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1
圆【章节复习】压轴题-辅助圆 题集C6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 在
和
中，
，若点
是
的中点，连接
，
．
特殊发现：
如图，若点
，
分别落在边
，
上，则结论：
成立（不要求证明）．
问题探究：
把图中的
绕着点
顺时针旋转．
图
如图，若点
落在边
的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由．
图
如图，若点
落在边
上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由．
图
记
，当为何值时，
总是等边三角形？（请直接写出的值，不必说明理由）
【答案】（1 ）
（2 ）
成立．
成立．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
（3 ）当为
时，
总是等边三角形．
如图，过点
作
于点
，
图
成立，理由如下：
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
．
如图，过点
作
于点
，过点
作
于点
，连接
，
图
成立，理由如下：
∵
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
和
中，
，
3
（3 ）
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
如图，
图
∵
总是等边三角形，
∴将
绕着点
顺时针旋转
，
仍是等边三角形，
∵
，点
是
的中点，
∴点
、
在以点
为圆心，
为直径的圆上，
∵
是等边三角形，
∴
，
根据圆周角定理，可得
，
即
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
∴当为
时，
总是等边三角形．
4
【标注】【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】探究特殊角的三角函数值
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】AAS
【知识点】SAS
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
在正方形
中，
是一条对角线．点
在射线
上（与点
、
不重合），连接
，平移
，使点
移动到点
，得到
，过点
作
于点
，连接
，
．
若点
在线段
上，如图，
①依题意补全图；
②判断
与
的数量关系与位置关系并加以证明．
A
D
C
B
P
图
A
D
C
B
备用图
若点
在线段
的延长线上，且
，正方形
的边长为，请写出求
长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
①如图所示．
A
D
C
B
Q
P
H
②
，
．
的长为
．
①略
②法一：旋转法
5
（2 ）
判断：
，
证明：在正方形
中，
，
，
∵
，∴
是等腰
.
∴
，
.
∵
≌
，∴
，∴
.
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
即
，∴
．
A
D
C
B
Q
P
H
法二：轴对称作法
判断：
，
证明：连接
，
是等腰直角三角形，
又∵
，∴
≌
，
∴
，
，
为正方形
对称轴，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
且
．
A
D
C
B
Q
P
H
法一：旋转法
由⑴可得
≌
，∴
，∴
，
设
，则
.
由
得：
，
6
【标注】
∴
．
D
P
A
C
B
Q
H
R
法二：轴对称作法
考虑
等腰
，
，
作
于
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
设
，则
.
由
得：
，
∴
．
D
P
A
C
B
Q
H
R
法三：四点共圆作法
、
、
、
共圆，∴
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
（1 ）
3. 如图，在
中，
，
为
中点，
为线段
上的一个动点，
于点
．
图
求证：
．
7
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，若
平分
，求
的值．
图
如图，
延长线交
于点
，若
，
，
，直接写出
的值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
连接
，
∵
、
为
中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．（）（）
连接
，
8
（3 ）
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
整理得
，
令
，
则
，
解得
（舍）、
，
∴
．
连接
，过点
作
于点
．
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
9
【标注】
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
