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第二十九章圆全章高频重点题型突破
◆题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角）
1.【答案】D
【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A 选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的
定义，故此选项错误，不符合题意；
B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定
能重合，故此选项错误，不符合题意；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即
使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意；
D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D 选项表述一致，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
2.【答案】A
【详解】解：∵在
ABCD 中，
∴
6
AD
CB
,
10
AB
DC
,
根据题意，得
6
AE
AD
,
∴
10
6
4
BE
AB
AE
．
3.【答案】B
【详解】解：
O 中最长的弦长为6cm，
O
的直径的长为6cm，
O
的半径为3cm ．
故选B．
4.【答案】D
【详解】解：∵OM 、ON 是
O 的半径，
∴OM
ON
，
∴
50
M
N
（等腰三角形两底角相等），
∵在MON 中，
180
M
N
MON
，
∴
180
180
50
50
80
MON
M
N
，
故选：D ．
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5.【答案】B
【详解】解：连接OD ，
∵AD
BD
，AB 为
O 的直径，
∴AD
BD
，
∴
90
AOD
BOD
，
∴
1
1
90
45
2
2
DCB
BOD
6.【答案】D
【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量
相等，那么它们对应的其余各组量也相等．
∴①若AB
BC
，则AB
BC
，所以，此说法正确；
②若
AOB
BOC
，则AB
BC
，所以，此说法正确；
③若AB
BC
，则
AOB
BOC
，所以，此说法正确；
④若
AOB
BOC
，则O 点到弦AB
BC
、
的距离相等，所以，此说法正确；
∴说法正确的是①②③④，共4 个，
故选：D．
7.【答案】D
【详解】解：
90 ,
20
ACB
A
，
90
70
B
A
，
CB
CD
，
70
CDB
B
，
180
70
70
40
BCD
，
弧BD 的度数为40，
故选：D ．
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◆题型2 点与圆的位置关系
1. 【答案】B
【详解】
O的半径
10cm
r
，点A 到圆心O的距离
8cm
OA
，
OA
r
．
点A 在
O 内．
2. 【答案】D．
【详解】解：∵点B 到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，
∴经过点B 的弦MN 最大时，MN 是圆的直径，此时MN 的最大值为2
8
10
，
当MN
OB
时，线段MN 的长度最短，
如图，连接OM ，
在Rt OBM 中，
90
MBO
，
1
10
5
2
OM
，
5
2
3
OB
，
∴
2
2
4
MB
OM
OB
，
∴
2
8
MN
MB
，
∴MN 的最小值为8 ，
∴8
10
MN
．
故选：D．
3.【答案】．2
【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
∴10
6
2
2
，
故答案为：2．
◆题型3 垂径定理及其推论
1.【答案】C
【详解】解：如图，连接OD ，
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∵弦CD
AB
，
∴
50
BOD
BOC
，
由圆周角定理得：
1
25
2
BAD
BOD
2.【答案】5 3
6
或5 3+6
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1 所示，
过O 作OE
AB
，交CD 于点E，交AB 于点F，连接OA，OC，
AB / /CD ，
OE
CD
，
∴F、E 分别为AB、CD 的中点，
1
AF
BF
AB
8
2
，
1
CE
DE
CD
5
2
，
在Rt COE中，OC
10
，CE
5
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
= 10
5 =5 3
OE
OC
CE
，
在Rt AOF中，OA
10
，
8
AF
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
= 10
8 =6
OF
OA
AF
，
则
5 3
6
EF
OE
OF
；
当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2 所示，同理可得
5 3
6
EF
OE
OF
，
综上，弦AB 与CD 的距离为5 3
6
或5 3
6
，
故答案为：5 3
6
或5 3
6
．
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3.【答案】45
【详解】解：由题意得：OC
AB
，
4
AB
，
1
2
2
AC
AB
，
2
OC
，
AC
OC
，
Rt AOC
是等腰直角三角形，
45
AOC
，
故答案为：45．
4.【答案】①④
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确；
②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误；
③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误；
④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确；
⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误．
故答案为①④．
5.【答案】4.1米
【详解】连接OB ，
∵OC
AB
，
∴
1
4
2
AD
BD
AB
米，
设圆的半径为r ，
∴
3.2
OD
r
米，
在Rt BOD 中，
2
2
2
OB
OD
BD
，
∴
2
2
2
3.2
4
r
r
，解得：
4.1
r
，
∴
O 的半径为4.1米．
◆题型4 圆周角定理
1.【答案】D
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【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意；
故选：D
2.【答案】D
【详解】解：∵
60
AOB
，
∴
1
30
2
ACB
AOB
．
3.【答案】C
【详解】∵AB 是
O 的直径，
90
ACB
．
∵
CAB
和
CDB
都是BC 所对的圆周角，
∴
25
CAB
CDB
，
90
65
ABC
CAB
．
4.【答案】35
【详解】解：∵四边形ABCD内接于
O ，
70
ADC
∴
180
110
B
D
∵点B 是劣弧AC 的中点
∴
1 180
35
2
A
C
B
◆题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积
1.【答案】3 2
【详解】解：设扇形的半径为r ，
根据题意，得
2
60π
3π
360
r
，
则
2
18
r
解得
3 2
r
或
3 2
r
（不符合题意，舍去），
扇形的半径是3 2 ．
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2.【答案】．240
【详解】解：设该扇形的圆心角为n，已知扇形半径
3
r ，面积
6
S
，
根据扇形面积公式
2
π
360
n r
S
扇形
，得
2
π 3
6π
360
n
，整理得9 π
2160
n
，解得：
240
n
，
即这个扇形的圆心角是240．
3.【答案】27π
【详解】解：∵扇形的圆心角为120，其半径为9，
∴
2
120
1
π
9
π 81
27π
360
3
S
扇形
4.【答案】27
【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长9cm ，即扇形半径为9cm ，
从上午6 点到10点，时针共走了10
6
4
小时，
时钟一圈为12小时，对应360，因此时针转过的圆心角为：
4
360
120
12
，
∴时针扫过的面积为
2
2
120
9
27 cm
360
．
故答案为：27．
5.【答案】6
2
【详解】∵底面圆的半径为3
2 ，
∴圆锥的底面周长为2× 3
2 ＝3，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．
∴
6
3
180
n
，
解得n＝90°，
如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，
∵∠O=90°，OA′=OA=6，
∴AA′＝
2
2
6
6
6 2
．
故答案为：6
2 ．
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6.【答案】(1) 4 2 ；120
(2)
2
16π cm
【详解】（1）解：由题可知
2
AM
BM
cm
，OM
AB
，
2
2
2
2
6
2
4 2
OM
OA
AM
cm
；
设侧面展开扇形BOC 的圆心角为x，则
π
6
π
,
180
30
x
x
BC
c m
，
又底面周长为
2π 2
4π cm
，
π
4π
30
x
，解得
120
x
，
则侧面展开扇形BOC 的圆心角为120；
（2）解：圆锥底面积为
2
2
π
2
4π cm
，
圆锥的侧面积为
2
π
π
2 6
12π
S
rl
cm
侧面
，
所以圆锥的全面积为
2
4π
12π
16π cm
．
7.【答案】144
36 3
3
【详解】解：连接
,
OA OB ，作OE
AB
，如图所示：
由题意得：
12
6
6cm
OE
，
12cm
OA
OB
，
∴
2
2
30 ,
6 3cm
OBE
BE
OB
OE
，
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∴
2
12 3cm,
60
AB
BE
BOE
，
∴
2
120
AOB
BOE
，
∴
2
1
36 3cm
2
AOB
S
AB OE
V
，
2
2
120
144
12
cm
360
3
AOB
S
扇形
，
∴截面中有水部分弓形的面积
2
144
36 3 cm
3
AOB
AOB
S
S
扇形
8.【答案】(1)见解析
(2)4π
【详解】（1）证明：∵AB 是
O 的直径，弦CD
AB
，
∴BC
BD
，
∴
A
BCD
，
∵OA
OC
，
∴
A
ACO
，
∴
ACO
BCD
；
（2）解：∵
30
A
，
∴
60
BOC
，
∴
120
AOC
，
∵AB 是
O 的直径，弦CD
AB
，
∴
1
3
2
CE
CD
，
在Rt
COE
△
中，
2 3
60
CE
CO
sin
，
∴扇形OAC （阴影部分）的面积
2
120
(2 3)
4
360
，
答：阴影部分的面积为4．
◆题型1 圆与三角形综合
1．【答案】(1)证明：连接OC ，
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∵点C 为
O 上一点，过点C 的切线交BA 延长线于点P ，
∴
90
OCP
，即
90
OCA
PCA
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
，
∴
90
OCA
BCO
，
∴
BCO
PCA
，
∵PC
BC
，
∴
P
B
，
∵OB
OC
，
∴
B
BCO
P
，
∴
P
PCA
，
∴AP
AC
；
(2) 4
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OD ，
∵
90
OCP
，
∴
90
P
POC
PCA
OCA
，
∵
P
PCA
，
∴
POC
OCA
，
∴AC
AO
CO
，
∴ACO 是等边三角形，
∴
60
AOC
，
∵CD
AB
∥
，
∴
60
OCD
AOC
，
∵
1
4
2
OC
OD
AB
，
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∴
COD
△
是等边三角形，
∴
4
CD
CO
．
◆题型2 圆与四边形综合
1．【答案】(1)2 秒或4 秒
(2)存在，
6 13
18
秒
【详解】（1）解：设运动x 秒钟后
DPQ
△
的面积为
2
28cm ，
则
cm
AP
x
，
6
cm
BP
x
，
2 cm
BQ
x
，
12
2
cm
CQ
x
，
ADP
CDQ
BPQ
DPQ
ABCD
S
S
S
S
S
矩形
，
1
1
1
28
2
2
2
AB BC
AD AP
CD CQ
BP BQ
，
1
1
1
72
12
6
2
6
12
2
28
2
2
2
x
x
x
x
，
2
6
8
0
x
x
，解得：
1
2
x
，
2
4
x
．
答：运动2 秒或4 秒后
DPQ
△
的面积为
2
28cm ．
（2）假设运动开始后第x 秒时，满足条件，则：QP
QD
，
∵
2
2
2
2
2
(6
)
(2 )
QP
PB
BQ
x
x
，
2
2
2
2
2
(12
2 )
6
QD
QC
CD
x
，
∴
2
2
2
2
(12
2 )
6
(6
)
(2 )
x
x
x
，
整理，得：
2
36
144
0
x
x
，解得：
18
6 13
x
，
∵0
6 13 18
6
，
∴运动开始后第
6 13
18
秒时，点D 恰好落在以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆上．
◆题型3 圆中的最值问题
1．【答案】6 5
2
【详解】解：如图，延长CD到点G ，使GD
CD
，连接BM ，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ADC
ABC
，
6
BC
CD
，
∵GD
CD
，
∴AD 是线段CG 的垂直平分线，
∴CN
GN
，
MN
CN
MN
GN
，
当G ，N ，M 三点共线时，MN
CN
的值最小，
∵
90
ABC
，点M 为EF 的中点，
4
EF
，
1
2
2
BM
EM
FM
EF
，
∴点M 的轨迹在以B 为圆心，2 为半径的圆弧上，
∴圆外一点G 到圆上一点M 距离的最小值为
2
GM
BG
BM
BG
，
6
CD
GD
，
12
CG
CD
GD
，
2
2
2
2
6
12
6 5
BG
BC
CG
，
MN
CN
的最小值是
2
6 5
2
BG
．
2．【答案】(1)120
(2)这根绳子的最短长度为6 3
【详解】（1）解：设
ABC
的度数为n ，
底面圆的周长等于
6
2
2
180
n
，
解得
120
n
．
（2）解：连接AC ，过B 作BD
AC
于D ，
∴
2
CD
AD
AC
AD
，
，
90
BDA
∵由（1）得
120
n
∴
60
ABD
∵
90
BDA
则
30
DAB
由
6
AB
，
∴
3
BD
，
∴
2
2
6
3
3 3
AD
，
∴
2
6 3
AC
AD
，
即这根绳子的最短长度是6 3 ．
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◆题型4 圆中的计算综合
1．【答案】520cm
【详解】设其切点为F，连OF ，交AD 于点E
∵BC 是
O 的切线
∴OF
BC
∵四边形ABCD是矩形
∴
/ /
AD
BC
∴OE
AD
，EF
AB
．
设
O 半径为r,
在Rt AOE
中，
100
2
2
AD
BC
AE
∴
20
OE
r
∵
2
2
2
AE
OE
OA
即
2
2
2
100
(
20)
r
r
∴
260
r
260
2
520(cm)
答：圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm．
1．B
2．A
3．B
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4．C
5.
B
6.
2
a
，
2
b （答案不唯一）
7.
①②③
8.
5
9.
10.
80
11.
10
12.
10cm
13.
（1）证明：∵BD
AC
，
∴BD
AD
AC
AD
，
∴AB
CD
，
∴AB
CD
；
（2）证明：∵AD
AD
，
∴
B
C
，
又∵
A
D
，AB
CD
，
∴
)
(ASA
DCE
ABE
，
∴BE
CE
．
14.证明：点
,
,
,
A B C D 都在
O 上，
∵AD
CB
，
∴AD
CB
，
∴
ABD
CDB
，
同理：
A
C
，
在ABD 和CDB 中
ABD
CDB
A
C
AD
CB
，
∴
ABD
CDB AAS
≌
．
15.
(1)60
(2)
3r
16. (1) 26
(2)8
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17．(1)∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
．
又∵OC
BD ，
∴
90
AEO
ADB
，
即OC
AD
．
∴AC
CD
．
∴
AOC
COD
．
(2)10
18.(1)如图，OD 即为所求：
(2)证明：
AB 是
O 的直径，
90
ACB
，
OD
BC
∥
，
90
AMO
ACB
，
OD
AC
，
AM
CM
．
