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1
圆中的最值（二） 题集【B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，
是第一象限内任意一点，连接
，
，
若
，
，则我们把
叫做点
的“双角坐标”．例如，点
的
“双角坐标”为
．
点
的”双角坐标”为 ．
若点
到轴的距离为
，则
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图，易证
为等边三角形，
∴
，
∴点
的”双角坐标”为
．
如图，当点
为以
为直径的圆与直线
的切点时，
最小，最小值为
．
2
【标注】【知识点】与三角形有关的新定义
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
已知扇形周长为
，则扇形面积的最大值为（ ）．
【答案】B
设扇形的弧长为，半径为，则
，
∴
，
∴当
时，扇形面积的最大值为
．
【知识点】扇形的面积公式
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
已知
的半径为，点
是
内一点，且
，过
作互相垂直的两条弦
、
，则四边
形
面积的最大值为（ ）．
【答案】B
连接
、
，作
，
，垂足分别为
、
，
，
四边形
为矩形，
已知
，
，
设
为，则
，
，
，
如设
为，同理可得：
，
，
，
由此可知
与
两线段的平方和为定值，
又任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的
，
当
时，即
，
，
，
四边形
的面积等于．
3
【标注】
故选：
【知识点】垂径定理以及应用
4.
【解析】
【标注】
如图，点
是半圆
上一动点，以
为边作正方形
（使
在正方形内），连
，若
，则
的最大值为
．
【答案】
通过旋转观察如图可知当
时，
最长，
设
与⊙
交于点
，连接
，
，
，
∵
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
、
、
共线，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
的最大值
．
故答案为：
．
【知识点】圆中最值
4
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
图
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
，有一过点
的动圆⊙
与斜边
相
切于动点
，连接
．
图
当⊙
与直角边
相切时，如图所示，求此时⊙
的半径的长．
随着切点
的位置不同，弦
的长也会发生变化，试求出弦
的长的取值范围．
当切点
在何处时，⊙
的半径有最大值？试求出这个最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
半径最大值为
．
如图，
∵在
中，
，
，
，
∴
．
∵
、
都是圆的，圆心在
上，
，
∴
，
过
作
于
，过
作
于
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
5
（2 ）
图
（3 ）
【标注】
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
．
∵最短
为
边上的高，
即
，最大
，
∴
．
如图，当
与
重合时，圆最大．
在
的垂直平分线上，过
作
于
，由
，
∵
是切线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即半径最大值为
．
【知识点】圆与三角函数
图
（1 ）
6. 如图，在每一个四边形
中，均有
，
，
，
，
．
如图，点
是四边形
边
上的一点，则
的面积为 ．
6
图
（2 ）
图
（3 ）
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
如图，点
是四边形
边
上的任意一点，请你求出
周长的最小值．
如图，在四边形
的边
上，是否存在一点
，使得
的值最小？若存在，
求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
存在点
，
的值最小为
．
如图，过点
作
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
在
中，
，
，
∴
，
，
∴
．
如图，作点
关于直线
的对称点
，连接
、
、
，
交
于点
．
连接
，则
．
∴
周长的最小值为
的周长
．
∵
，
，
，
∴过点
作
于点
，则
．
∴
，
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
的周长的最小值为
．
7
图
（3 ）
【标注】
如图，存在点
，使得
的值最小．
作
的中垂线
交
于点
，交
于点
，连接
、
，作
的外接圆⊙
，⊙
与直线
交于点
，则
，圆心
在
上．
∵
，
∴⊙
与
正好相切于点
．
∵
，
∴
，
∴
，圆心
在弦
的上方．
在
上任取一点
，连接
，
，
交⊙
于点
，连接
，
∴
，
∴
最大，
的值最小．
连接
，则
．
∵
，
在
中，
，
∴
，∴
．
∴
．
∴此时
的值最小，为
．
【知识点】圆与三角函数
