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1
圆与正多边形 题集【B】
1. 圆内接正多边形的概念及计算
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为（ ）．
【答案】B
如图，连接
、
；
∵
、
切圆
于
、
，
∴
，
；
又∵
，
，
∴
≌
（
），
故
．
又∵
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】三角形五心
2.
【解析】
【标注】
在直角三角形中，若两条直角边长分别为
和
，则三角形的内切圆半径与外接圆半径之比
为 ．
【答案】
根据勾股定理得，直角三角形的斜边
．
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是
，
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是
，
∴三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为
，故答案为
．
【知识点】三角形五心
2
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
以半径为的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是
（ ）．
【答案】D
如图，
图
∵
，
∴
．
如图，
图
∵
，
∴
．
如图，
图
∵
，
∴
，
则该三角形的三边分别为：，
，
，
∵
，
∴该三角形是直角三角形，
3
【标注】
∴该三角形的面积是
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
若等腰直角三角形的外接圆半径的长为，则其内切圆半径的长为（ ）．
【答案】B
等腰直角三角形外接圆直径即为底边长，故其底边长为，另两边长都为
，
设其内切圆的半径为，
此时可列方程：
，
解得
．
【知识点】三角形内切圆
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
5.
【解析】
【标注】
三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有（
）．
【答案】D
根据三条路线构成的三角形知，三角形的内心为三角形内角角平分线的交点．
∵由三角形内心为该三角形内切圆的圆心，
∴所以符合货物中转站到各路的距离相等．
这样的点可找到一个．
两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到三个．
【知识点】三角形的三心
6.
【解析】
⊙
是正方形
的外接圆，若点
在⊙
上且与
，
不重合，则
的大小为 度．
【答案】
或
∵正方形
，
∴
，
4
【标注】
∵
，
∴
，
∵四边形
，
∴
．
【知识点】正多边形与圆的综合
7.
【解析】
【标注】
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”这是我国古代蓍名
数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆
术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加
倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，
是圆内接正六边形的一条边，半径
，
于点
，则
的长为 ，圆内接正十二边形的边
的平方是 ．
【答案】 ;
∵
是圆内接正六边形的一条边，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
由勾股定理可得：
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】正多边形与圆
5
【知识点】勾股定理
【思想】数形结合思想
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
如图，有一圆内接正八边形
，若
的面积为
，则正八边形
的
面积是（ ）．
【答案】A
取
中点为
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
故答案选
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
9. 如图，正六边形
内接于⊙
，
为
的中点，连接
，若⊙
的半径为，则
的
长度为 ．
【答案】
6
【解析】
【标注】
连接
，
，
，
.
∵六边形
内接于⊙
，
∴
，
，
∵
为
中点，
∴
，
，
，
∴由勾股定理得
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
10.
【解析】
如图，正方形
和正三角形
都内接于⊙
，
与
、
分别相交于
、
点，若
，则
．
【答案】
连接
交
于点
，
∵
过圆心
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
．
连接
，
∵
，
7
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】正多边形与圆的综合
A.
B.
C.
D.
11.
【解析】
【标注】
如图，正五边形
内接于⊙
，点
为
中点，点
为
中点，则
的大小为（
）．
【答案】B
∵点
为
中点，点
为
中点，
∴
，
，
∴
，
∵五边形
是正五边形，
∴
，
∴
．
【知识点】圆内接正多边形相关计算
12.
8
【解析】
【标注】
、
分别为⊙
的内接正六边形和外切正六边形，设⊙
的半径，
、
的边长分别为、，
、
的面积分别为
、
，下列结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的 ．（填序号）
【答案】②④
正六边形边长等于半径，①错误；
，②正确；
，③错误；
，④正确．
【知识点】正多边形与圆的综合
（1 ）
（2 ）
13. 如图，
中，
，⊙
为
的外接圆．
求证：
．
如图，点为
的内心，若
，
，求
．
【答案】（1 ）证明见解析．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
延长
交
于点
，且连接
、
，
∵
，∴
≌
，
∴
，∴
≌
，
∴
，∴
．
连接
，延长
交
于
，
∴
，
∴
．
设
，半径为，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
14. 如图，正六边形
内接于圆
，半径为，则
为 ．
10
【解析】
【标注】
【答案】
∵六边形
是正六边形，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
即
为．
【知识点】正多边形的半径与边心距
（1 ）
（2 ）
（3 ）
15. 回答下列问题：
已知：如图，
是⊙
的内接正三角形，点
为弧
上一动点．
求证：
．
如图，四边形
是⊙
的内接正方形，点
为弧
上一动点．
求证：
．
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，六边形
是⊙
的内接正六边形，点
为弧
上一动点，请你写出
，
，
三者之间的数量关系表达式，并给予证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
在
上截取
，连结
，
∵
是⊙
的内接正三角形，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
是正三角形，
∴
．
∴
，
≌
，
∴
，
∴
．
∵过点
做
交
于点
．
∵四边形
是⊙
的内接正方形，
∴
，
，
，
∴
，
．
根据勾股定理得：
．
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
12
（3 ）
【标注】
∴
．
结论：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】圆内接四边形的性质定理
【知识点】正多边形与圆
【知识点】圆与全等
【知识点】圆内接四边形综合
2. 作圆内接正多边形
1.
【解析】
如图、图、图、…、图分别是⊙
的内接正三角形
，正四边形
、正五边形
、…、正边形
，点
、
分别是弧
和
上的点．且弧
弧
，连接
、
相交于点
，观察并分析：（1）
；
；
．
【答案】
;
;
图中，
∵弧
弧
，
∴
，
13
【标注】
∴由三角形外角定理可得：
，为其一个内
角；
同理在正四边形
中，有
，为其一个内角；…，
分析可得：在正边形
，亦有
，即为其的一个内角；故
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
用圆规可以作出许多美丽的图案．传说拿破仑曾考他的大臣：只用圆规把圆四等分．有位大臣是这
样回答的：
①将半径为的
六等分，依次得到
，
，
，
，
，
六个分点；
②分别以点
，
为圆心，
长为半径画弧,G是两弧的一个交点；
③…．
图
图
根据大臣的作法，
的长是多少．
请在图中，只用圆规把圆四等分．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
以
为半径画弧，画图见解析．
由题意知：
，
，
14
（2 ）
【标注】
，
故答案为：
．
以
为圆心，
为半径作弧交
于点
，
，即
，
，
，
为
的四分点．
【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】圆中对称性
【知识点】正多边形与圆
【知识点】作圆的内接正多边形
图
（1 ）
图
（2 ）
3. 仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．
如图①，画出
的一个内接矩形．
如图②，
是
的直径，
是弦，且
，画出
的内接正方形．
【答案】（1 ）画图见解析．
15
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）画图见解析．
如图所示，过
作
的直径
与
，连接
，
，
，
，则四边形
即为所求．
图
如图所示，延长
，
交于点
，连接
，
交于点
，连接
并延长交
于
，
，连接
，
，
，
，则四边形
即为所求．
图
【知识点】作圆的内接正多边形
（1 ）
（2 ）
4. 如图，点
是半径为的
上的点，
尺规作图：作
的内接正六边形
．
求（）中
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
首先连接
，然后以
为圆心，
为半径画弧，交
于
，
，再分别以
，
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，
，在以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，则正六边形
即为所求．
∵正六边形
是
的内接正六边形，
∴
，
∵
的半径为，
∴
的长为
．
【知识点】作圆的内接正多边形
【知识点】正多边形与圆
【知识点】弧长公式
（1 ）
（2 ）
5. 已知⊙
的半径为，作⊙
的内接正方形
．
正方形
的边长为 ．
在图中，只用一把圆规画出正方形
的四个顶点，并简要说明四个顶点的位置是如何找
到的（不要求证明） ．
【答案】（1 ）
（2 ）作法：①以圆上任意一点
为圆心，以为半径画圆，交⊙
于
和
， ②以
为
圆心，以为半径画圆，与⊙
交于
和
，与⊙
交于另一点
， ③作直线
，
交⊙
于
、
，
、
、
、
连成四边形就是所求作的正方形．
17
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，连接
、
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴正方形
的边长为
；
故答案为：
．
图
如图，
故答案为：
作法：①以圆上任意一点
为圆心，以为半径画圆，交⊙
于
和
，
②以
为圆心，以为半径画圆，与⊙
交于
和
，与⊙
交于另一点
，
③作直线
，交⊙
于
、
，
、
、
、
连成四边形就是所求作的正方形．
图
【知识点】圆内接四边形综合
6. 如图，
是
上一点．
18
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
作
的内接等边
（尺规作图，保留作图痕迹）；
若
的半径为 ，求
的边长．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图所示，
即为所求．
.
略．
连接
，作
于
．
∵
，
∴
，
中，
∵
，
，
∴
∴
∴等边三角形
的边长为
.
【知识点】圆与三角函数；作圆的内接正三角形
