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勾股定理【章节复习】压轴题--勾股与全等综合
【C2】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是正方形
中
边上的一点，
交对角线
于点
，过点
作
的垂线交
于
点
，连
交对角线
于点
．
求证：
．
线段
、
、
有何数量关系？证明你的结论．
若
，过点
作
于
，直接写出
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
作
于
，
于，
易证
≌
，
∴
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
作
、
，连
．
易证
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
即
，
易证
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
过
作
于
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
2. 如图，正方形
中，
为
边上的一点，连
，作
，且
，连
．
3
A
B
C
D
Q
P
E
F
图
A
B
C
D
Q
P
E
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求
的度数．
如图，连
交
于
，连
，求证：
．
如图，连
交
于
，当
，
时，直接写出
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
过
作
垂线交
于
，∴
≌
，
∴
，∴
．
A
B
C
D
Q
P
E
在正方形
中，夹
，
∴易得
平分
，∴
，
，
∴
平分
，又∵
平分
，
∴
，
，∴
．
过
作
平行线交
于
，
交
于
，过
作
垂线交
所在直线于，
过
作
交
于
，
4
【标注】
A
B
C
D
Q
P
E
K
T
R
∴四边形
为平行四边形，∴
，
，∴
≌
，
在正方形
中，夹
，
∴
≌
，
≌
，
设
，∴
，∵
≌
，
三垂直，导边得：
，
，
∴在
中勾股定理：
．∴
，
．
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
3. 某兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在
中，
，
，点
为直线
上一动点（点
不与
，
重合），以
为边在
右侧作正方形
，连接
．
观察猜想：
如图，当点
在线段
上时，
①
与
的位置关系为： ．
②
，
，
之间的数量关系为： （结论直接写在横线上）．
图
数学思考：
如图，当点
在线段
的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明．
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
5
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
拓展延伸：
如图，当点
在线段
的延长线上时，延长
交
于点
，连接
．若已知
，
，请求出
的长．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
①成立；②不成立，
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
结论不成立，
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
6
图
（3 ）
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
过点
作
，
∵点
为
中点，
∴
，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，
过点
作
，
∵
，
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
，
7
【标注】
在
中，
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形的判定；全等三角形的对应边与角；勾股定理的综合应用
