹+ 𝑆△𝐵𝑀𝐸
= 1
2 × 𝐵𝐹× 𝑀𝑃+ 1
2 × 𝐵𝐸× 𝑀𝑄
= 1
2 × (4 −1) × (2 −1
2 𝑎) + 1
2 × (2 −1
2) × (4 −𝑎)
= 4
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解得：𝑎=
4
3，
∴𝑀(
4
3 ,
2
3)．
10．如图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，∠𝐴𝑂𝐵= 90°，点A，B 分别在函数𝑦=
𝑘1
𝑥（𝑥> 0）和𝑦=
𝑘2
𝑥（𝑥> 0）的图象上，且
点A 的坐标为(1,4)．
(1)求𝑘1，𝑘2的值：
(2)若点C，D 分在函数𝑦=
𝑘1
𝑥（𝑥> 0）和𝑦=
𝑘2
𝑥（𝑥> 0）的图象上，且不与点A，B 重合，是否存在点
C，D，使得△𝐶𝑂𝐷≌△𝐴𝑂𝐵，若存在，请直接出点C，D 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝑘1 = 4，𝑘2 = −4
(2)𝐶(4,1)，𝐷(1, −4)
【分析】（1）过点A 作AE⊥y 轴交于点E，过点B 作BF⊥y 轴交于点F，将点A 代入𝑦=
𝑘1
𝑥即可求得𝑘1，证
明△AOE≌△BOF，从而求得点B 坐标，将点B 代入𝑦=
𝑘2
𝑥求得𝑘2；（2）由△𝐶𝑂𝐷≌△𝐴𝑂𝐵可得
OC=OA=OB=OD，可得C 与B 关于x 轴对称，A 与D 关于x 轴对称即可求得坐标．
【详解】（1）如图，过点A 作AE⊥y 轴交于点E，过点B 作BF⊥y 轴交于点F，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
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∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A 的坐标为(1,4)，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B 分别代入𝑦=
𝑘1
𝑥和𝑦=
𝑘2
𝑥，
解得，𝑘1 = 4，𝑘2 = −4；
（2）由（1）得，点A 在𝑦=
4
𝑥图象上，点B 在𝑦= −
4
𝑥图象上，两函数关于x 轴对称，
∵△𝐶𝑂𝐷≌△𝐴𝑂𝐵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C 与B 关于x 轴对称，A 与D 关于x 轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
11．如图，在平面直角坐标系中，B、C 两点在x 轴的正半轴上，以𝐵𝐶为边向上作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，顶点A 在
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直线𝑦= 2𝑥上，双曲线𝑦=
𝑘
𝑥经过点A，且与边𝐶𝐷交于点E.
(1)若𝐵𝐶= 4，求k 的值和点E 的坐标；
(2)连接𝐴𝐸、𝑂𝐸.
①若△𝐴𝑂𝐸的面积为24，求k 的值；
②是否存在某一位置使得𝐴𝐸⊥𝑂𝐴，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)𝑘= 8, 𝐸(6,
4
3)
(2)①18；
②不存在，理由：
∵𝐴𝐸⊥𝑂𝐴，
∴ ∠𝑂𝐴𝐵= 90° −∠𝐸𝐴𝐵，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴ 𝐴𝐵=
𝐴𝐷 ∴
∠𝐸𝐴𝐷= 90° −∠𝐸𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝑂𝐴𝐵，
∵{
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝑂𝐵𝐴
，
∴△𝐸𝐴𝐷≌△𝑂𝐴𝐵(ASA)，
∴𝑂𝐵= 𝐷𝐸，
∵点A 在直线𝑦= 2𝑥上，
∴设𝐴(𝑚, 2𝑚)，
则𝑂𝐵= 𝐷𝐸= 𝑚, 𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 2𝑚，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐵+ 𝐵𝐶= 3𝑚, 𝐸𝐶= 𝑚，
∴设𝐸(3𝑚, 𝑚)，
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∴设𝑘= 𝑚× 2𝑚= 3𝑚× 𝑚，
∵ B、C 两点在x 轴的正半轴上，
∴𝑚≠0，∴2 = 3，
这是不可能的，故不存在某一位置使得𝐴𝐸⊥𝑂𝐴.
【分析】(1)根据𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4，设𝐴(𝑡, 4)，代入解析式𝑦= 2𝑥确定A 的坐标，确定反比例函数解析式，根
据𝑂𝐶= 𝑂𝐵+ 𝐵𝐶= 𝑡+ 4，代入反比例函数解析式计算即可.
(2)①设𝐴(𝑚, 2𝑚)，则𝑘= 𝑥𝑦= 2𝑚2，𝐶(3𝑚, 0),𝐸(3𝑚,
2
3 𝑚)，根据题意，得𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐸，列出等式
计算即可.
②假设𝐴𝐸⊥𝑂𝐴，证明△𝐸𝐴𝐷≌△𝑂𝐴𝐵(ASA)，利用反比例函数解析式建立等式证明即可.
【详解】（1）∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶= 4，𝑦=
𝑘
𝑥,
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
设𝐴(𝑡, 4)，则𝐶(𝑡+ 4,0),𝐸(𝑡+ 4,
𝑘
𝑡+4)，
𝐴(𝑡, 4)代入𝑦= 2𝑥，得4 = 2𝑡，
解得𝑡= 2，
故𝐴(2,4)，
∴𝑘= 2 × 4 = 8，
∴𝐸(2 + 4,
8
6)即𝐸(6,
4
3).
（2）①∵点A 在直线𝑦= 2𝑥上，
∴设𝐴(𝑚, 2𝑚)，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑦=
𝑘
𝑥,
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2𝑚，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝑘= 𝑥𝑦= 2𝑚2，
∴𝐶(3𝑚, 0),𝐸(3𝑚,
2
3 𝑚)，
根据题意，得𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐸，
∴
1
2 (2𝑚+
2
3 𝑚) × 2𝑚= 24，
解得𝑚= 3, 𝑚= −3（舍去），故𝐴(3,6)，
故𝑘= 𝑥𝑦= 2𝑚2 = 18；
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②略
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法
计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键.
12．一次函数𝑦=
1
2 𝑥+ 2与𝑥轴交于𝐶点，与𝑦轴交于𝐵点，直线𝐵𝐶与反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥交于点𝐴(2,𝑎)．
(1)求出𝑎，𝑘的值；
(2)𝑀为线段𝐵𝐶上的点，将点𝑀向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点𝑁，点𝑁恰巧在反比例函数
𝑦=
𝑘
𝑥上，求出点𝑁坐标；
(3)在（2）的条件下，若点𝑃是𝑥轴上的一个动点，点𝑄是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点𝑃，
𝑄，使得四边形𝑀𝐴𝑃𝑄为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点𝑃坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)𝑁(2,3)
(3)𝑥= −2 ± √19或2 ± √11
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和
性质：
（1）把点𝐴代入一次函数解析式，求出𝑎的值，再把点𝐴代入反比例函数解析式求出𝑘的值即可；
（2）求出点𝐵的坐标为(0,2)，点𝐶的坐标为(−4,0)，而𝑀为线段𝐵𝐶上的点，设𝑀(𝑚,
1
2 𝑚+ 2)，得到
𝑁(𝑚+ 4,
1
2 𝑚+ 4)，代入反比例函数解析式即可求解；
（3）设点𝑃(𝑥, 0)，𝑄(𝑠, 𝑡)，根据菱形的性质，分2 种情况讨论求解即可．
【详解】（1）把𝐴点坐标代入一次函数解析式可得：𝑎=
1
2 × 2 + 2 = 3，
∴𝐴(2,3)，
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∵𝐴点在反比例函数图象上，
∴𝑘= 2 × 3 = 6；
（2）当𝑦= 0时，𝑦=
1
2 𝑥+ 2 = 0，解得𝑥= −4，
当𝑥= 0时，𝑦=
1
2 × 0 + 2 = 2，
∵一次函数𝑦=
1
2 𝑥+ 2的图象与𝑥轴相交于点𝐶，与𝑦轴相交于点𝐵，
∴点𝐵的坐标为(0,2)，点𝐶的坐标为(−4,0)，
∵𝑀为线段𝐵𝐶上的点，
∴设𝑀(𝑚,
1
2 𝑚+ 2)，则𝑁(𝑚+ 4,
1
2 𝑚+ 4)，
则有(𝑚+ 4) · (
1
2 𝑚+ 4) = 6，
解得，𝑚= −2或−10(舍去)
∴𝑚= −2；
∴𝑁(2,3)；
（3）设点𝑃(𝑥, 0)，𝑄(𝑠, 𝑡)，
由（2）可知：点𝑀(−2,1)，点𝐴(2,3)，
∴𝐴𝑀2 = 20，
由题意知，𝑀𝐴为菱形的边，
则点𝑀向右平移4个单位向上平移2个单位得到点𝐴，
则点𝑃(𝑄)向右平移4个单位向上平移2个单位得到点𝑄(𝑃)，
由平移规则和𝑀𝐴= 𝑀𝑃(𝑀𝐴= 𝐴𝑃)得：
{
𝑥+ 4 = 𝑠
0 + 2 = 𝑡
20 = (𝑥+ 2)2 + 1
或{
𝑥−4 = 𝑠
0 −2 = 𝑡
20 = (𝑥−2)2 + 32
，
解得：𝑥= −2 ± √19或2 ± √11，
即点𝑃的坐标为：(−2 + √19，0)或(−2 −√19，0)或(2 + √11，0)或(2 −√11，0)．
重难点七 反比例函数中的几何变换
1.平移变换遵循坐标规律(x ± m, y ± n)，反比例k值不变；
2.折叠变换利用折痕垂直平分对应点连线，结合中点公式与垂直等量关系构建方程组，联立y =
k
x求解变
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换后的动点坐标。
1．如图，在平面直角坐标系中，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴、𝐵、𝐷坐标分别是(2,0)、(8,0)、(0,4)，顶点𝐶在函数
𝑦=
𝑘
𝑥（𝑥> 0）的图像上．
(1)求𝑘的值；
(2)将▱𝐴𝐵𝐶𝐷沿y 轴向上平移，当顶点𝐵落在𝑦=
𝑘
𝑥（𝑥> 0）的图像上时，边𝐶𝐷与该函数图象相交于点𝐸，
连接𝐸𝐵，求此时△𝐵𝐸𝐶的面积．
【答案】(1)𝑘的值为24
(2)△𝐵𝐸𝐶的面积为
36
7
【分析】本题考查的是反比例函数综合题；
（1）根据平行四边形的性质得出𝐶的坐标，进而即可求得𝑘的值；
（2）由平移得，平移后的点𝐵的横坐标为8，代入反比例函数解析式求得纵坐标，从而求得平移后的𝐷的
纵坐标，代入解析式即可求得𝐶𝐷与该函数图象的交点坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴(2,0)、𝐵(8,0)、𝐷(0,4)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐶𝐵．
∴𝐶𝐷= 8 −2 = 6．
∴点𝐶的坐标为(6,4)．
∵函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图象经过点𝐶，
∴𝑘= 6 × 4 = 24；
（2）由平移得，平移后的点B 的横坐标为8．
当𝑥= 8时，𝑦=
24
8 = 3.
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∴平移后点B 的坐标为(8,3)．
∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷向上平移3个单位．
∴平移后点𝐷的坐标为(0,7)．
当𝑦= 7时，𝑥=
24
7 .
∴𝐶𝐷与该函数图象的交点坐标为𝐸(
24
7 , 7)，
∴△𝐵𝐸𝐶的面积
1
2 × (6 −
24
7 ) × 4 =
36
7 ．
2．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，点𝐷在𝑥轴的负半轴上，𝐴(2,0)，𝐶(0,2)，且𝐴𝐵= 4，反比例函数
𝑦=
𝑘
𝑥的图象经过点𝐵，
(1)求𝑘的值；
(2)把△𝐷𝐴𝐶沿经过𝐴、𝐶两点的直线折叠到第一象限，点𝐷的对应点为𝐷′，请判断点𝐷′是否在反比例函数的
图象上，并说明理由．
【答案】(1)𝑘= 4 + 4√3 (2)𝐷′在反比例函数的图象上，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，利用勾股定理求得𝑂𝐷= 2√3，进而求得
𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 2 + 2√3，得到𝐵(2 + 2√3，2)，进而即可求得𝑘= 4 + 4√3；
（2）求得𝐷′的坐标为(2,2 + 2√3)，代入反比例函数的解析式即可判断．
【详解】（1）∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，
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∵𝐴(2,0)，𝐶(0,2)，
∴𝑂𝐴= 2，𝐶𝑂= 2，
∴𝑂𝐷= √42 −22 = 2√3，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 𝑂𝐷+ 𝑂𝐴= 2 + 2√3，
∴𝐵(2 + 2√3,2)，
∵反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥的图象经过点𝐵，
∴𝑘= (2 + 2√3) × 2 = 4 + 4√3；
（2）𝐷′在反比例函数的图象上，
理由：∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶= 2，∠𝐴𝑂𝐶= 90°，
∴∠𝑂𝐴𝐶= 45°，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 2 + 2√3，
由折叠得：𝐴𝐷′ = 𝐴𝐷= 2 + 2√3，∠𝐷′𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 45°，
∴∠𝐷′𝐴𝑂= 90°，
∴𝐷′(2,2 + 2√3)，
∵当𝑥= 2时，𝑦=
4+4√3
2
= 2 + 2√3，
∴点𝐷′是在反比例函数的图象上．
3．已知直线𝑙: 𝑦1 =
1
4 𝑥−1与x 轴相交于点A，与双曲线𝑦2 =
𝑘
𝑥相交于点B．
(1)若𝑘= 3，请直接写出当𝑦1 ≤𝑦2时，x 的取值范围；
(2)如图，以𝐴𝐵为边在直线l 上方作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，点D 恰好落在反比例函数𝑦2 =
𝑘
𝑥的图象上，求k 的值；
(3)在（2）的条件下，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿着射线𝐵𝐴的方向平移，当点C 落在反比例函数𝑦2 =
𝑘
𝑥的图象上
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时，试求出此时的平移距离．
【答案】(1)𝑥≤−2或0 < 𝑥≤6
(2)15
(3)
3
2 √17．
【分析】（1）依题意，列式{
𝑦1 =
1
4 𝑥−1
𝑦2 =
3
𝑥
，进行计算，得出𝑥1 = 6，𝑥2 = −2，运用数形结合思想，得出当
𝑦1 ≤𝑦2时，x 的取值范围为𝑥≤−2或0 < 𝑥≤6，即可作答．
（2）结合正方形的性质以及角的等量代换，得证△𝑀𝐴𝐷≌△𝐵𝐴𝑁，表达出𝐵(4 +
𝑘
𝑚，4 −𝑚)以及结合
𝐵(4 +
𝑘
𝑚，4 −𝑚)在直线𝑙: 𝑦1 =
1
4 𝑥−1上，得出𝑘= 16𝑚−4𝑚2，因为点𝐷和点𝐵在𝑦2 =
𝑘
𝑥上，则
(4 +
𝑘
𝑚) × (4 −𝑚) = 𝑘，列式
(4 +
16𝑚−4𝑚2
𝑚
) × (4 −𝑚) = 16𝑚−4𝑚2进行计算，即可作答．
（3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离= 𝐶𝐷= 𝐴𝐵．结合（2）得出𝐷𝑀=
𝐴𝑁= 6，𝐴𝑀= 𝐵𝑁=
3
2，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵𝑘= 3
∴直线𝑙: 𝑦1 =
1
4 𝑥−1与x 轴相交于点A，与双曲线𝑦2 =
3
𝑥相交于点B．
∴{
𝑦1 =
1
4 𝑥−1
𝑦2 =
3
𝑥
整理得
3
𝑥=
1
4 𝑥−1
∴𝑥2 −4𝑥−12 = (𝑥−6)(𝑥+ 2) = 0
解得𝑥1 = 6，𝑥2 = −2
经检验，𝑥1 = 6，𝑥2 = −2是原方程的解，
记直线𝑙: 𝑦1 =
1
4 𝑥−1与x 轴相交于点A，与双曲线𝑦2 =
3
𝑥相交于点E(第三象限)
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∴结合图象，当𝑦1 ≤𝑦2时，x 的取值范围为𝑥≤−2或0 < 𝑥≤6
（2）解：分别过点𝐷，𝐵作𝑀𝐷⊥𝑥轴、𝐵𝑁⊥𝑥轴，如图所示：
当𝑦= 0时，则0 =
1
4 𝑥−1，解得𝑥= 4
∴点𝐴的坐标为(4，0)
∵𝑀𝐷⊥𝑥轴、𝐵𝑁⊥𝑥轴，
∴∠𝐷𝑀𝐴= ∠𝐵𝑁𝐴= 90°，∠𝑀𝐷𝐴+ ∠𝐷𝐴𝑀= 90°
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵= 90°，∠𝑀𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝑁= 90°
∴△𝑀𝐴𝐷≌△𝐵𝐴𝑁
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑁，𝑀𝐷= 𝐴𝑁
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设𝑂𝑀= 𝑚，则𝐴𝑀= 4 −𝑚= 𝐵𝑁
∴𝐷𝑀=
𝑘
𝑚= 𝐴𝑁
则𝑁𝑂= 4 +
𝑘
𝑚
∴𝐵(4 +
𝑘
𝑚，4 −𝑚)
∵𝐵(4 +
𝑘
𝑚，4 −𝑚)在直线𝑙: 𝑦1 =
1
4 𝑥−1上
∴4 −𝑚=
1
4 × (4 +
𝑘
𝑚) −1
∴𝑘= 16𝑚−4𝑚2
∵点𝐷和点𝐵在𝑦2 =
𝑘
𝑥上
则(4 +
𝑘
𝑚) × (4 −𝑚) = 𝑘
∵𝑘= 16𝑚−4𝑚2
∴(4 +
16𝑚−4𝑚2
𝑚
) × (4 −𝑚) = 16𝑚−4𝑚2 = 4𝑚(4 −𝑚)
∵𝑚≠4
∴(4 +
16𝑚−4𝑚2
𝑚
) = 4𝑚
解得𝑚=
5
2
把𝑚=
5
2代入𝑘= 16𝑚−4𝑚2
解出𝑘= 16 ×
5
2 −4 × (
5
2)
2
= 15；
（3）解：∵在（2）的条件下，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿着射线𝐵𝐴的方向平移，当点C 落在反比例函数𝑦2 =
𝑘
𝑥的图
象上时，
∴此时的平移距离= 𝐶𝐷= 𝐴𝐵．
∵𝑚=
5
2，𝑘= 15，𝐴𝑀= 4 −𝑚= 𝐵𝑁
∴𝐷𝑀= 𝐴𝑁=
15
5
2
= 6，𝐴𝑀= 𝐵𝑁= 4 −
5
2 =
3
2
在Rt △𝐴𝐵𝑁中，𝐴𝐵= √𝐴𝑁2 + 𝐵𝑁2 = √36 +
9
4 =
3
2 √17
即此时的平移距离为
3
2 √17．
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4．如图，在平面直角坐标系内，已知𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 2，∠𝐴𝑂𝐵= 30°．
(1)点𝐴的坐标为（____，____）；
(2)将△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂顺时针旋转𝛼度(0 < 𝛼< 90)．
①当𝛼= 30时，点𝐵恰好落在反比例函数𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)的图象上，求𝑘的值；
②在旋转过程中，点𝐴、𝐵能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出𝛼的值；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)−1，√3 (2)①𝑘= √3；②当𝛼= 60时，𝐴、𝐵能同时落在上述反比例函数的图象上．
【分析】（1）作𝐴𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，在直角△𝐴𝑂𝐶中，利用三角函数即可求得𝐴𝐶、𝑂𝐶的长度，则𝐴的坐标即
可求解；
（2）①当𝛼= 30时，点𝐵的位置与𝐴一定关于𝑦轴对称，在𝐵的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得
反比例函数的解析式；
②当𝛼= 60时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：如图，作𝐴𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，
在直角△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐴𝑂𝐶= 90° −∠𝐴𝑂𝐵= 60°，
则𝐴𝐶= 𝑂𝐴⋅sin∠𝐴𝑂𝐶= 2 × √3
2 = √3，𝑂𝐶= 𝑂𝐴⋅cos60° = 2 ×
1
2 = 1，
则𝐴的坐标是(−1,√3)，
故答案为：−1，√3；
（2）解：①当𝛼= 30时，𝐵的坐标与𝐴(−1, √3)一定关于𝑦轴对称，则旋转后的点𝐵(1,√3)．
把(1, √3)代入函数解析式得：𝑘= √3；
小学
初中
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②当𝛼= 60时，旋转后点𝐴(1,√3)，点𝐵(√3, 1)，
∵𝑥𝑦= √3，
∴当𝛼= 60，𝐴、𝐵能同时落在上述反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形的旋转，三角函数的综合应用，坐标与图形等，正确
求得点𝐴的坐标是关键．
5．如图，直线𝑙1: 𝑦= −√3𝑥+ 6√3与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB 沿直线𝑙1翻折后，设点O
的对应点为点C，已知双曲线𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)经过点C．
(1)求点A，B 的坐标．
(2)求k 的值．
(3)将直线𝑙1绕着点A 逆时针旋转得到直线𝑙2，直线𝑙2与y 轴交于点𝐵′，将△𝐴𝑂𝐵′沿直线𝑙2翻折得到△
𝐴𝐵′𝐶′，当四边形𝑂𝐴𝐶′𝐵′为正方形时停止转动，求转动过程中点C 运动到点𝐶′的路径长．
【答案】(1)𝐴(6,0)；𝐵(0,6√3) (2)27√3 (3)7π
【分析】（1）令x=0 和y=0 可得点A，B 的坐标；
（2）如图1，过点C 作CM⊥x 轴于M，计算∠ABO=30°，根据翻折的性质和含30°角的性质可得点C 的坐
标，代入反比例函数y=
𝑘
𝑥可得k 的值；
（3）如图2，正确画图，发现：转动过程中点C 运动到点C′的路径长是以A 为圆心，AC 为半径的210°的
弧长，根据弧长公式可解答．
【详解】（1）当𝑥= 0时，𝑦= −√3𝑥+ 6√3 = 6√3，则𝐵(0,6√3)，
当𝑦= 0时，−√3𝑥+ 6√3 = 0，解得𝑥= 6，则𝐴(6,0)．
（2）如图1，过点C 作CM⊥x 轴于M，
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Rt△ABO 中，OA=6，OB=6√3，
∴𝐴𝐵= √62 + (6√3)2 = 12，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°．
由翻折得：∠BAC=∠BAO=60°，∠AOB=∠ACB=90°，AC=OA=6，
∴∠CAM=60°，
∴∠ACM=90°-60°=30°，
∴𝐴𝑀=
1
2 𝐴𝐶= 3，
由勾股定理得：𝐶𝑀= √𝐴𝐶2 −𝐴𝑀2 = √36 −9 = 3√3，
∵OM=OA+AM=6+3=9，
∴点C 的坐标为(9,3√3)，
∴𝑘= 9 × 3√3 = 27√3；
（3）如图2，
∵四边形OAC'B'是正方形，
∴OA=AC'=6，∠OAC'=90°，
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∵∠OAC=2×60°=120°，
∴转动过程中点C 运动到点C′的路径长是以A 为圆心，AC 为半径的210°的弧长，
则转动过程中点C 运动到点C′的路径长=
210𝜋×6
180
=7π．
