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圆中的最值（一） 题集【B】
1. 垂线段最短
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
在⊙
中，直径
，
是弦，
，点
在
上，点
在⊙
上，且
．
如图，当
时，求
的长度．
如图，当点
在
上移动时，求
长的最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
长的最大值为
．
∵
，
，
∴
．
在
中，
．
如图，连接
，
2
（2 ）
【标注】
在
中，
．
∵
，
∴当
最小时，
最大，此时，
，
．
∴
长的最大值为
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
2. 在
中，
，
，
，
是
上的动点（不与
，
重合），过
点作
交
于点
．以
为直径作⊙
，并在⊙
内作内接矩形
．令
．
图
用含的代数式表示
的面积．
当为何值时，⊙
与直线
相切．
图2
在动点
的运动过程中，记
与梯形
重合的面积为，试求关于的函数表达
式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
3
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．（
）
当
时，⊙
与直线
相切．
当
时，值最大，最大值是．
∵
，
∴
，
．
∴
．
∴
，即
；
∴
；
∴
．（
）
如图，设直线
与⊙
相切于点
，连接
，
，则
．
在
中，
．
由（）知
，
∴
，即
．
∴
．
∴
．
过
点作
于
，则
，
在
与
中，
是公共角，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∴
．
∴当
时，⊙
与直线
相切；
随点
的运动，当
点落在直线
上时，连接
，则
点为
的中点．
∵
，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
故以下分两种情况讨论：
①当
时，
，
4
【标注】
∴当
时，最大
，
②当
时，设
，
分别交
于
，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
．
又∵
，
∴四边形
是平行四边形；
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
；
，
当
时，
，
∴当
时，满足
，最大
．
综上所述，当
时，值最大，最大值是．
【知识点】圆与相似
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
，经过点
和点
的两个动圆均与
相切，且与
、
、
、
分别交于点
、
、
、
，则
的最小值为（ ）．
【答案】C
如图，设
的中点为
，过
点作
，过点
作
，垂足分别为
、
，
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【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴点
为过
点的圆的圆心，
为⊙
的半径，
为直径，
∵
，
∴当
为直径时，直径的值最小，
此时，
，
同理：
的最小值为
，
∴
的最小值是
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】矩形的性质
4.
【解析】
如图，⊙
与轴交于
、
两点，
，点
是轴上的一个动点，
切⊙
于点
，则
的最小值是 ．
【答案】
连接
，如图所示，
∵
、
，
∴
，
，
∴
，即圆
的直径为，
∴
，
，
又∵
为圆
的切线，
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【标注】
∴
，
∴
，
设
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
在
中，
，
根据勾股定理得：
，
则
，
则当
时，
达到最小值，最小值为
．
【知识点】切线的性质定理
2. 轴对称最值
（1 ）
1. 观察发现
如图（）：若点
、
在直线
同侧，在直线
上找一点
，使
的值最小，做法如下：
作点
关于直线
的对称点
，连接
，与直线
的交点就是所求的点
，线段
的长度即为
的最小值．
图
如图（）：在等边三角形
中，
，点
是
的中点，
是高，在
上找一点
，使
的值最小，做法如下：
作点
关于
的对称点，恰好与点
重合，连接
交
于一点，则这点就是所求的点
，
故
的最小值为 ．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
实践运用
如图（）：已知⊙
的直径
为，
的度数为
，点
是弧
的中点，在直径
上找一点
，使
的值最小，则
的最小值为 ．
（图）
拓展延伸
如图（）：点
是四边形
内一点，分别在边
、
上作出点
、点
，使
的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）画图见解析．
如图（），
的长为
的最小值，
∵等边
中，
，点
是
的中点，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
如图（），过
点作弦
，连结
交
于
点，连结
、
、
、
，
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（图）
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
平分
，即点
与点
关于
\text{D}$$对称，
∵
的度数为
，点
是
的中点，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
的长就是
的最小值．
故答案为：
．
1、作点
关于直线
的对称点
，
2、作点
关于直线
的对称点
，
3、连接
交
于
，交
于
，
则
的值最小．
如图（）
【知识点】圆与特殊角
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】轴对称的性质
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
2. 如图，⊙
的半径为，点
、
在⊙
上，且
．若点
、
、
分别为
、
、
上任意一点，则
的最小值为（ ）．
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【解析】
【标注】
【答案】B
以
为底边、劣弧上
点为顶点构造等腰
，
∵
，
∴
．
作点
关于
的对称点
，
∵
平分
，
∴
在
上．
当
、
、
三点共线且
时
有最小值，
∵
、
，
∴
．
【知识点】圆与等腰+平行线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，在平面直角坐标系中，⊙
过原点
，与轴交于
，与轴交于
，点
为劣弧
的中点，连接
并延长到
，使
，连接
．
求⊙
的半径．
证明：
为⊙
的切线．
在直线
上找一点
，使
最大．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
⊙
的半径为
．
证明见解析．
．
∵
，
，
故
，
，
由勾股定理得
．
∴⊙
的半径为
．
易得
，
∵
为劣弧
的中点，
由垂径定理得
，
．
过
作
轴于
，设
与轴交于
，
则
，
又
，故
，
，
∴
．
∵
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
是圆的直径，
∴
为⊙
的切线．
取
关于直线
的对称点
，
连接
并延长交直线
于
，
此
点为所求，且线段
的长为
的最
大值．
根据
、
两点求出
表达式为
，
又在直线
上的点
横坐标为，
故
，此时
．
【知识点】切线的判定定理
4.
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：如图，
内接于⊙
，
于
，
，过
点的直线与
的延长线交于点
，
，
．
求证：
是⊙
的切线．
若
为⊙
上一动点，连接
交直线
于点
，问：是否存在点
，使得
的值最
小，若存在求
的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的最小值为
．
连接
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
是⊙
的半径，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
，
∴
为等边三角形．
在
中，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
作
关于
的对称点
，连接
交
于点
，根据对称性及两点之间线段最短可知此
点
使
的值最小．
∴
，
∴
，
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【标注】
∵
，
，
∴
，
即
的最小值为
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，
是⊙
内接矩形，半径
，
，
、
分别是
、
上的动点，且
，则
的最小值是（ ）．
【答案】B
作
关于
的对称点
，连接
，交
于
，过
作直线
的垂线，垂足为
，连
接
交
于
，连
，此时
最小，
∴
，
∴
为圆
的直径，
∵
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∵
是
内接矩形，
∴
，
∴
，
∵
、
，
∴
，
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【标注】
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
由对称性得：
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
在
中，
，
即
的最小值为
．
【知识点】圆内接四边形综合
3. 中位线最值
1.
【解析】
如图，
为⊙
的直径，
，
，
为⊙
上两动点（
，
不与
，
重合），且
为定
长．
于
，
是
的中点，则
的最大值为 ．
【答案】
如图，通过画图观察可知，当
时，
的值最大，
连接
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
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【标注】
∴
，
∴
的最大值为．
【知识点】瓜豆原理（轨迹与最值）：轨迹为弧
2.
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的弦，且
，点
是⊙
上的一个动点，且
，点
，
分别在
线段
，
上，若
，
，则线段
长的最大值为 ．
【答案】
∵
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，
∴当
取得最大值时，
就取得最大值，
当
是直径时最大，如图，
∵
，
，
∴
，
．
【知识点】圆与相似
3. 已知
底边
，
在以
为圆心为半径的圆上，
中点为
，
中点为
，求
的最值．
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【解析】
【标注】
【答案】
．
取
中点
，连接
、
，
，
，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
4. 共线最值
A.
B.
C.
D.
1. 如图，
，
，点
是⊙
上任一点，点
为⊙
外一点，
为等边三角形，则
的面积的最大值为（ ）．
【答案】A
16
【解析】
【标注】
以
为边作等边
，
在⊙
上，
如图，连接
，
，
∵
，
∴
，
又
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
在以
为圆心，半径为的圆上运动，
过
作
于
，反向延长
交⊙
于
，
此时
在
时，
最大，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的性质
2.
【解析】
如图，将等边
的边
、
、
分别绕点
、点
、点
顺时针旋转角度
得到
、
、
，连接
、
、
．当
时，
的
周长的最大值为 ．
【答案】
取
的内心
，连接
、
、
，
∴
， 连接
，
∴
，
∴
，
∴周长的最大值为
．
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【标注】【知识点】求三角形周长的取值范围
