文档文本内容
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【勾股定理与实际问题】题集【B】
1. 简单实际应用
【关键】：
【注意】：
①如若是直角三角形，用勾股定理直接解决
②“斜三角形化直角三角形”：如若不是直角三角形，需作辅助线构造直角三角形，再用勾股定理解决
③有时会借助方程，那么要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形
A.
尺
B.
尺
C.
尺
D.
尺
1.
【解析】
如图，有一个水池，其底面是边长为
尺的正方形，一根芦苇
生长在它的正中央，高出水面部分
的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部
恰好碰到岸边
，则这根芦苇
的长是（ ）．
【答案】C
苇长
尺，则水深
尺，
∵
尺，
∴
尺，
∵
中，
．
∴
．
2
【标注】【知识点】勾股定理与实际问题
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，一架云梯长
米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面
米．
这个梯子底端离墙有多少米．
如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
【答案】（1 ）
（2 ）
米．
不是．
由题意得此时
米，
米，根据
，
∴可求
米．
设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，
得方程，
，解得
，
所以梯子向后滑动了米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．
【知识点】勾股定理的综合应用
3. 如图，一架
长的梯子
斜靠在一竖直墙
上，此时
．
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如果梯子底端
沿地面外移
，那么梯子顶端
下移多少
．
试问梯子底端
沿地面外移多少
时与梯子顶端
下移的距离相等．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
右移
时
下移
．
．
∴
．
，
∴
．
∴
．
设
．
∴
．
∴
．
，又∵
．
．
∴
右移
时
下移
．
【知识点】勾股定理的综合应用
4.
【解析】
一个圆桶底面直径为
，高
，则桶内所能容下的最长木棒为 ．
32cm
24cm
【答案】
如图，
为圆桶底面直径，
∴
，
，
∴线段
的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴
．
4
32cm
24cm
【标注】
故桶内所能容下的最长木棒的长度为
．
【知识点】勾股定理与实际问题
2. 展开图最短路径问题
【关键】：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解
决问题
【常见类型】：
台阶中的最值问题、圆柱（锥）中的最值问题、长（正）方体中的最值问题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，长方体的长为
，宽为
，高为
，点
离点
的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是（ ）．
【答案】B
将长方体展开，连接
、
．
（）如图，
，
，
由勾股定理得：
．
5
【标注】
（）如图，
，
，
由勾股定理得，
．
（）如图：
∵长方体的宽为
，高为
，点
离点
的距离是，
∴
，
，
在直角三角形
中，根据勾股定理得：
．
由于
，故最短距离为
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
（1 ）
2. 如图所示是一块长、宽、高分别为
、
、
的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）．
求长方体底面的对角线长．
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（2 ）
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
若揭开盖子
后，插入一根长为
的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多
少？
在
处有一蚂蚁，在
处有一滴蜂蜜，蚂蚁从
沿表面爬行到
，求蚂蚁爬行的最短路径的
长．
若蜂蜜在点
处，且距离
为
，蚂蚁从
沿表面爬行到
，求蚂蚁爬行的最短路径的
长．（直接写出结果）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
长方体底面的对角线长
．
细木棒露在外面的最短长度为
．
蚂蚁爬行的最短路径长为
．
连接
，如图所示，
，
，
在
中，由勾股定理得
．
∴长方体底面的对角线长
．
连接
，如图所示，
．
在
中，由勾股定理得
．
∴
．
∴细木棒露在外面的最短长度为
．
共分三种情况：
①如图所示，
7
（4 ）
，
．
∴
．
②如图所示，
．
∴
．
③如图所示，
，
．
∴
．
综上所述，蚂蚁爬行的最短路径长为
．
．
分类讨论．
①如图所示，
8
【标注】
，
．
∴
．
②如图所示，
，
，
，
∴
．
③如图所示，
，
．
∴
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
9
3.
【解析】
如图，长方体的长
，宽
，高
，点
在
上，且
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】
分两种情况比较最短距离：
如图所示，
图
．
如图所示，
图
．
∵
，
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【标注】
∴第二条路线最短，此时最短距离为
．
∴需要爬行的最短距离是
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
A
B
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，长方体的底面是边长为
的正方形，高为
．
如果用一根细线从点
开始经过个侧面缠绕一圈到达点
，请利用侧面展开图计算所用细线
最短需要多少
？
如果从点
开始经过个侧面缠绕圈到达点
，那么所用细线最短需要
．（直接填
空）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
将长方体展开，连接
、
，
根据两点之间线段最短，
．
故答案为：
．
如果从点
开始经过个侧面缠绕圈到达点
，
相当于直角三角形的两条直角边分别是和，
根据勾股定理可知所用细线最短需要
．
故答案为：
．
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【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
5.
【解析】
【标注】
如图，长方体的长为，宽为
，高为
，点
为上面的中央点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】
．
①当爬行路线为图时，
图
作
交
于
，
有
，
，
∴
．
②当爬行路线为图时，
图
作
于
，
有
，
，
∴
，
∵
，
∴爬行的最短距离为
．
【知识点】立体图形路径最短
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6.
【解析】
【标注】
如图所示，无盖玻璃容器，高
，底面周长为
，在外侧距下底
的点
处有一蜘蛛，与蜘
蛛相对的容器的上口外侧距开口
的
处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路
线的长度．
【答案】最短路线长为
．
如下图可知，最短路线的长度为线段
的长度，
作
于
，
则
，
，
∵底面周长为
，
∴
，
∴
．
∴最短路线长为
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
7. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽
平行
且大于
，木块的正视图是边长为
米的正方形，一只蚂蚁从点
处，到达
处需要走的最短路程
是 米．
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方法一：
方法二：
【解析】
【答案】
由题意可知，将木块展开，
相当于是
个正方形的宽，
∴长为
米；宽为米．
于是最短路径为：
米．
将原图展开变为：
∵矩形长为米，宽为米，正方形边长
，
∴
米，
米，
∴在
中，
米．
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【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
8.
【解析】
【标注】
有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标．一只蜗牛从
点经过凹槽内壁爬到
点取食，最短
的路径长是
．
【答案】
将凹槽展开：
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
3. 平面直角坐标系中——两点间距离公式
（）点
到原点的距离是
；
（）点
到点
的距离
，
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【方法总结】
在平面直角坐标系中需要计算线段长度时，通常作轴或轴的平行线（或垂线），目的是实现坐标与线
段长度之间的相互转换．
A.
B.
C. 4
D.
1.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中
，则
．
【答案】D
【知识点】坐标与距离
2.
【标注】
已知
，
，
为轴上一点，若
为等腰三角形，且
，则
点的
坐标是 ．
【答案】
或
【知识点】一次函数与等腰三角形结合
3. 在平面直角坐标系
中，点
、点
的坐标分别为
、
．若
是以
为顶
角的等腰三角形，点
在轴上，则点
的坐标为 ．
【答案】
或
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【解析】
【标注】
∵点
、点
的坐标分别为
、
，
∴
．
如图，∵点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
或
．
【知识点】直接用勾股求边长
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
阅读下列材料，然后回答下列问题．
如图，已知在平面内的两点
、
，其两点间的距离可利用勾股定理求得：
．
已知
、
，试求
、
两点间的距离．
已知一个三角形各顶点坐标为
、
、
，你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
为直角三角形．
．
，
，
，
，
为直角三角形．
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【标注】【能力】运算能力
【知识点】勾股定理的逆定理
【知识点】勾股逆定理的应用
【知识点】坐标与距离
