文档文本内容
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【勾股定理与实际问题】题集【A】
1. 简单实际应用
【关键】：
【注意】：
①如若是直角三角形，用勾股定理直接解决
②“斜三角形化直角三角形”：如若不是直角三角形，需作辅助线构造直角三角形，再用勾股定理解决
③有时会借助方程，那么要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形
A.
海里
B.
海里
C.
海里
D.
海里
1.
【解析】
【标注】
一艘轮船以
海里/时的速度离开
港向东南方向航行，另一艘轮船同时以
海里/时的速度离开
港
向西南方向航行，经过
小时后它们相距（ ）．
【答案】B
两艘轮船的航行所成夹角为
．
∴
小时分别行驶
海里，
海里，
由勾股定理知两船相距
海里．
【知识点】勾股定理与实际问题
2.
【解析】
如图所示，有两棵树，一棵高
，另一棵高
，两树相距
，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，至少飞了
．
【答案】
由题知至少飞了
．
2
【标注】【知识点】勾股定理与实际问题
3.
【解析】
【标注】
如图所示，一棵大树在一次强台风中于离地面
处折断倒下，倒下部分与地面成
夹角，此时树
的顶端
与树的底端
之间的距离为
．
【答案】
由题知
．
【知识点】勾股定理与实际问题
A.
尺
B.
尺
C.
尺
D.
尺
4.
【解析】
如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底宽
尺，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，
它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）．
【答案】D
设水深为尺，则芦苇的长为
尺，
根据勾股定理得：
，
解得：
，
芦苇的长度
（尺），
故选
．
3
【标注】【知识点】勾股定理与实际问题
A. 等于米
B. 大于米
C. 小于米
D. 不能确定
5.
【解析】
【标注】
一架长为
米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑
米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）．
【答案】C
在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
∴
（米）．
【知识点】勾股定理与实际问题
【能力】运算能力
6.
【解析】
如图，小明在广场上先向东走
米，又向南走
米，再向西走
米，又向南走
米，再向东走
米．则小明到达的终止点与原出发点的距离为 米．
【答案】
小明实际向南走了
米，
实际向东走了
米，
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【标注】
∵正东方向与正南方向垂直，
∴终止点与原出发点的距离
．
【能力】推理论证能力
【知识点】勾股定理与实际问题
2. 展开图最短路径问题
【关键】：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解
决问题
【常见类型】：
台阶中的最值问题、圆柱（锥）中的最值问题、长（正）方体中的最值问题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，已知正方体的棱长为，则蚂蚁在表面上从一个顶点
爬行到相对顶点
的最短路程为（
）．
【答案】D
要学会展开成平面图去思考，沿着正方体的高将其展开，如下图所示：
从而
，
，因此
，答案选
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
2. 如图，有一只棱长为
厘米的正方形盒子，一只蚂蚁从
点出发，沿着正方体木箱的外表面爬行到
的中点
的最短路线长为（ ）．
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A.
厘米
B.
厘米
C.
厘米
D.
厘米
【解析】
【标注】
【答案】C
把正方体的
面与
面展开在同一平面内．
在矩形
中．
∵
为
中点，
，
∴
．
在
中，
．
【知识点】勾股定理
【知识点】勾股定理与实际问题
3.
【解析】
如图，一个底面直径为
，高为
的糖罐子，一只蚂蚁从
处沿着罐的表面爬行到
处，则
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
B
【答案】
将此圆柱展成平面图得：
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【标注】
∵高为
，底面直径为
，
∴底面周长
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】和圆柱有关的最值问题
4.
【解析】
【标注】
如图，一圆柱高
，底面周长为
，现需按如图方式缠绕一圈彩带进行装饰，则彩带最短要
用
．
【答案】
将圆柱展平，如图所示：
彩带最短需要
，
故答案为
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
5.
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【解析】
如图，一块长方体砖宽
，长
，
上的点
距地面的高
，地面上
处的一只小蚂蚁到
处吃食，需要爬行的最短路程是
（可以考虑从砖底爬过去）．
【答案】
依据立体图形平面展开图可得：
，
，
，
①如图所示，
，
∴
．
图
②如图所示，
图
，
③如图所示，
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【标注】
图
，
∵
，
∴需要爬行的最短路程是
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
（
）
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
如图是一块长，宽，高分别是
，
，
的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点
处，沿着长方体的表面到长方体上和
相对的顶点
处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（
）．
【答案】C
就是蚂蚁爬的最短路线，
但有三种情况：
当
，
，
，
当
，
，
，
当
，
，
．
所以第三种情况最短．
故选：．
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【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，圆柱形容器高
，底面周长
，在杯口点
处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂
蜜相对的
处，
蚂蚁
蜂蜜
求蚂蚁从
到
处吃到蜂蜜最短距离．
若蚂蚁刚出发时发现
处的蜂蜜正以每秒钟
沿杯内壁下滑，秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求
蚂蚁的平均速度至少是多少．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
/ ．
如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高
，底面周长
，
∴
，
∴
（
）．
∵
，
∴蚂蚁所走的路程
，
∴蚂蚁的平均速度
（
/ ）．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
3. 平面直角坐标系中——两点间距离公式
（）点
到原点的距离是
；
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（）点
到点
的距离
，
【方法总结】
在平面直角坐标系中需要计算线段长度时，通常作轴或轴的平行线（或垂线），目的是实现坐标与线
段长度之间的相互转换．
1.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，点
到原点的距离为 ．
【答案】
到原点的距离
．
【知识点】坐标与距离
【能力】运算能力
A.
B.
C.
D.
2.
方法一：
方法二：
【解析】
在直角坐标系中，点
到原点的距离是（ ）．
【答案】B
由两点间距离公式可得：
故
．
故选：．
如图所示：过点
作
轴于点
，
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【标注】
则
，
，
故
．．
故选：．
【知识点】坐标与距离
3.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，点
与点
的距离是 ．
【答案】
略.
【知识点】坐标与距离
