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勾股定理【章节复习】压轴题--勾股与全等综合
【C10】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，等边
中，
是
的角平分线，
为
上一点，以
为一边且在
下方作等
边
，连接
．
求证：
≌
．
延长
至
，
为
上一点，连接
、
使
，若
时，求
的
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
∵
为等边三角形，
为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
即
，
∴在
与
中，
，
∴
≌
．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
2
【标注】
∵
中
平分
，
∴
，
，
由（）知
≌
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
（1 ）
1
2
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四
边形．
在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称．
如图，将
绕顶点
按顺时针方向旋转
得到
，连接
，
，
，已知
．
求证：
是等边三角形．
求证：
，即四边形
是勾股四边形．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
正方形、矩形、直角梯形均可．
证明见解析．
证明见解析．
长方形，正方形是勾股四边形．
3
1
2
（2 ）
【标注】
∵四边形
是矩形，如图所示，
∴
，
∴
，
∴矩形
是勾股四边形．
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形．
∵
≌
，
∴
，
；
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
即四边形
是勾股四边形．
【知识点】与四边形有关的新定义
（1 ）
3. 在
中，
，点
、
是边
所在直线上与
、
不重合的两点．
如图，当
，
时，直接写出线段
、
、
的数量关系．(不
必证明)
图
4
（2 ）
（3 ）
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，当
，
时，已知
，
求线段
的长度．
图
如图，当
，
时，请探究线段
、
、
的数关系并证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
，
理由如下：将
绕
逆时针旋转
至
，
连接
，则
≌
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴在
中，
，
即
．
将
绕点
逆时针旋转
至
，
连接
，
则
≌
，
过点
作
于，
∴
，
∴
，
5
图
图
（3 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
将
绕
点逆时针旋转
至三角形
，连接
，
则
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，有
，
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
