文档文本内容
第十章 复数 章末题型大总结
题型01 复数的概念与分类
【典例1】（24-25 高一下·江苏盐城·期中）实数
取何值时，复数
是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)0?
【答案】(1)
或
(2)
且
(3)
【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可；
解题锦囊
1.求复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.
2.复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚数；当
a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即
.
（2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可；
（3）根据复数相等列式求解即可.
【详解】（1）当
，即
或
时，复数
是实数；
（2）当
，即
且
时，复数
是虚数；
（3）当
即
时，复数
是0.
【变式1】（24-25 高一下·河南·期中）设为虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数a
的值为（ ）
A．1
B．6
C．5
D．1 或5
【答案】C
【分析】由纯虚数的概念可得结果.
【详解】由复数
是纯虚数，则
，解得：
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一下·江苏连云港·期中）设复数
，
（
）.若
为实数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】利用复数除法法则化简，得到
，解得
.
【详解】
，
为实数，故
，解得
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设
，若
为纯虚
数，则
的值为 .
【答案】3
【分析】由纯虚数的定义计算可得.
【详解】由题意可得
，解得
所以
.
故答案为：3.
【变式4】（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）复数z =1−❑√2i，则（ ）
A．z的实部为−1
B．z的虚部为−❑√2i
C．z的虚部为−❑√2
D．z的虚部为1
【解题思路】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解.
【解答过程】复数z =1−❑√2i的实部为1，虚部为−❑√2，ABD 错误，C 正确.
故选：C.
【变式5】（24-25 高一下·广东广州·期中）实数
分别取什么数值时，复数
是：
(1)纯虚数；
(2)与复数
互为共轭.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据纯虚数和共轭复数概念分别列出关于
的方程或方程组，然后求解
的值.
【详解】（1）根据纯虚数的定义，可列出方程组
.
解方程
，得
或
.
解不等式
，得
且
.
综合方程和不等式的解，可得
.
（2）根据共轭复数的定义，可列出方程组
.
解方程
，得
或
.
解方程
，得
.
综合两个方程的解，可得
.
题型02 复数的几何意义
【典例2】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解题锦囊
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数
复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数
平面向量
【答案】D
【分析】由复数的乘法和共轭复数的概念结合复平面内的点的特征判断即可.
【详解】由题意知
，
所以
，所以复数
在复平面内对应的点为
，位于第四象限.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求得复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】
，
该复数在复平面内对应的点为
，位于第三象限．
故选：C．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·全国·单元测试）在复平面内，若
所对应的点
位于第二象限，则实数m 的值可以是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】AB
【知识点】在各象限内点对应复数的特征
【分析】先把复数整理成
，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数
的取值范围，再逐一验证即可.
【详解】整理得
，对应的点位于第二象限，
则
，解得
．
故选：AB
【变式3】（23-24 高一下·安徽黄山·期中）若复数
的共轭复数
对应的点在第一
象限，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】B
【分析】由共轭复数的定义求出
，再根据复数的几何意义求解.
【详解】由题，
，
对应的点在第一象限，
则
，可得
，又
为整数，所以
．
故选：B．
【变式4】（24-25 高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数
，其中
是虚数单位，
(1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)空集
(2)
【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解；
（2）求出复数
对应的点，再由点的位置列出不等式组求解.
【详解】（1）复数
为纯虚数，则
，无解，
所以实数m 的值的集合为空集；
（2）由z 在复平面内所对应的点
在第二象限，得
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
题型03 复数相等的充要条件
【典例3】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由
，化简得
所以
.
故选：C
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出
值，验证即得.
解题锦囊
在复数集
中任取两个数
，
，（
），我们规定
.
【详解】由集合
，
，且
，
得
，因此
，所以
，
当
时，
，因
，故
，符合题意.
故选：C
【变式2】（2025·云南红河·三模）若
（为虚数单位），其中
，
为实数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数相等直接求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以
．
故选：C
【变式3】（2024·全国·模拟预测）若
（
，
，
），且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由复数运算结合复数相等概念可得
，然后结合
可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，解得
，
.因为
，所以
，
解得
或
.
故选：A.
【变式4】（24-25 高三下·河南新乡·阶段练习）复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，则
，利用复数的加法以及复数相等可求出
、
的值，可得出复
数
，即可得出结果.
【详解】设
，则
，
所以，
，
所以
，解得
，
，故
，即复数
的虚部为
.
故选：A.
【变式5】（2025·天津·一模）是虚数单位，复数
满足
，则
．
【答案】
【分析】设出复数以及共轭复数，利用复数相等可得参数值，根据模长公式，可得答案.
【详解】设
，则共轭复数
，
由
，则
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
题型04 复数的四则运算
【典例4】（多选）（24-25 高一下·福建宁德·期中）已知复数
，则（ ）
解题锦囊
(1)复数的加法法则
设
，
(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减
去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
（3）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设
,
是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（4）复数的除法法则
（
）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
A．
B．
的共轭复数为
C．
为实数
D．
为纯虚数
【答案】AD
【分析】根据复数的除法化简复数
，再根据复数的模，共轭复数等复数的概念求解判断.
【详解】因为
，
则
，
的共轭复数为
，
，不是实数，
，为纯虚数.
故选：AD.
【变式1】（24-25 高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：A
【变式2】（24-25 高一下·福建龙岩·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算写出
进而写出
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：A
【变式3】（24-25 高一下·江苏常州·期中）
= .
【答案】
【分析】利用复数的四则运算性质化简即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一下·河北·期中）已知复数
，则
．
【答案】
【分析】根据虚数的性质，求得
，结合
，得到
，再由共轭复
数的概念，即可求解.
【详解】由虚数乘方的性质，可得
，其中
，可得
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）复数
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算求解即可.
【详解】复数
.
故答案为：
.
题型05 共轭复数
【典例5】（多选）（24-25 高一下·江苏宿迁·期中）若复数z 在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确
的是（ ）
解题锦囊
（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不
等于0 的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数
的共轭复数用
表示，即如果
，则
.
（3）共轭复数的性质
设
，
（
）
①
；②
为实数；③
且
为纯虚数
④
；⑤
，
，
.
A．
B．
C．若z 为纯虚数，则Z 在虚轴上
D．若
，则点Z 的集合所构成的图形的面积为6π
【答案】ABC
【分析】设
得到
，再逐项判断.
【详解】设
，
，
A.
，
，则
，故正确；
B.
，
，则
，故正确；
C.若z 为纯虚数，则
则Z 在虚轴上，故正确；
D.因为
，所以点Z 的集合所构成的图形是半径为3 的圆，则面积为9π，故错误；
故选：ABC
【变式1】（2025·湖南邵阳·二模）已知复数
在复平面内对应的点的坐标是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出复数
，再写出其共轭复数.
【详解】复数
在复平面内对应的点的坐标是
，则
，故
.
故选：B
【变式2】（24-25 高一下·江苏徐州·期中）复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出
，进而求出其共轭的虚部.
【详解】衣题意，
，
，
所以
的虚部为
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一下·浙江台州·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由共轭复数的定义，即可得到结果.
【详解】因为
，则
.
故选：B
【变式4】（24-25 高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数
，其共轭复数为
，
为实数.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
.
(2)
或
.
【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得
，最后利用复数的乘方运算即可得到答案；
（2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可.
【详解】（1）
，所以
.
（2）
，解得
或
.
题型06 复数的模及其几何意义
【典例6】（24-25 高一下·河北唐山·期中）若复数
，
（为虚数单位），则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
【变式1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）已知复数
，则
（ ）
A．13
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断.
解题锦囊
向量
的模叫做复数
)的模，记为
或
公式：
，其中
复数模的几何意义：复数
在复平面上对应的点
到原点的距离；
特别的，
时，复数
是一个实数，它的模就等于
(
的绝对值).
【详解】
，
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算化简可得
，进而可得复数的模.
【详解】
，
则
，
故选：C.
【变式3】（多选）（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知
为复数，有以下四个命题，其中真命题的序
号是（ ）
A．若
，则
B．若
．则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B.
【详解】对于A，
是复数，如
，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A 错误；
对于B，设
，由
，得
，
则
，因此
，
，B 正确；
对于C，取
，满足
，而
，
，C 错误；
对于D，由
，得
都是实数，因此
，D 正确.
故选：BD
【变式4】（24-25 高一下·上海宝山·期中）已知复数
满足
，则
.
【答案】
【分析】利用复数的模的性质求解
【详解】
，
故答案为：
题型07 复数运算的几何意义
【典例7】（24-25 高一下·广西·阶段练习）已知复数
满足
，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值.
【详解】依题意，
表示复平面内复数
对应的点在以点
为圆心，
为半径的圆上，
表示上述圆上的点到原点的距离，所以
.
故选：D
【变式1】（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数
，则复平面内满足
的点
的集合围成的图形面积为
，则实数
（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解．
【详解】因为复平面内满足
的点
的集合围成的图形是以
圆心，
为半径的圆，且面积
为
，
所以
，即
或
（舍），
故选：B．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·山西·阶段练习）设
，则下列关于复数
的说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．若
，则
为共轭复数
D．若
，则
的最大值为6
【答案】ABD
【分析】设
，
，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据
共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
解题锦囊
(
)的几何意义
在复平面内,设复数
，
（
）对应的点分别是
，
,则
.
又
复
数
.
则
,故
，即
表示复数
在复平面内对应的点之间
的距离.
．
【详解】对于A，设
，则
，A 正确；
对于B，设
，故
，
而
，B 正确；
对于C，
，因为
，
所以
，即
，但a 与m 不一定相等，C 错误；
对于D，若
，则复数
对应的点的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆，
表示圆上的点与点
的距离，则距离的最大值为
，D 正确．
故选：ABD
【变式3】（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设
，在复平面内
对应的点为
，则满足
的点
的集合形成的图形面积为 ．
【答案】
【分析】根据复数的模的几何意义确定点
的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积．
【详解】根据复数模的几何意义，复数
在复平面内对应的点
到原点的距离为
．
已知
，这表示点
到原点的距离大于等于且小于等于，所以点
的集合形成的图形是以原点为
圆心，半径
和半径
的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．
半径为的圆的面积
，半径为的圆的面积
．
所以圆环的面积
．
故答案为：
．
【变式4（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）复数
满足
，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知
表示
所对应的点到点
的距离，从而可可求出
的最大值.
【详解】满足
的复数
所对应的点在以原点为圆心，1 为半径的圆上，
的几何意义为
所对应的点到点
的距离，
因为
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
题型08 复数范围内方程的根
【典例8】（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）若
（为虚数单位）是关于
方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】将
代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可.
【详解】因为
是关于
方程
的一个根，
所以
，整理得
，
所以
，解得
，
故选：D
【变式1】（24-25 高一上·河北保定·阶段练习）若复数
．则下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
解题锦囊
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0 时，方程有两个不相等的实根
，
；
当∆=0 时，方程有两个相等的实根
；
当∆<0 时，方程有两个虚根
，
，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用．
D．若
是关于
的方程
的根．则
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A 选项；利用复数的除法可判断B 选项；利用复数的
模长公式可判断C 选项；利用韦达定理可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，因为
，故
，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，由题意可知，关于
的方程
的两虚根分别为
、
，
由韦达定理可得
，可得
，故
，D 对.
故选：ACD.
【变式2】（23-24 高一下·安徽黄山·期中）已知复数
（其中为虚数单位），若复数的共
轭复数为
，且
．
(1)求复数
；
(2)求复数
；
(3)若
是关于
的方程
的一个根，求实数
，
的值，并求出方程
的另一个复
数根．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
，另一根为
【分析】（1）化简复数
，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将
代入方程
运算求出
，代回方程求解.
【详解】（1）
，
所以复数
的共轭复数为
．
（2）因为
，
所以
所以
.
（3）若
是关于
的方程
的一个根，则
，
即
，
所以
解得：
，
，
则
，即
，
所以方程另一根为
．
【变式3】（23-24 高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知
是关于
的方程
的一个根.
(1)求
的值；
(2)若
是纯虚数，求实数
的值和
.
【答案】(1)
；
(2)
，
.
【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解.
（2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解.
【详解】（1）由
是方程
的一个根，得
，
整理得
，因此
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
由
是纯虚数，得
，解得
，则
，
所以
.
题型09 复数性质的综合应用
【典例9】（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知
，
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】由复数的概念、模长公式及代数形式的乘除运算逐个判断.
【详解】对于AB，设
，
则
，所以
，故A 错误；
，所以
，故B 正确；
考虑特例
，
，满足
，显然
不成立， C 错误；
因为
，所以
，即
，
所以
，故D 正确．
故选：BD
【变式1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）已知复数
，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
，则
C．
D．
【答案】AC
【分析】对A，由虚数单位的
次方规律求解判断；对B，由复数的虚部不为0 时，复数不能比较大小判
断；对C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对D，举反例说明.
【详解】对于A，因为
的取值是以4 为周期，所以
，故A 正确；
对于B，当复数的虚部不为0 时，复数不能比较大小，如
，
，故B 错误；
对于C，设
，则
，所以
，故C 正确；
对于D，举反例，如
，则
，而
，故D 错误.
故选：AC.
【变式2】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）已知复数
，则（ ）
A．若
互为共轭复数，则
为实数
B．若
，则
或
C．若
，则
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，设
，根据共轭复数的定义得到
，计算出
；
B 选项，举出反例得到B 错误；C 选项，
，D 选项，计算出
，D 正确.
【详解】设
，
A 选项，由于
互为共轭复数，故
，
故
，A 正确；
B 选项，不妨设
，满足
，但
且
，B 错误；
C 选项，若
，则
，C 正确；
D 选项，
，
故
，
，
而
，
所以
，D 正确.
故选：ACD
【变式3】（2025·陕西渭南·二模）已知
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是实数
B．若
为虚数，则
是虚数
C．对于任意的复数
都是实数
D．
【答案】BCD
【分析】设
，
，代入进行验证．
【详解】设
，
选项A，若
，则
，
不一定是实数，A 错；
选项B，
是虚数，则
，
，但
，
是虚数，B 正确；
选项C，
是实数，C 正确；
选项D，设
，则
，D 正确；
故选：BCD．
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）下列命题中正确的有（ ）．
A．若复数z 满足
，则
B．若复数z 满足
，则
C．若复数
，
满足
，则
D．若复数
，则
【答案】AD
【分析】设出
，按照所满足的条件求出
或
的取值即可判断ABD，对于C，举反例即可排除.
【详解】设
，
则
，若
，则
，此时
，故选项A 为真．
若
，则
，此时
，故选项D 为真．
，若
，则
或
，此时z 为实数或纯虚数，故选项B 为假．
设
，
，则
，但
，故选项C 为假．
故选：AD．
【变式5】（24-25 高一下·山西·阶段练习）已知
，
均为复数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是实数
C．若
，则
是纯虚数
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项.
【详解】因为
，又
，所以
，A 正确；
设
，则
，所以
为实数，B 正确；
设
，则
，又
，所以
，
，所以
是纯虚数，C 正
确；
若
，
，则满足
，而
，D 错误.
故选：ABC.
题型10 复数相关的新定义问题
【典例10】（多选）（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：
．若
，且
（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
的模为
C．
D．
在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BCD
【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到
，再对各个选项
逐一分析判断，即可求解.
【详解】设
，由题意知
，
即
，则
，解得
，所以
，
对于选项A，因为
的虚部为1，所以A 错误；
对于选项B，因为
，所以B 正确；
对于选项C，因为
，故C 正确，
对于选项D，因数
在复平面内对应的点
在第二象限，所以D 正确，
故选：BCD.
【变式1】（2024·甘肃兰州·二模）定义运算
，则满足
（为虚数单位）的复
数z 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.
【详解】由题意可得
，
即
，
所以复数z 在复平面内对应的点为
，在第二象限，
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·上海·期末）已知
是
定义在复数集上的
次实系数多项式（
是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数
是
的根，即
，那么
也是
的根，即
；
②
可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题
B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题
D．命题①是假命题，命题②是真命题
【答案】A
【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知
的虚数根成对出现，且互
为共轭复数，即可判断②.
【详解】因为
是
的根，所以
，
所以
，
于是
，
即
，
所以
是
的根，
，故①正确;
由①可知，若虚数
满足
，则
也满足
，
所以
的虚数根成对出现，且互为共轭复数，
所以
可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确.
故选：
.
【变式3】（多选）（23-24 高一下·广西南宁·期中）对任意复数
，
，定义
，其中
是
的共轭复数，对任意复数
，
，
，下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用新定义
和复数的运算性质求解．
【详解】对任意复数
，
，定义
，其中
是
的共轭复数，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，
，故C 错误；
对于D，令
，
，则
，
，
所以
，故D 错误．
故选：AB．
【变式4】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“
维形态复数
”：
，其中
为虚数单位，
，
.
(1)当
时，证明：“2 维形态复数”是“1 维形态复数”的平方；
(2)若“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据“
维形态复数
”的概念，分别把
时的“2 维形态复数”和“1 维形态复数”表
示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明；
（2）由“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得
，结合三角
函数的诱导公式，可求解.
【详解】（1）当
时，
，
设“1 维形态复数”为
，则
，
“2 维形态复数”为
，则
，
因为
，
故“2 维形态复数”是“1 维形态复数”的平方.
（2）因为“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等，
所以
，
因此
，
解
，得
或
，
解
，得
或
，
由于两个方程同时成立，故只能有
，即
.
所以
.
【变式5】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可
将有序复数对
视为一个向量，记作
．类比平面向量的线性运算可以定义复向量
的线性运算；两个复向量
，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的模定义为
．
(1)设
，
，求复向量
与
的模；
(2)已知对任意的实向量
与
，都有
，当且仅当
与
平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量
与
，不等式
仍然成立；
(3)当
时，称复向量
与
平行．设
，
，
，若复向量
与
平行，
求复数z 的值．
【答案】(1)
，
(2)①证明见解析；②证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①实向量
，
，根据条件
，即可得证；
②因为
，由复数的三角不等式
，分别计算即
可得证；
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出
和
的值．
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
的模为
；
因为
，所以
，
可得
的模为
；
（2）①设实向量
，
，
则
，
，
而
，
根据已知
，当且仅当
与
平行时取等号，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
②因为
，所以
，
由复数的三角不等式
，
由
，得
，所以
，
所以
，
综上所知，
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，
复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数
，使得
，
根据题意，若复向量
与
平行，
则
，
根据
中等号成立的条件，
应有
，
则
，
结合
，得
，解得
；
所以
，所以
．
