文档内容
专题 02 勾股定理
【考点1】勾股定理解三角形★★
【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★
【考点3】勾股数（树）问题★★
【考点4】以弦图为背景的计算题★★★
【考点5】勾股定理的逆定理★
【考点6】勾股定理的应用★★★
【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★
【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★
【知识点01】勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别为
a，b c a2 b2 c2
，斜边长为 ，那么 .
【高分技巧】
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段【知识02】勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【知识03】勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
【知识04】勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾
股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【知识05】勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角
三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加
思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解
决以下生活实际问题
【考点1】勾股定理解三角形★★
1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，
4，则斜边的长是（ ）
A．❑√7 B．4 C．5 D．7
2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,∠A=30°，CD是高，若BC=8，则AD的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）数学兴趣小组开展某款笔记本电脑张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底
部边缘A处与E处间的距离AE为15cm．小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现
当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底
部边缘A处与C处之间的距离AC为（ ）
A．24cm B．20cm C．15cm D．13cm
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂
足为D．已知BD=3，AB=5．设CD长为x．
(1)根据勾股定理，得AC2=______．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
【考点2】以直角三角形三边为边长的图形面积★★
1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为
9π,16π和S，则S为（ ）
A．7π B．8π C．12π D．25π2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，
分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S ，S ，S ，
1 2 3
S ，若S =8，S =11，S =15，则S 的值是 ；
4 1 2 3 4
3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，
若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．
4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为
直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若BC=3，AC=4，
则图中阴影部分的面积为 ．
5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四
边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长
a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2=c2.（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
求证：a2+b2=c2
.
证明：由图可知S =4S +S ，
正方形ABED △ABC 正方形CFGH
∵S =c2
，
S =
______，
正方形ABED △ABC
正方形CFGH边长为______，
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2，
2
即a2+b2=c2．
【深入思考】
如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB
的右侧作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂
足为点E
（2）求证：DE=a，BE=b；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3
所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的
总长度为108，求这个风车图案的面积．
6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须
把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”
类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用
两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法 ： ______；方法 ： ______；
1 S = 2 S =
大正方形 大正方形
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个
小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到
a，b，c之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若a=3，b=4，求斜边c的值．
7．（23-24八年级上·山西晋中·期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两
种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
1 1
即 ab×4+(b−a) 2，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2，化简便得结论a2+b2=c2．
2 2
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也
有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三
角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这
三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接
小正方形的三个顶点，可得ΔABC ，则S 为 ，AB边上的高为______．
ΔABC
【考点3】勾股数（树）问题★
1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1,1,❑√2 B．0.3,0.4,0.5 C．5,12,13 D．9,15,17
2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S ，
1
以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方
形，其面积标记为S ，…，按此规律，则S 的值为 ．（结果用含a的式子表
2 2024
示）
3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都
是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、
3、4、16，则正方形D的面积是 ．
【考点4】以弦图为背景的计算题★★★
1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若
AB=10，EF=2，则△ABE的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图
案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用x，y表示直角三角形的
两条直角边（x>y），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A．x−y=5 B．x2+y2=81 C．x+y=12 D．xy=28
3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，
中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们
称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为
29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【考点5】勾股定理的逆定理★★
1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面各组数据，可以作为直角三角形的三边长的是（
）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．❑√3,2,❑√5
2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，AD⊥BC，垂足为D．CD=1，
AD=2，BD=4．求证：△ABC是直角三角形．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，直角坐标系中，每个小正方形方格的边长都为
1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求四边形ABCD的周长；
(3)证明∠BCD为直角．
4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正
方形的顶点．
(1)求线段AB的长度；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点6】勾股定理的应用★★★
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消
防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端C靠在
教学楼外墙OC上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离CO的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底
端在水平方向上滑动的距离AB为多少米．
2．（24-25八年级上·山东日照·期末）实践探究小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的
垂直高度CE，如图，AE表示水平地面，他们进行了如下操作：测得牵线放风筝同学
小明的头顶与风筝的水平距离BD长为8米（BD⊥CE），放出的风筝线BC长为17米
（其中风筝本身的长宽忽略不计），牵线放风筝同学小明的身高AB为1.70米．(1)求此刻风筝离地面的垂直高度CE；
(2)实践探究小组的同学想让风筝沿CD方向下降9米，若小明同学站在原地收线，请问
他应该往回收线多少米？
3．（23-24八年级下·全国·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，
水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如
果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这
根芦苇的长度．
4．（23-24八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海
大桥，总长55km，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，开始
时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸
边还有多少m？
(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人
员手中的绳子被收上来多少米？
5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向
340km的B处有一台风中心，沿BD方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的
距离AD为160km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
【考点7】勾股定理的的逆定理应用★★
1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域，AB⊥BC.经测量
AB=9km，BC=12km，CD=8km，AD=17km.
(1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径AC
的长；
(2)证明：AC⊥CD.
2．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一
条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14m，DC=48m，AB=40m，
CB=30m．
(1)求小路AC的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小
路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，
小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两
个取水点A,B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为
方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A,D,B在同一条直线上），并新修
一条路CD，测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米．(1)求∠CDB的度数；
(2)求原来的路线AC的长．
【考点8】利用勾股定理解决最短路径问题★★★
1．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方
形，一只蚂蚁从顶点A沿长方体的外表面爬到顶点B处，那么它爬行的最短路程为
（ ）
A．9dm B．10dm C．12dm D．15dm
6
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一只蚂蚁在底面半径为 cm，高为8cm的圆
π
柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面
爬行的最短路程是（ ）A． B． C． D．( 12)
6cm 4❑√13cm 10cm 8+ cm
π
3．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是
20cm、长是60cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短
线路的长度是（ ）
A．100cm B．150cm C．60❑√5cm D．90❑√2cm
4．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，
在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁
厚度不计（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm一、单选题
1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是
（ ）
A．1，❑√3，2 B．❑√3，❑√4，❑√5 C．6，7，8 D．5，10，12
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长为6cm的橡皮筋AB如图绷直放置，固定两
端A和B后把中点C向上竖直拉升4cm至D点（即CD=4cm，CD⊥AB），则橡皮筋
被拉长了（ ）
A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm
3．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北
偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，航
行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（ ）
A．南偏西40°方向B．西偏南50°方向 C．西偏南40°方向 D．西南方向
4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点B表示的数为1，Rt△ABC的直角边
AB落在数轴上，且AB=3，AC长为1个单位长度．若以点B为圆心，以斜边BC长为
半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）A．−❑√10 B．1−❑√5 C．2−2❑√5 D．1−❑√10
5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别
是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面
的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
6．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的A处竖直上升30米时，与
地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为（ ）
A．80米 B．60米 C．45米 D．40米
7．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我
国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个
全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是2，直角三角形的直角边长分别为
a、b，且a2+b2=ab+10，那么大正方形的面积为（ ）．
A．8 B．10 C．14 D．18
8．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方
形，一只蚂蚁从顶点A沿长方体的外表面爬到顶点B处，那么它爬行的最短路程为
（ ）A．9dm B．10dm C．12dm D．15dm
9．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=1，
BC=4，则AB2+CD2等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
10．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C
是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ．
11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，
AB=10．DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，CE的长为 ．
12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵
树在距地面6m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=8m，则未折断前这棵树高
为 m．13．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，
∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记
为S ，S ，S ，S ．若S +S =35，S =26，则S = ．
1 2 3 4 1 4 3 2
14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只
蚂蚁沿表面从A点爬到B点，则爬行的最短路程是 ．
15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根
据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分
别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．
为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形
ABCD的边长为b，已知b−a=3，a2+b2=29，则图2中的阴影部分面积为 ．
三、解答题
16．（11-12八年级上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，
BC=3，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积．17．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现
系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小
亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1：
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC=4米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处
(BD=BC)，作DF垂直AC于点F，DF=EC．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度BC；
(2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离DE=4.5米，求此时绳结到地
面的高度DF．
18．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）为了丰富学生的业余文化生活，某社区要在如图所
示的直线AB上建一图书阅览室E，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，
CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，则阅览
室E建在距A点多少千米处，才能使它到C,D两所学校的距离相等．(1)用尺规作图作出点E的位置（要求：保留作图痕迹，标明字母E，不写作法）；
(2)求AE的长．
19．（24-25八年级上·湖南·开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
AB=5，BC=3，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线
A−C−B−A运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足PA=PB，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
