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1
圆周角定理的综合运用 题集【B】
1. 圆周角相关的计算与证明
利用圆周角定理求角度
1.
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的直径，
的度数为
，
的度数为
，且
，
，则
的度数为 ．
【答案】
由题意可得，作点
关于直径
的对称点
，
则点
、
、
共线，点
、
、
共线，
则
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2. 如图，已知
是⊙
的直径，弦
，垂足为点
，点
是
上一点，且
．
试判断
的形状为 ．
请说明你的理由．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
等边三角形
证明见解析．
∵
，
为⊙
的直径，
∴弧
弧
，
∴
，
又∵
，
∴
为等边三角形．
垂直于弦的直径，平分弦并平分弦所对的两条弧；
在同圆或等圆中，弧相等对应弦相等；
同弧所对圆周角相等；
含
角的等腰三角形是等边三角形．
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】等边三角形的判定
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
已知，如图，⊙
的直径
，
，
．
求
面积．
如果在这个圆形区域中，随机确定一个点
，那么点
落在四边形
区域的概率是多
少？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∵
，
，
3
（2 ）
【标注】
∴
，
∵在
中，
，
，
∴
连结
，
∵
，
∴
，
∴
．
作
，垂足为
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
落在四边形
区域的概率
．
【知识点】圆与三角函数
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图所示，
是⊙
的内接三角形，
，
为⊙
中弧
上一点，延长
至点
，
使
．
求证：
．
求证：
．
若
，求证：
．
【答案】（1 ）证明见解析．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，
∴
．
【知识点】圆与全等
利用直径所对圆周角求角度
1.
【解析】
如图，
的三个顶点都在
上，
是高，
是垂足，
是直径，求证：
．
【答案】证明见解析．
5
【标注】
连接
，由
为直径，即可推出
，由
是高，
是垂足，即可推出
，根据圆周角定理可知
，可得：
，结合等
式的性质即可推出
．
【知识点】圆周角定理以及应用
2.
【解析】
【标注】
已知直线与⊙
相交于点
、
，
是⊙
的直径，
于点
．若
，求
的
大小．
【答案】
．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
3. 已知：
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
．
如图，当
为锐角时，
与⊙
交于点
，连结
，则
与
的数量关系是
．
图
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，若
不动，
绕点
逆时针旋转，当
为钝角时，
的延长线与⊙
交于点
，连结
，（）中
与
的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若
不成立，请说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）（）中
与
的数量关系成立．
与
的关系是：
．
理由如下：连接
，
∵
是直径，
∴
，即
．
又∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
故答案为．
（）中
与
的数量关系成立．
连结
，
7
【标注】
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
利用直角三角形求线段
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
的平分线
交
于点
，交⊙
于点
，已知
，
．
求
的长．
求点
到
的距离．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
，
8
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴在
中，
．
∵
平分
，
∴
，
∴
，故
，
∵点
是
的中点，
∴
，即点
到
的距离为
的长，
在
中，∵
，
∴
．
在
中，∵
，
∴
，
连接
，∵
是⊙
的直径，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2. 已知
内接于⊙
．
如图①，
是⊙
的直径，
，求
的度数．
图
如图②，连接
并延长交
于点
，且
，连接
并延长交
于点
，且
，求
的度数．
图
9
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图③，
于点
，
于点
，
，
相交于点
，若
，
，求⊙
的直径（直接写出结果即可）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
是⊙
直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
过圆心，
∴
平分
，
∴
为
垂直平分，
∴
，
同理可证
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
．
⊙
直径为
．
作直径
连接
，
，作
于
，
∵
为直径，
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
10
【标注】
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴圆的直径为
．
【知识点】圆与勾股
圆周角定理与垂径定理综合
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
中，直径
弦
于
，
于
，交
于
，连
．
求证：
．
若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
与
是同弧所对的圆周角，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
与
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
如图，连接
，
11
【标注】
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴设
，则
，
，
连结
，则
，
∵
是直角三角形，
，
，
，
∴
，解得
，
（舍）
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，以
的顶点
为圆心，
为半径作⊙
，交
于点
，交
于点
，连接
，
，延长
交⊙
于点
，连接
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图，连接
交
于
，
∵
是直径，
∴
，
∵
，
∴
，
12
图
图
（2 ）
【标注】
即
，
∴
．
如图，连接
交
于
，连接
，
由（1）得：
，
，点
是
的中点，
∵
，
∴
，
，
∵
是
的中点，
是
的中点，
∴
，
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
设
，则
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
和相似综合
1. 如图，⊙
是
的外接圆，
，
，
，弦
，
交
的延长线于点
．
13
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
方法（一）：在⊙
中，
∵
，
∴
，
∴
．
方法（二）：∵
，
∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
．
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
2. 如图，
是半圆
的直径，点
、
在弧
上，且
平分
，已知
，
，则
等于 ．
14
【解析】
【标注】
【答案】
过
作
于
，设
．
∵
平分
，
，
．
∴
．
在
中，
，
．
在
中，
，解得
，
．
∵
，
；
设
，故
，解得
．
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，点
在⊙
上，
．
利用尺规作
的平分线
，交
于点
，交⊙
于点
，连接
（保留作图痕迹，
不写作法）．
在（）所作的图形中，求
与
的面积之比．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图所示：
15
（2 ）
【标注】
连接
，设圆的半径为，
在
和
中，
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
为等腰直角三角形．
∴
．
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
4. 如图，已知
为⊙
的直径，
为弦，弦
平分
，
于
，
于
，
，⊙
的半径为．
连接
，求
的长．
求
的长．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
连接
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
作
于
，
在
中，
，
设
与
交于
，
则
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
17
【标注】
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
2. 动点问题
A.
秒
B.
秒
C.
或秒
D.
或或
秒
【解析】
如图，
是⊙
的直径，弦
，
是弦
的中点，
．若动点
以
的
速度从
点出发沿着
方向运动，设运动时间为
秒，连接
，当
是
直角三角形时，的值为（ ）．
【答案】D
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
为
中点，
，
∴
，
，
，
①当
与
重合时，
，
∴
，
此刻
，
，
②当
时，在
中，
，
得
，
则
，
18
【标注】
当
第一次到达此点时，
，
当
第二次到达此点时，即从
时，
，
∴的值为或
或
．
【知识点】圆周角定理以及应用
3. 探究类问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段
的最小覆盖圆就
是以线段
为直径的圆．
请分别作出图中两个三角形的最小覆盖圆．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论．（不要求证明）
某地有四个村庄
（其位置如图所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村
庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越
小），此中转站应建在何处？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角
所对的边）为直径的圆．
证明见解析．
如图所示：
19
（2 ）
（3 ）
【标注】
若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的
边）为直径的圆．
此中转站应建在
的外接圆圆心处（线段
的垂直平分线与线段
的垂直平分线
的交点处）．
理由如下：
，
，
∴
是锐角三角形，
∴其最小覆盖圆为
的外接圆，
设此外接圆为圆
，直线
与圆
交于点
，则：
．
故点
在圆
内，
从而圆
也是四边形
的最小覆盖圆，
所以中转站建在
的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
【知识点】与圆有关的新定义
、
