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1
圆中的最值（一） 题集【A】
1. 垂线段最短
1.
【解析】
【标注】
如图，⊙
的半径为，弦
的长为，
是弦
上的动点，则线段
长的最小值为 ．
【答案】
当
时，
最小，此时
．
【知识点】圆与勾股
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点
为圆心的圆过点
，直线
与⊙
交于
，
两点，则弦
的长的最小值为（ ）．
【答案】D
直线
必过点
，
∴最短的弦
是过点
且与该圆直径垂直的弦．
∵点
的坐标是
，
∴
．
∵以原点
为圆心的圆过点
，
∴圆的半径为
，
∴
，
2
【标注】
∴
，
∴
的长的最小值为
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图所示在平面直角坐标系
中，以原点
为圆心的圆过点
，直线
与⊙
交于
、
两点，则弦
的长的最小值为（ ）．
【答案】A
∵直线
必过点
，
∴最短的弦
是过点
且与该圆直径垂直的弦，
∵点
的坐标是
，
∴
，
∵以原点
为圆心的圆过点
，
∴圆的半径为
，
∴
，
∴
，
∴
的长的最小值
，即为
．
故选
．
【知识点】垂径定理以及应用
4. 如图，在
中，
，
，
，经过点
且与边
相切的动圆与
，
分别相交于点
，
，则线段
长度的最小值是 ．
3
【解析】
【标注】
【答案】
取
中点
，⊙
与
的切点为
，连接
、
、
，
则
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
为直径，
，
当点
在直角三角形斜边
的高
上时，
最小，
∴由三角形面积公式可得最小值为
．
【知识点】圆中最值
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，
中，
，
，点
是
边上一个动点，以
为直径作⊙
，分
别交
、
于点
、
，若弦
长度的最小值为，则
的长为（ ）．
【答案】B
∵
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
4
【标注】
∴
是等腰直角三角形．
∴
．
∴
．
．
当
长度最小时，
最小，
∴直径
最小．
显然当
时
最小．此时
，
∴
．
【知识点】圆中最值
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
如图，
中，
，
，
，
是线段
上的一个动点，以
为直径圆
分别交
、
于
、
，则线段
长度的最小值是（ ）．
【答案】A
由垂线段的性质可知，当
为
的边
上的高时，直径最短，
如图，连接
，
，过
点作
，
在
中，
，
，
∴
，即此时圆的直径为，
∵
，
而
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
即线段
长度的最小值为
，
5
【标注】
故本题正确答案选
．
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】30°特殊角的性质应用
7.
【解析】
如图所示，
内接于⊙
，
，锐角
，则⊙
的半径为 ，
的面
积的最大值为 ．
【答案】
;
作直径
，连接
，如图，
图
∵
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴⊙
的半径
．
当点
到
的距离最大时，
的面积的最大值，此时点
优弧
的中点，如图．
图
6
【标注】
的延长线交
于
，连接
，
∵点
优弧
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
的面积
．
【知识点】圆与最值问题
8.
【解析】
【标注】
如图，直线
与轴、轴分别交于点
、
；点
是以
为圆心、为半径的圆上
一动点，过
点的切线交线段
于点
，则线段
的最小是 ．
【答案】
过点
作
直线
与点
，过点
作⊙
的切线
，切点为
，此时
最小，连接
，如图所示．
直线
的解析式为
，即
，
∴
．
∵
为⊙
的切线，
∴在
中，
，
，
∴
．
【知识点】圆与最值问题
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9.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中
中，
是直线
上的一个动点，⊙
的半径为，
切⊙
于点
，则线段
的最小值为 ．
【答案】
连接
，
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
在
中，
，
欲求
最小，即
最小，
当
为直线
与轴交点时，即
时，
取得最小值为，
∴
的最小值为
．
【知识点】圆中最值
A.
B.
C.
D.
10.
【解析】
如图，⊙
是半径为的圆，点
到直线的距离为，过直线上的任一点
作⊙
的切线，切点为
；若以
为边作正方形
，则正方形
的面积最小为（ ）．
【答案】B
连接
、
，作
于
，
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【标注】
如图，则
，
∵
为⊙
的切线，
∴
，
在
中，
，
当
最小时，
最小，
正方形
的面积最小，
而当
时，
最小，
∴
的最小值为
，
∴正方形
的面积最小值为．
【知识点】圆与最值问题
2. 轴对称最值
1.
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
，点
在⊙
上，
，
为
的中点，
是直径
上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
作点
关于
的对称点
，连接
，
，
，
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【标注】
∵
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
．
【知识点】圆中最值
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，已知⊙
的半径是
，
，
是直径
同侧圆周上的两点，弧
的度数为
，弧
的度
数为
，动点
在
上，则
的最小值为（ ）．
【答案】B
连接
，
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【标注】
根据题意以及垂径定理，
得弧
的度数是
，
则
度．
作
于
，
则
，则
，
．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，
是
的直径，
，点
在
上，
，
为弧
的中点，
为直径
上一动点，则
的最小值为（ ）．
【答案】B
过
作
的垂线交
于
，连接
，易知
的最小值为
，连接
，
，
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【标注】
为直角三角形，
，选．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3. 中位线最值
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列问题：
圆中最长的弦是 ．
如图①，
是⊙
的弦，
，点
是⊙
上的一个动点，且
，若点
、
分别是
、
的中点，则
长度的最大值是 ．
如图②，
中，
，
，
，
是边
上的一个动点，
以
为直径画⊙
，分别交
、
于点
、
，连接
，则线段
长度的最小值
为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
直径
直径是圆中最长的弦，
故答案为：直径．
如图①，∵点
，
分别是
，
的中点，
∴
，
∴当
取得最大值时，
就取得最大值，当
是直径时，
最大，
连接
并延长交⊙
于点
，连接
，
∵
是⊙
的直径，
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图
图
（3 ）
【标注】
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
由垂线段的性质可知，当
为
的边
上的高时，直径
最短，
如图②，
连接
，
，过
点作
，垂足为
，
∵在
中，
，
，
∴
，即此时圆的直径为
，
由圆周角定理可知
，
∴在
中，
，
由垂径定理可知
．
故答案为：
．
【能力】运算能力
【知识点】三角形的中位线
【知识点】解直角三角形
【知识点】探究特殊角的三角函数值
【知识点】勾股定理
【知识点】圆与三角函数
【知识点】圆的定义
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】圆中对称性
【知识点】垂径定理以及应用
最大
2. 如图，
是⊙
的一条弦，点
是⊙
的优弧上
一动点，且
，点
是
的中点，
直线
与⊙
交于
，
两点，交
于点
，若⊙
的半径为，则
的最大值为（
）．
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A. 不存在
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
连接
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
．
当
为⊙
的直径时，
有最大值．
∵当
为直径时，
点与
点重合，
∴
也是直径，
．
∵
是直径上的圆周角，
∴
，
∵
，
∴
．
∵点
、
分别为
、
的中点，
∴
，
∴
．
故选：
．
【知识点】圆周角定理以及应用
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4. 三点共线最值
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
，
两点的坐标分别为
，
，⊙
的圆心坐标为
，半径为，若
是
⊙
上的一个动点，射线
与轴交于点
，则
面积的最大值是（ ）．
【答案】B
当射线
与⊙
相切时，
的面积最大，连接
，
∵
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
连接
，设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，解得
，
∴
．
【知识点】圆与平面直角坐标系
2.
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
如图，已知
、
两点的坐标分别为
、
，⊙
的圆心坐标为
，半径为，
是⊙
上一动点，则
面积的最大值为（ ）．
【答案】D
过点
作
于点
，
∵
、
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
当
、
、
三点共线时
面积最大，
∵⊙
半径为，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
3. 如图，已知
，⊙
的半径为，四边形
是⊙
的内接正方形，
为
中点，当正方
形
绕圆心
转动时，
的面积最大值为 ．
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【解析】
【标注】
x
y
O
【答案】
∵
是定值，
∴当
时，
的面积最大，
∵
，
∴
，
∵⊙
的半径为，
∴正方形
的边长为
，
∴
，
∴
的面积的最大值
．
【知识点】圆内接四边形综合
