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1
双曲线与圆：代几综合【题集A】
1.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中有一正方形
，反比例函数
经过正方形
对角线的交
点，半径为
的圆内切于
，则的值为 ．
x
y
O
【答案】
设正方形对角线交点为
，
过点
作
于点
，
于点
，
设圆心为
，切点为
、
，连接
、
．
x
y
O
∵在正方形
中，反比例函数
经过正方形
对角线的交点，
∴
，
，
，
，
∵
，
，
，
∴四边形
是正方形．
∵半径为
的圆内切于
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
2
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
即：
．
故答案为．
【知识点】反比例函数与圆综合
2.
【解析】
如图所示，经过
、
两点的⊙
与轴的负半轴相切于点
，双曲线
经过圆心
，则
．
【答案】
过
作
于点
，连接
、
，
如图：
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
与轴切于点
，
∴
轴，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∵
过圆心
，
∴
．
3
【标注】【知识点】反比例函数与圆综合
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，以原点为圆心的圆与反比例函数
的图象交于
、
、
、
四点，已知点
的横坐标为
，则点
的横坐标（ ）．
【答案】A
利用对称性可得，故选
．
【知识点】反比例函数与圆综合
4.
【解析】
【标注】
如图，⊙
和⊙
都与轴和轴相切，圆心
和圆心
都在反比例函数
的图象上，则图中阴影
部分的面积等于 （结果保留）．
【答案】
阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径
，
则面积
．
【知识点】反比例函数与圆综合
5.
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于点
，且与轴交
于点
，第一象限内点
在反比例函数
的图象上，且以点
为圆心的圆与轴，轴分别相切
于点
，
．
求
的值．
求一次函数的表达式．
根据图象，当
时，写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
把点
的坐标代入
，
则
，得
．
连接
，
，
∵⊙
与轴，轴相切于点
，
，
∴
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴设
代入
得：
，
∴
，∴
，
∴
，
，
把
和
的坐标代入
中，
得
，解得：
，
∴一次函数的表达式为：
．
∵
，
∴当
时，的取值范围是：
．
【知识点】反比例函数与圆综合
5
6.
【解析】
【标注】
如图，点
在函数
（
）的图象上运动，
为坐标原点，点
为
的中点，以点
为圆
心，
为半径作⊙
，则当⊙
与坐标轴相切时，点
的坐标为 ．
【答案】
或
∵点
为函数
（
）的图象上的点，
∴设点
的坐标为
（
）．
∴
．
∵点
为
的中点，
∴
．
⊙
与坐标轴相切分两种情况：
①⊙
与轴相切，此时有
，
整理得：
，解得：
，或
（舍去），
解
，得：
，
（舍去），
此时点
的坐标为
．
②⊙
与轴相切，此时有
，
整理得：
，解得：
，或
（舍去），
解
，得：
，
（舍去），
此时点
的坐标为
．
综上可知：点
的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与圆综合
7. 如图，点
是双曲线
（
）上一点，以点
为圆心，为半径的圆与直线
的交点为
、
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
x
y
O
图
（2 ）
【解析】
x
y
O
当⊙
与轴和轴都相切时，求点
的坐标及双曲线的函数表达式．
若点
在双曲线
（
）上运动，当弦
的长等于
时，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
．
∵⊙
与轴和轴都相切，半径为，
∴点
到轴和轴的距离都是，
∴点
，
∴
，
∴
，
∴双曲线的函数表达式为：
．
设点
，
当点
在直线上方时，
如图，作
于点
，作
轴于点
，
与
交于点
，连结
，
∴
是
中点，
∴
，
∴
，
∵点
在直线
上，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点
在双曲线
上，
∴
，
7
x
y
O
图
【标注】
∴
，
解得：
，
，
∵点
在第一象限，
∴
，
∴
，
∴点
，
设点
，
点
在直线下方时，
如图，作
于点
，作
轴于点
，
与
交于点
，连结
，
∴
是
中点，
∴
，
∴
，
∵点
在直线
上，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点
在双曲线
上，
∴
，
∴
，
解得：
，
，
∵点
在第一象限，
∴
，
∴
，
∴点
，
∴综上所述，点
的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与圆综合
8. 如图，
是双曲线
（
）的一个分支上的一点，以点
为圆心，个单位长度为半径作
，当
与直线
相切时，点
的坐标为 ．
＞
8
【解析】
【标注】
x
y
O
【答案】
或
设点
的坐标为
，
是双曲线
的一个分支上的一点，
，
与直线
相切，
点纵坐标为：，
点横坐标为：，
与直线
相切，
点纵坐标为：，
点横坐标为：，
或，
点的坐标为
或
；
故答案为：
或
．
【知识点】反比例函数与圆综合
9. 如图，
在轴上，
在轴上，
，
，点
在边
上，
，⊙
的圆心
在
线段
上，且⊙
与边
，
都相切．若反比例函数
（
）的图象经过圆心
，则
的值是 ．
9
【解析】
【标注】
【答案】
作
于
，
轴于
，如图，设⊙
的半径为，
∵⊙
与边
，
都相切，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，解得
，
∴
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
点坐标为
，
把
代入
得
．
故答案为：
．
【知识点】反比例函数与圆综合
10. 如图，平面直角坐标系中，已知
，
，点
在第一象限，
经过
、
、
三点，
是
的直径，双曲线
经过
、
两点，则的值是 ．
10
【标注】
x
y
O
【答案】
【知识点】反比例函数与圆综合
11.
【解析】
如图，在直角坐标系中，四边形
为正方形，顶点
、
在坐标轴上，以边
为弦的⊙
与
轴相切，
在双曲线
上，若
，则
．
【答案】
过点
作
轴于
，
延长
交
于点
，过点
作
轴
，设圆
与
交于点
．
∵四边形
为正方形．
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∴
，
．
∵
是
的切线，
是⊙
割线，
∴
．
∴
，
∴
．
∴
．
∴
,
．
∴点
在双曲线上．
11
【标注】
∴
．
【知识点】反比例函数与圆综合
12.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系
中，直径为
的⊙
交轴于点
、
，交轴于点
、
，且点
、
的坐标分别为
、
．过
点的双曲线的解析式为 ．
【答案】
设反比例函数的解析式为
，
作
轴，交轴于点
，连接
，
∵
、
的坐标分别为
、
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵⊙
的直径为
，
∴半径
，
∴
，
∴
的坐标是
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】反比例函数与圆综合
