高考数学基础知识手册_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_高中数学知识点汇编

第一章 集合和命题
1. 集合及其表示法
能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；
集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；
集合常用大写字母A、B、C…表示，集合中的元素用小写字母a、b、c…表示；如果
a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作
aA，读作“a不属于A”；
数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作Ν，不包括零的自然
数组成的集合，记作Ν*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z；全体有理数组成的集合
即有理数集，记作Q；全体实数组成的集合即实数集，记作R；另外正整数集、负整数集、
正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z、Z、Q、Q、R、R；
点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；
规定空集不含元素，记作；
集合的表示方法常用列举法和描述法；
将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；
在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合
中元素所共同具有的特性，即(cid:1)A ={x | x 满足性质(cid:1)p}，这种表示集合的方法叫做描述法2. 集合之间的关系
对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集
合B的子集，记作A B或B A，读作“A包含于B”或“B包含A”；
空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以
若A B，不要遗漏A的情况；
对于一个含有n个元素的集合P，它的子集个数为2n，真子集个数为2n 1，非空子
集个数为2n 1，非空真子集的个数为2n 2；
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；
对于两个集合A和B，如果 A B且B A，那么叫做集合A与集合B相等，记作
A B，读作“集合A等于集合B”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两
个集合相等；
对于两个集合A和B，如果A B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A
 
叫做集合B的真子集，记作A  B或B  A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”；
对于数集N、Z、Q、R来说，有N   Z   Q   R；
3. 集合的运算
一般地，由集合 A和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做 A与B 的交集，记作
AB，读作“A交B”，即AB x xA且xB；
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作
AB，读作“A并B”，即AB x xA或xB；
在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的
集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；
设U 为全集，A是U 的子集，则由U 中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在
 
全集U 中的补集，记作C A，读作“A补”，即C A x xU,xA ；
U U
德摩根定律：C (AB)C AC B；C (AB)C AC B；
U U U U U U
容斥原理：用| A|表示集合A的元素个数，则| AB|| A||B|| AB|；
| ABC|| A||B||C|| AB||BC||CA|| ABC|；4. 命题
可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错
误的命题叫做假命题；
如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作，
读作“推出”，换言之，表示以为条件、为结论的命题是真命题；
如果，并且，那么记作，叫做与等价；
推出关系满足传递性：，，那么；
一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，如果把结论和条件互
相交换，就得到一个新命题“如果，那么”，这个命题叫做原命题的逆命题；
一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个
命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果
把、的否定分别记作、，那么命题“如果，那么”的否命题就是“如果，
那么”；
如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就
可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果，那么”；
如果A、B是两个命题，A B，B A，那么A、B叫做等价命题；
原命题与逆否命题是等价命题；
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合
命题；复合命题有三类： p或q， p且q，非 p；
p q 非 p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假一些常用结论的否定形式：
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有n1个
小于 不小于 至多有n个 至少有n1个
p或q 非 p且非q 对所有x成立 存在某个x不成立
p且q 非 p或非q 对任何x不成立 存在某个x成立
5. 充要条件
一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出也成立，即，
那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；
一般地，用、分别表示两个命题，如果既有，又有，即，
那么既是的充分条件，又是的必要条件，这时我们就说，是的充分必要条件，
简称充要条件；
设具有性质 p的对象组成集合A，具有性质q的对象组成集合B，则
① 若A B，则 p是q的充分条件；

② 若A  B，则 p是q的充分非必要条件；
③ 若A B，则 p是q的必要条件；

④ 若A  B，则 p是q的必要非充分条件；
⑤ 若A B，则 p,q互为充要条件；
等价关系：“ pq ” “ A B ” “ AB A ” “ AB B ”
“C BC A”“AC B”“C ABU ”（注意考虑A的情况）；
U U U U第二章 不等式
1. 不等式的基本性质
性质1 如果ab,bc，那么ac；
性质2 如果ab，那么acbc；
性质3 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc；
性质4 如果ab,cd ，那么acbd ；
性质5 如果ab0,cd 0，那么acbd；
1 1
性质6 如果ab0，那么0  ；
a b
性质7 如果ab0，那么an bn (nN*)；
性质8 如果ab0，那么n a  n b (nN*,n1)；
2. 不等式的解法
（1）一元二次不等式
对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不
等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2 +bx +c >0或 ax2 +bx +c <0（ a ≠0 ）；
一般地，设一元二次不等式为 ax2 +bx +c >0或 ax2 +bx +c <0（ a >0 ），当对应的一元
二 次 方 程 ax2 +bx +c =0 的 根 的 判 别 式 = ∆b2 −4ac >0 时 ， 先 求 出 方程ax2 bxc0的两个实数根x ,x （不妨设x  x ），于是不等式ax2 bxc0的解集
1 2 1 2
为{x|x x 或x x }，不等式ax2 bxc0的解集为{x|x  x x }；
1 2 1 2
不等式的解集经常用区间来表示，设a,b都为实数，并且ab，我们规定：
① 集合{x|a xb}叫做闭区间，表示为[a,b]；
② 集合{x|a xb}叫做开区间，表示为(a,b)；
③ 集合{x|a xb}或{x|a xb}叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)或(a,b]；
④ 实数集R表示为(,)，集合{x|xa}、{x|xa}、{x|xb}和{x|xb}
分别用区间[a)、(a)、(,b]和(,b)表示；a与b也叫做区间的端点，“”
读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”；
前面讨论的是判别式 0的情形，当0时，抛物线y  ax2 bxc (a0)与x轴
没有交点，整个图像都在x轴的上方，于是不等式ax2 bxc0的解集为实数集R，不
等式ax2 bxc0的解集为空集；
b
当 0时，抛物线y  ax2 bxc (a0)与x轴两个交点重合，即x  x  ，
1 2 2a
除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x轴的上方，于是不等式ax2 bxc0的解集
b b
为(, )( ,)，不等式ax2 bxc0的解集为空集；
2a 2a
（2）高次不等式
高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：
① 等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数）
② 把各因式的根标在数轴上；
③ 从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；
如图：(xx )(xx )(xx )0（假设x  x  x ）的解为x[x ,x ][x ,)；
1 2 3 1 2 3 1 2 3
（3）分式不等式
f(x) f(x)
型如 0（或0）或 0（或0）（其中 f(x)、(x)为整式且(x)0）
(x) (x)的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；
f(x) f(x)
0 f(x)(x)0， 0 f(x)(x)0；
(x) (x)
f(x)
0（或0） f(x)(x)0（或0）且(x)0；
(x)
（4）含绝对值不等式
|x|表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离；
所以，不等式|x| a (a0)的解集为(a,a)，类似地，不等式|x| a (a0)的解
集为(,a)(a,)；
解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法：
① 定义法；② 零点分段法；③ 平方法；④ 数形结合法；
绝对值不等式的性质：|a||b||ab||a||b|
（5）无理不等式
只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，
关键是转化为有理不等式；
f(x)  g(x)  f(x)0,g(x)0, f(x) g(x)；
f(x)  g(x) f(x)0,g(x)0, f(x)[g(x)]2或 f(x)0,g(x)0；
（6）指数对数不等式
解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；
① 当a1时，af(x) ag(x)  f(x) g(x)，
log f(x)log g(x) f(x) g(x)0；
a a
② 当0a1时，af(x) ag(x)  f(x) g(x)，
log f(x)log g(x)0 f(x) g(x)
a a
3. 基本不等式
基本不等式1 对任意实数a和b，有a2 b2 2ab，当且仅当ab时等号成立；
ab
基本不等式2 对任意正数a和b，有  ab ，当且仅当ab时等号成立；
2
推论1 若a,b,cR，则a3b3c3 3abc，当且仅当abc时等号成立；
abc
推论2 若a,b,cR，则  3 abc ，当且仅当abc时等号成立；
3
a a …a
推论3 1 2 n  n aa …a ，nN*,a R,1i n；
n 1 2 n ia2 b2 ab 2
均值不等式   ab  ，a,bR；
2 2 1 1

a b
柯西不等式 (a2 b2)(c2 d2)(acbd)2；
注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；
4. 不等式的证明
（1）比较法
要证明ab，只要证明ab0，同样，要证明ab，只要证明ab0，这种证明
不等式的方法叫做比较法；
用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差
的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；
（2）分析法
从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论
转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原
结论成立，这种证明方法叫做分析法；
（3）综合法
从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这
种方法叫做综合法；
（4）放缩法
在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之
和变小（或变大），或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式
的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；
（5）换元法
根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；
（6）判别式法
根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判
别式的取值范围来证明不等式；
（7）分解法
按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单
易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法；
（8）反证法
（9）数学归纳法第三章 函数的基本性质
1. 函数概念与运算
（1）函数概念
在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的
值，按照某个对应法则 f ，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记
作y  f(x)，xD，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，
和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；
求函数定义域时，主要考虑以下因素：
① 分母不为零；② 偶次方根号内大于等于零；③ 真数大于零；④ 实际意义；
求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；
当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的
形式表示出来，通常这个过程叫做建模；
（2）函数的和与积
一般地，已知两个函数y  f(x)(xD )，y  g(x)(xD )，设D  D D ，并且
1 2 1 2
D ，那么当xD时，y  f(x)与y  g(x)都有意义，于是把函数y  f(x)g(x)
(xD)叫做函数y  f(x)与y  g(x)的和；类似于求两个函数的和，我们也可以求两个
函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；
2. 函数的基本性质
（1）奇偶性一般地，如果对于函数y  f(x)的定义域D内的任意实数x，都有 f(x) f(x)，
那么就把函数y  f(x)叫做偶函数；如果函数y  f(x) (xD)是偶函数，那么y  f(x)
的图像关于y轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那
么这个函数必是偶函数；
如果对于函数y  f(x)的定义域D内的任意实数x，都有 f(x)f(x)，那么就把
函数y  f(x)叫做奇函数；如果函数y  f(x) (xD)是奇函数，那么y  f(x)的图像关
于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个
函数必是奇函数；
由上可知，函数定义域D关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件；
奇偶性分类：① 奇函数；② 偶函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 非奇非偶函数；
奇偶性常用性质结论：
① 奇函数y  f(x)在x0处有意义 f(0)0
② 奇函数关于原点对称；偶函数关于y轴对称；
③ 对于多项式函数 f(x)axn bxn1…cx2 dxe；
若 f(x)是奇函数 f(x)偶次项的系数全为零；
若 f(x)是偶函数 f(x)奇次项的系数全为零；
④ y  f(xa)为奇函数 f(xa)f(xa)；
y  f(xa)为偶函数 f(xa) f(xa)；
⑤ y  f(x)为奇函数 f(xa)f(xa)；
y  f(x)为偶函数 f(xa) f(xa)；
⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和；
f(x) f(x) f(x) f(x)
即： f(x)  ；
2 2
复合函数奇偶性：
① 对于 f(g(x))，同奇则奇，有偶则偶；
② 奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；
奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；（2）单调性
一般地，对于给定区间I 上的函数y  f(x)：如果对于属于这个区间I 的自变量的任
意两个值x ,x ，当x  x 时，都有 f(x ) f(x )，那么就说函数y  f(x)在这个区间上
1 2 1 2 1 2
是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值x ,x ，当
1 2
x  x 时，都有 f(x ) f(x )，那么就说函数y  f(x)在这个区间上是单调减函数，简
1 2 1 2
称减函数；
如果函数y  f(x)在某个区间I 上是增（减）函数，那么说函数y  f(x)在区间I 上
是单调函数，区间I 叫做函数y  f(x)的单调区间；
证明单调性步骤：① 在定义域上任取x  x ；② 作差 f(x ) f(x )；③ 变形判断；
1 2 1 2
单调性常用性质结论：
① 在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反；
② 互为反函数的两个函数有相同的单调性
复合函数单调性：
① 对于 f(g(x))，同增异减；
② 增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增＝减；
注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质；
（3）最值
一般地，设函数y  f(x)在x 处的函数值是 f(x )，如果对于定义域内任意x，不等
0 0
式 f(x) f(x )都成立，那么 f(x )叫做函数y  f(x)的最小值，记作y  f(x )；如
0 0 min 0
果对于定义域内任意x，不等式 f(x) f(x )都成立，那么 f(x )叫做函数y  f(x)的最
0 0
大值，记作y  f(x )；
max 0
求函数最值的方法：
① 利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等；
② 配方法：主要用于二次函数求最值；
③ 换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围；
④ 数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）；
⑤ 单调性法：结合函数单调性求最值；
⑥ 不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等；
⑦ 分离常数法：分式函数；
⑧ 判别式法：定义域为R，有二次项的分式方程，
⑨ 转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域；
⑩ 其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等；（4）零点
一般地，对于函数y  f(x) (xD)，如果存在实数c (cD)，当xc时，f(c)0，
那么就把xc叫做函数y  f(x) (xD)的零点；
实际上，函数y  f(x)的零点就是方程 f(x)0的解，也就是函数y  f(x)的图像
与x轴的交点的横坐标；
通过每次把y  f(x)的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼
近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；
零点定理：若 f(m)f(n)0，则方程 f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根；
（5）周期性
一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个常数T (T 0)，使得当x取定义域D内的任
意值时，都有 f(xT) f(x)成立，那么函数 f(x)叫做周期函数，常数T 叫做函数 f(x)
的周期，对于一个周期函数 f(x)来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个
最小正数就叫做函数 f(x)的最小正周期；
周期性的判断：
① f(xa) f(xa)，T 2a； f(xa) f(xb)，T ab；
1 1 f(x)
② f(xa)f(x)， f(xa) ， f(xa) ，T 2a；
f(x) 1 f(x)
1 1
③ f(xa) 或 f(x)1 ，T 3a；
1 f(x) f(xa)
1 f(x) 1 f(x)
④ f(xa) ， f(xa) ，T 4a；
1 f(x) 1 f(x)
⑤ f(x) f(xa) f(x)f(xa)，T 2a；
f(x) f(xa) f(x2a) f(x)f(xa)f(x2a)，T 3a；
f(x) f(xa)… f(xna) f(x) f(xa)…f(xna)，T (n1)a；

n1项
（6）对称性
① 一个函数的对称性
对于函数y  f(x)，若 f(ax) f(ax)或 f(x) f(2ax)恒成立，则函数对称
ab
轴是xa；若 f(ax) f(bx)恒成立，则函数对称轴是x ；
2
若 f(ax) f(ax)0或 f(x) f(2ax)0恒成立，则函数对称中心是(a,0)；
若 f(ax) f(ax)2b，则函数的对称中心是(a,b)；
注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性；② 两个函数的对称性
函数y  f(x)与函数y  f(2ax)的图像关于直线xa对称；
ba
函数y  f(xa)与函数y  f(bx)的图像关于直线x 对称；
2
函数y  f(x)与函数2b y  f(2ax)的图像关于点(a,b)对称；
3. 函数的图像变换
（1）平移变换
① 左加右减
y  f(x)左移a个单位y  f(xa)；y  f(x)右移a个单位y  f(xa)；
② 上加下减
y  f(x)上移b个单位y  f(x)b；y  f(x)下移b个单位y  f(x)b；
（2）伸缩变换
1
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍
① y  f(x)y  f(x) (0)；
② y  f(x)横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍y  Af(x) (A0)；
（3）翻折变换
① y  f(x) y | f(x)|；
函数y  f(x)图像在x轴上方的部分保持不变，将函数y  f(x)图像在x轴下方的部
分对称翻折到x轴上方；
② y  f(x) y  f(|x|)；
保留y  f(x)图像在y轴右边的部分，并将y轴右边的部分沿y轴对称翻折到y轴左
边，替代原有的y轴左边图像；
（4）对称变换
函数y  f(x)与函数y  f(x)的图像关于y轴对称；
函数y  f(x)与函数y f(x)的图像关于x轴对称；
函数y  f(x)与函数y f(x)的图像关于原点对称；
函数y  f(x)与函数y  f(2ax)的图像关于直线xa对称；
ba
函数y  f(xa)与函数y  f(bx)的图像关于直线x 对称；
2
函数y  f(x)与函数2b y  f(2ax)的图像关于点(a,b)对称；第四章 幂函数、指数函数和对数函数
1. 幂函数
一般地，函数y  xk（k为常数，kQ）叫做幂函数；
幂函数y  xk（kQ）的性质：
① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相
交，则交点一定是原点；
② 所有幂函数在(0,)上都有定义，并且图像都经过点(1,1)；
③ 若k 0，幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限内递增；若k 0，幂函
数图像只经过点(1,1)，在第一象限内递减；
注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像2. 指数函数
一般地，函数y ax (a0且a1)叫做指数函数，自变量x叫做指数，a叫做底数，
函数的定义域是R；
指数运算法则：axay axy (a0,x,yR)；
(ax)y axy (a0,x,yR)；
(ab)x axbx (a,b0,xR)；
一般地，指数函数y ax在底数a1及0a1这两种情况下的图像如图所示：
指数函数有下列性质：
性质1 指数函数y ax的函数值恒大于零，定义域为R，值域(0,)；
性质2 指数函数y ax的图像经过点(0,1)；
性质3 函数y ax (a1)在R上递增，函数y ax (0a1)在R上递减；
3. 对数及其运算
一般地，如果a (a0,a1)的b次幂等于N ，即ab  N ，那么b叫做以a为底N 的
对数，记作log N b，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数；
a
根据对数定义，可知：①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数为0，即log 10；
a
③底的对数等于1，即log a 1；④对数恒等式：alog a N  N 成立；
a
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，常用对数log N 简记作lgN ；以无理数
10
e2.71828...为底的对数叫做自然对数，自然对数log N 简记作lnN ；
e
对数运算性质：如果a0,a 1,M 0,N 0，那么：
M
log M log N log (MN)；log M log N log ；log Mn nlog M ；
a a a a a a N a a
log N
对数换底公式：log N  a （其中a0,a 1,b0,b1,N 0）；
b log b
a
常用恒等式：① alog a N  N ；② log aN  N ；③ log blog a1；
a a b
n
④ log blog clog d log d ；⑤ log bn  log b；
a b c a am m a4. 反函数
一般地，对于函数y  f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值
y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y  f(x)，这样得到的x关于y的函数
叫做y  f(x)的反函数，记作x f 1(y)，在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表
示，所以把它改写为y  f 1(x) (xA)；
反函数的判定：
① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数；
② 周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；
反函数的性质：
① 原函数y  f(x)和反函数y  f 1(x)的图像关于直线y  x对称；若点(a,b)在原
函数y  f(x)上，则点(b,a)必在其反函数y  f 1(x)上；
② 函数y  f(x)与y  f 1(x)互为反函数；原函数y  f(x)的定义域是它反函数
y  f 1(x)的值域；原函数y  f(x)的值域是它反函数y  f 1(x)的定义域；
③ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数；
求反函数步骤：
① 用y表示x，即求出x f 1(y)；
② x,y互换，即写出y  f 1(x)；
③ 确定反函数定义域；
1
注意事项：若函数y  f(axb)存在反函数，则其反函数为y  [f 1(x)b]，而不
a
1
是y  f 1(axb)，函数y  f 1(axb)是y  [f(x)b]的反函数；
a
5. 对数函数
一般地，对数函数y log x (a0且a1)就是指数函数y ax (a0且a1)的反
a
函数；因为y ax的值域是(0,)，所以，函数y log x的定义域是(0,)；
a
对数函数y log x (a0且a1)在a1及0a1两种情形下的图像如图所示：
a对数函数y log x (a0且a1)的性质：
a
性质1 对数函数y log x的图像都在y轴的右方，定义域(0,)，值域为R；
a
性质2 对数函数y log x的图像都经过点(1,0)；
a
性质3 对数函数y log x (a1)，当x1时，y 0；当0 x1时，y 0；
a
对数函数y log x (0a1)，当x1时，y 0；当0 x1时，y 0；
a
性质4 对数函数y log x (a1)在(0,)上是增函数，y log x (0a1)
a a
在(0,)上是减函数；
6. 指数对数方程
我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性
质：a  a ，其中a0且a1，将指数方程化为整式方程求解；
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行
检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么
可能产生增解；
解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；
7. 抽象函数
抽象函数的解法：
① 赋值法；如赋值x0、x 1、y x、x y 0等；
x
② 结构变换法；如 f(x ) f[(x x )x ]、 f(x ) f( 1 x )等；
1 1 2 2 1 x 2
2
抽象函数特征 可能对应函数
f(x y) f(x) f(y)或
正比例函数 f(x)cx (c0)
f(xy) x f(y)， f(1)c
f(x y) f(x) f(y)或
指数函数y ax (a0且a1)
f(xy)[f(x)]y， f(0)1
f(xy) f(x) f(y)或
对数函数y log x (a0且a1)
a
f(xy) y f(x)， f(1)0
f(xy) f(x) f(y)， f(1)1 幂函数 f(x) xk第五章 三角比
1. 角的概念与度量
一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向
旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形
成了一个角，这个角叫做零角；
在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x轴的正半轴重合，此
时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角
的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；我们把所有与角有重合终边的角
（包括角本身）的集合表示为{|k360,kZ}；
在平面几何里，我们把周角分成 360 等份，每一份叫做 1 度的角，这种用“度”作为
单位来度量角的单位制叫做角度制；
我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小；
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度；用“弧
度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；
l
如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么比值 就是角的弧度数的绝
r
l
对值，即  ，这里的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；
r180 
弧度制与角度制的换算关系：1弧度 ；1 弧度；在弧度制下，角的集合
 180
与实数集 R 之间建立起一一对应的关系；例如，与角终边相同的角可以表示为
{|2k, kZ}，与角终边共线的角可以表示为{|k,kZ}；
弧长公式：l ||r；
1 1
扇形面积公式：S  ||r2  lr ；
扇形 2 2
 
附表：由的象限判断2、3、 、 的象限：
2 3
 一 二 三 四
2 一、二 三、四 一、二 三、四
3 一、二、三 一、二、四 一、三、四 二、三、四

一、三 一、三 二、四 二、四
2

一、二、三 一、二、四 一、三、四 二、三、四
3
2. 任意角的三角比
在任意角的终边上任取一点P，设P的坐标为(x,y)，OP r，则r  x2  y2
y x y x
(r 0)，我们规定：sin ；cos ；tan ；cot ,k(kZ)；
r r x y
r  r
sec , k (kZ)；csc ,k(kZ)；
x 2 y
根据三角比的定义，各三角比的正负值如下所示：
sin (csc) cos(sec) tan(cot)
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心，以(cid:1)1 为半径的圆为单位圆，把点(cid:1)P(x, y)
看作角 的终边与单位圆的交点，如图，过点(cid:1)P 作(cid:1)x 轴的垂线，垂足为M ，过点(cid:1)A(1,0)
作单位圆的切线，这条切线必然平行于(cid:1)y 轴，设它与角 的终边或其反向延长线相交于点
Ty
于是，cos xOM ，sin y PM ，tan  AT ；所以点P坐标总可以
x
表示成(cos,sin)；我们把PM 、OM 、AT 这三条线段分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，这些线段通称为三角函数线；
由三角函数线得出的常用三角不等式：
① 0|sinx|1，0|cosx|1，1|sinx||cosx| 2 ；

② 若x(0, )，则sinx x tanx；
2
附表：特殊角的三角比
    3
 0 
6 4 3 2 2
1 2 3
sin 0 1 0 1
2 2 2
3 2 1
cos 1 0 1 0
2 2 2
3
tan 0 1 3 不存在 0 不存在
3
3. 同角三角比关系与诱导公式
（1）同角三角比关系
倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1；
sin cos
商数关系：tan (cos0)，cot (sin0)；
cos sin
平方关系：sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2；
利用同角三角比的关系，可以实现“弦”、“切”、“割”之间的互化：
① 切割化弦，“切”通过商数关系化为“弦”，“割”通过倒数关系化为“弦”；
② 弦化切，一般和“齐次式”有关，通过分式上下同时除以cos或cos2得到“切”；
③ 1的代换，通过平方关系，将1代换成所需的三角比；（2）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；
第一组：sin(2k)sin；cos(2k)cos；tan(2k)tan；
第二组：sin()sin；cos()cos；tan()tan；
第三组：sin()sin；cos()cos；tan()tan；
第四组：sin()sin；cos()cos；tan()tan；
  
第五组：sin( )cos；cos( )sin；tan( )cot；
2 2 2
  
第六组：sin( )cos；cos( ) sin；tan( )cot；
2 2 2
4. 三角恒等变换
（1）和与差公式
cos()coscossinsin；cos()coscossinsin；
sin()sincoscossin；sin()sincoscossin；
tantan tantan
tan() ；tan() ；
1tantan 1tantan
（2）辅助角公式：asinbcos a2 b2 sin()，通常取02，
a b b
由cos ，sin （或tan ）确定；
a2 b2 a2 b2 a

常见类型：sincos 2sin( )；
4

3sincos 2sin( )；
6

sin 3cos2sin( )；
3
（3）倍角公式
cos2cos2sin22cos2112sin2；
2tan
sin22sincos；tan2 ；
1tan2
（4）半角公式
 1cos  1cos
sin  ；cos  ；
2 2 2 2
 1cos sin 1cos
tan    ；
2 1cos 1cos sin（5）其他公式及恒等变换
2tan 1tan2 2tan
① 万能公式：sin2 ；cos2 ；tan2 ；
1tan2 1tan2 1tan2
② 三倍角公式：sin33sin4sin3；cos33cos4cos3；
3tantan3
tan3 ；
13tan2
1
③ 积化和差公式：sinAcosB  [sin(AB)sin(AB)]；
2
1
cosAsinB  [sin(AB)sin(AB)]；
2
1
cosAcosB  [cos(AB)cos(AB)]；
2
1
sinAsinB  [cos(AB)cos(AB)]；
2
AB AB
和差化积公式：sinAsinB2sin cos ；
2 2
AB AB
sinAsinB2cos sin ；
2 2
AB AB
cosAcosB2cos cos ；
2 2
AB AB
cosAcosB2sin sin ；
2 2
④ 特殊三角等式：sin()sin()sin2sin2；
cos()cos()cos2sin2cos2sin2；
cottan 2cot2；
 
⑤ 常见公式变形： 1cos 2cos ； 1cos 2sin ；
2 2
1tan 
1sin2(sincos)2；  tan( )；
1tan 4
tantantan()(1tantan)；
   
⑥ 常见角的变换：()；2 ； ( )( )；
2 2 4 4
2()()；2()()；
     
( )( )； ( )( )；
2 2 2 2 2 25. 解三角形
abc
（1）三角形面积公式（其中R是三角形外接圆半径，r是内切圆半径，p ）
2
1 1 1 abc
S  bcsinA acsinB  absinC；S  2R2sinAsinBsinC ；
ABC 2 2 2 ABC 4R
S  pr  p(pa)(pb)(pc) ；
ABC
a b c
（2）正弦定理：   2R，其中R是三角形外接圆半径；
sinA sinB sinB
b2 c2 a2
（3）余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA，即cosA ；
2bc
a2 c2 b2
b2 a2 c2 2accosB，即cosB ；
2ac
a2 b2 c2
c2 a2 b2 2abcosC ，即cosC  ；
2ab
（4）三角形中常见结论
① ab A B sin AsinB；
② sin2Asin2B  A B或AB 90；cos2Acos2B  A B；
③ A,B,C成等差数列 B 60；
④ A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列△ABC为等边三角形；
（5）三角形中的恒等式
① sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC；
AB C AB C AB C
sin cos ，cos sin ，tan cot ；
2 2 2 2 2 2
A B C
② sinAsinBsinC 4cos cos cos ；
2 2 2
A B C
cosAcosBcosC 14sin sin sin ；
2 2 2
③ sin2Asin2Bsin2C 4sin AsinBsinC ；
cos2Acos2Bcos2C 14cosAcosBcosC；
④ sin2 Asin2 Bsin2C 22cosAcosBcosC；
cos2 Acos2 Bcos2C 12cosAcosBcosC；
⑤ tan AtanBtanC  tanAtanBtanC；
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1；
2 2 2 2 2 2第六章 三角函数
1. 正弦函数图像
对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函
数，表示为y sinx，它叫做正弦函数，它的定义域是实数集R；
（1）值域和最值：正弦函数y sinx,xR的值域是[1,1]，y 1，此时x的集
max
 3
合是{x|x2k ,kZ}，y  1，此时x的集合是{x|x2k ,kZ}；
2 min 2
（2）周期性：正弦函数y sinx是周期函数，2k(kZ,k 0)是它的周期，2是
2
y sinx的最小正周期；y  Asin(x)的周期是T  ；
||
（3）奇偶性：y sinx是奇函数；
 
（4）单调性：y sinx在闭区间[2k ,2k ](kZ)上都是增函数；在闭区
2 2
 3
间[2k ,2k ](kZ)上都是减函数；
2 2（5）对称性：正弦函数 y sinx 既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是

xk (kZ)，对称中心(k,0) (kZ)；
2
2. 余弦函数图像
对任意一个实数x都有唯一确定的值cosx与它对应，按照这个对应法则所建立的函
数，表示为y cosx，它叫做余弦函数，它的定义域是实数集R；
（1）值域和最值：余弦函数y cosx,xR的值域是[1,1]，y 1，此时x的集
max
合是{x|x2k,kZ}，y  1，此时x的集合是{x|x2k,kZ}；
min
（2）周期性：余弦函数y cosx是周期函数，2k(kZ,k 0)是它的周期，2是
2
它的最小正周期；y  Acos(x)的周期是T  ；
||
（3）奇偶性：y cosx是偶函数；
（4）单调性：余弦函数y cosx在闭区间[2k,2k](kZ)上是增函数；在闭
区间[2k,2k](kZ)上是减函数；
（5）对称性：余弦函数 y cosx既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是

xk (kZ)；对称中心(k ,0) (kZ)；
2
3. 正切函数图像

对任意一个实数x (x k ,kZ)都有唯一确定的值tanx与它对应，按照这个对
2
应法则所建立的函数，表示为y tanx，叫做正切函数；
（1）值域和最值：由y tanx的定义可以得到它的值域是实数集R，无最值；
（2）周期性：由tan(x)tanx可知正切函数是周期函数，是它的最小正周期；
（3）奇偶性：由tan(x)tanx (x k ,kZ)可知正切函数是奇函数；
2
 
（4）单调性：正切函数y tanx在区间(k ,k ) (kZ)内都是增函数；
2 2
k
（5）对称性：正切函数y tanx是中心对称图形，对称中心是( ,0) (kZ)；
2
4. 函数y  Asin(x)的图像与性质
函数y  Asin(x) (A0,0)中的常数A,,对其图像有如下影响：
正数A决定了函数y  Asin(x)的值域为[A,A]，A叫做该正弦曲线的振幅；
如图，y sinx与y 2sinx的图像对比，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍；
2
正数决定了函数y  Asin(x)的周期，T  ，在单位时间里曲线振动的次数

1  
f   叫做该正弦曲线的频率；y | Asin(x)|的周期为 ；
T 2 
1
如图，y sinx与y sin2x的图像对比，纵坐标不变，横坐标变成原来的 ；
2
决定了y  Asin(x)在x0时所对应的角，也决定了该正弦曲线的左右位置，
我们把叫做初相；
 
如图，y sinx与y sin(x )的图像对比，图像整体往左平移 个单位；
3 3
三角函数的图像变换：
1
横坐标变成原来的
y sinx水平方向平移个单位y sin(x)ysin(x)
左加右减
纵坐标变成原来的A倍y  Asin(x) 垂直方向平移B个单位y  Asin(x)B；
上加下减5. 反三角函数
 
函数y sinx,x[ , ]的反函数叫做反正弦函数，记作 y arcsinx,x[1,1]；
2 2
函数 y cosx,x[0,]的反函数叫做反余弦函数，记作 y arccosx,x[1,1]；函数
 
y  tanx,x( , )的反函数叫做反正切函数，记作y arctanx,x(,)；
2 2
y arcsinx y arccosx y arctanx
   
（1）值域：y arcsinx[ , ]；y arccosx[0,]；y arctanx( , )；
2 2 2 2
（2）奇偶性：y arcsinx与y arctanx为奇函数；y arccosx为非奇非偶函数；
（3）单调性：y arcsinx与y arctanx为增函数；y arccosx为减函数；
（4）对称性：y arcsinx与y arctanx关于原点成中心对称，y arccosx关于点

(0, )成中心对称；
2
由反三角函数的定义有以下恒等式：
 
sin(arcsinx) x (1 x1)；arcsin(sinx) x (  x )；
2 2
cos(arccosx) x (1 x1)；arccos(cosx) x (0 x)；
 
tan(arctanx) x (xR)；arctan(tanx) x (  x )；
2 2
 
arcsinxarccosx (1 x1)；arctanxarccotx (xR)；
2 2
6. 最简三角方程
含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；满足三角方程的所有x的集合叫做三角方
程的解集；在三角方程中，形如sinxa,cosxa,tanx a的方程叫做最简三角方程；
最简三角方程的解集：
（1）sinxa,|a|1的解集为{x|x k(1)k arcsina,kZ}；
（2）cosxa,|a|1的解集为{x|x2karccosa,kZ}；
（3）tanx a的解集为{x|xkarctana,kZ}；第七章 数列与数学归纳法
1. 数列概念
按一定顺序排列起来的一列数叫做数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列的
一般形式可以写成a ,a ,a ,...,a ,...，其中a 是数列的第n项，n是a 的序数，上面的数
1 2 3 n n n
列可以简单记作{a }；
n
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；从第2项起，每一项都
大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递
减数列；各项相等的数列叫做常数列；
若存在正常数M ，使得数列每一项的绝对值都不大于M ，这样的数列叫做有界数列，
否则叫做无界数列；
如果数列{a }的第n项a 与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个
n n
公式就叫做这个数列的通项公式；
如果已知数列{a }的任一项a 与它的前一项a （或前几项）之间的关系可用一个公
n n n1
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式；
一般地，我们称a a a …a 为数列{a }的前n项和，用S 表示；根据数列前
1 2 3 n n n
n项和的定义a  S S (n2)；
n n n12. 等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d 表示；
ab
等差中项：如果A ，那么A叫做a与b的等差中项；如果三个数成等差数列，
2
那么等差中项等于另两项的算术平均数；
等差数列{a }的通项公式：a a (n1)d (nN*)；
n n 1
等差数列{a }的递推公式：a a d (n2)；
n n n1
n(a a ) n(n1)
等差数列{a }的前n项和公式：S  1 n na  d na ；
n n 2 1 2 中
等差数列{a }的性质：
n
① a a (nm)d ；
n m
② 若mn pq，则a a a a ；
m n p q
③ a ，a ，a ，……，成等差数列，公差为md ；
k km k2m
④ S ，S S ，S S ，S S ，……，成等差数列，公差为n2d ；
n 2n n 3n 2n 4n 3n
⑤ 数列{a }成等差数列a  pnq，2a a a ，S  An2 Bn；
n n n n1 n1 n
⑥ 若数列{a }是等差数列，则{ca n}为等比数列，c0；
n
⑦ S 是前n项和，S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，则S  S S ；
n 奇 偶 n 奇 偶
n
当n为偶数时，S S  d ；
偶 奇 2
S n1 S S
当n为奇数时，S S a ， 奇  ， 奇 偶 n；
奇 偶 中 S n1 S S
偶 奇 偶
a S
⑧ 设S 和T 分别表示等差数列{a }、{b }的前n项和，则 n  2n1 ；
n n n n b T
n 2n1
⑨ 若a q，a  p， p q，则a 0，d 1；
p q pq
若S  q，S  p， p q，则S (pq)；
p q pq
若S  S ， p q，则S 0；
p q pq
3. 等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那 么
这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q 表示；
等比中项：如果G2 =ab ，那么G 叫做a 与b 的等比中项；如果三个数成等比数列，
那么等比中项的平方等于另两项的积；等比数列{a }的通项公式：a aqn1 (nN*)；
n n 1
等比数列{a }的递推公式：a a q (n2)；
n n n1
a (1qn) a a q
等比数列{a }的前n项和公式：S  1  1 n (q1)；S na (q1)；
n n 1q 1q n 1
等比数列{a }的性质：
n
① a a qnm；
n m
② 若mn pq，则a a a a ；
m n p q
③ a ，a ，a ，……，成等比数列，公比为qm；
k km k2m
④ S ，S S ，S S ，S S ，……，成等比数列，公比为qn；
n 2n n 3n 2n 4n 3n
⑤ 数列{a }成等比数列a 2 a a ，a  pqn，S  A(qn 1)；
n n n1 n1 n n
⑥ 若数列{a }是等比数列，则{log a }为等差数列，a 0；
n c n n
⑦ S 是前n项和，S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，则S  S S ；
n 奇 偶 n 奇 偶
S S a
当n为偶数时， 偶 q；当n为奇数时， 奇 1 q；
S S
奇 偶
⑧ 设T 是前n项积，T 表示奇数项的积，T 表示偶数项的积，则T T T ；
n 奇 偶 n 奇 偶
T n T
当n为偶数时， 偶 q2；当n为奇数时， 奇 a ；
T T 中
奇 偶
4. 求数列通项方法
（1）公式法：等差数列通项a a (n1)d ，等比数列通项a aqn1；
n 1 n 1
a
（2）累加法（累乘法）：a a  f(n)， n  f(n)，n2；
n n1 a
n1
（3）作差法（作商法）：若S a a a …a ，则a  S S ，n2；
n 1 2 3 n n n n1
T
若T a a a …a ，则a  n ，n2；
n 1 2 3 n n T
n1
（4）构造法：a  Aa B；a  Aa BnC；a  Aa Bn；
n n1 n n1 n n1
a
a  pa q；a  n1 ；a  pa qa ，其他类型；
n1 n n ka b n1 n n1
n1
Ca D
（5）不动点法：适用于分式递推数列a  n (A0)；
n1 Aa B
n
（6）特征根法：适用于a  pa qa r (p0)；
n1 n n1
（7）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明；5. 数列求和方法
n(a a ) n(n1)
（1）求和公式法：等差数列前n项和公式：S  1 n na  d na ；
n 2 1 2 中
a (1qn) a a q
等比数列前n项和公式：S  1  1 n (q1)；
n 1q 1q
1
12 22 32 …n2  n(n1)(2n1)；
6
1
13 23 33 …n3  n2(n1)2；
4
（2）倒序相加法：首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联；
（3）错位相减法：数列通项由等差数列与等比数列相乘构成；
（4）裂项相消法：将数列中的每项进行分解，然后重新组合，达到消项的目的；
1 1 1 1 1 1 1
  ；  (  )；
n(n1) n n1 n(nk) k n nk
1 1 1 1
 [  ]；
n(n1)(n2) 2 n(n1) (n1)(n2)
1 1 1
 n  n1；  ( nk  n)；
n  n1 nk  n k
n 1 1 sin1
  ； tan(n1)tann；
(n1)! n! (n1)! cosncos(n1)
（5）分组求和法：将通项中有共同规律的部分进行分组，分别求和；
（6）数学归纳法：对数列前n项和进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明；
6. 数学归纳法
由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；
数学家通过对正整数的深入研究，找到了一种证明与正整数n有关的数学命题的简单有
效的方法，它的步骤是：
（1）证明当n取第一个值n (n N*,例如n 1或n 2)时，命题成立；
0 0 0 0
（2）假设当n k (kN*,k  n )时命题成立，证明当nk 1时命题也成立；
0
在完成了上面两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从n 开始的所有正整数n都
0
成立，这种证明方法叫做数学归纳法；
在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，进行归纳，形成猜想，
然后再去证明这些猜想正确与否，一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到；数学归纳法的形式
第一数学归纳法：教材上的数学归纳法，称之为第一数学归纳法，是归纳法的基本形式；
第二数学归纳法：① 当n1时，P(n)成立；② 假设当nk (kN*)时，P(k)成
立，由此推出nk 1，P(k 1)也成立，那么命题成立；
跳跃数学归纳法：① 当n1,2,3,…,m时，P(1),P(2),P(3),…,P(m)成立；② 假设
当n k (k m,kN*)时，P(k)成立，由此推出nk m时，P(k m)也成立，那么
对一切正整数，命题成立；
反向数学归纳法：① P(n)对无穷多个正整数n成立；② 假设当nk 1(kN*)时，
命题P(k 1)成立，由此推出n k时P(k)也成立，那么对一切正整数，命题成立；
7. 数列极限
一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a }中的a 无限趋近于一个常数
n n
A，那么A叫做数列{a }的极限，或叫做数列{a }收敛于A，记作lima  A，读作“n
n n n
n
趋向于无穷大时，a 的极限等于A”；
n
1
三个常用极限：①limC C（C为常数）；②lim 0；③当|q|1时，limqn 0；
n nn n
在数列极限的描述中，我们可以用|a  A|是否无限趋近于零来判断a 是否有极限A；
n n
如果lima  A，limb  B，那么
n n
n n
（1）lim(a b )lima limb  AB；
n n n n
n n n
（2）lim(a b )lima limb  AB；
n n n n
n n n
lima
a A
n
（3）lim n  n  (B0)；
nb limb B
n n
n
我们把|q|1的无穷等比数列的前n项和S 当n时的极限叫做无穷等比数列各
n
a
项的和，并用符号S 表示，即S  1 (|q|1)；
1q第八章 平面向量的坐标表示
1. 向量的坐标表示及其运算
在平面直角坐标系内，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位
 
向量，分别记为i 和 j；
  
将向量a的起点置于坐标原点O，作OAa，
 
我们将OA叫做位置向量，平面上任一向量a都有
与它相等的位置向量；
如果点A的坐标为(x,y)，它在x轴、y轴上
  
的投影分别为M,N ，那么由向量加法的平行四边形法则可知OAOM ON ，由向量与
       
实数相乘的意义，OM  xi ，ON  yj，于是OA xi yj，向量OA能表示成两个相互
   
垂直的向量i 、 j分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i 、 j的线性组合，这种
向量的表示方法叫做向量的正交分解；
     
平面上任一向量a都有与它相等的位置向量OA，所以aOA xi y j，它们的系数
 
x、y是与向量a相等的位置向量OA的终点A的坐标，通常我们用有序实数对(x,y)表示
  
向量a，并称(x,y)为向量a的坐标，记作a(x,y)；
有了向量的坐标表示后，向量的运算可转化为其坐标的相应运算；设是一个实数，
 
a(x ,y )，b(x ,y )，则：
1 1 2 2 
ab(x ,y )(x ,y )(x x ,y  y )；
1 1 2 2 1 2 1 2

a(x ,y ) (x ,y )；
1 1 1 1
2. 向量的数量积
 
由两点间距离公式，可求得向量a的模|a| x2  y2 ；
1 1
     
对于两个非零向量a和b，如果以O为起点，作OAa，OBb，那么射线OA,OB
  
的夹角叫做向量a与向量b的夹角，的取值范围是0；当0时，表示向量a
  
与向量b方向相同；当时，表示向量a与向量b方向相反；夹角0或的两
 

个向量是相互平行的，夹角 的两个向量是相互垂直的，记作ab；
2
    
如果两个非零向量a和b的夹角为(0)，那么把|a||b|cos叫做向量a与
           
2
向量b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cos；特别地，aaa ，a00；
     
ab的几何意义：两个向量a和b的数量积是其中的一个向量a的模|a|与另一个向量
  
b在向量a方向上的投影|b|cos的乘积；
向量数量积运算满足下列性质：
      
① aa |a|20，当aa 0时，a0；
   
② abba；
     
③ (a)ba(b)(ab)；
      
④ a(bc)abac；
   
对于用坐标表示的向量a(x ,y )，b(x ,y )，有ab x x  y y ，即两个向量的
1 1 2 2 1 2 1 2
数量积等于它们对应坐标的乘积之和；
   
两个向量a与b垂直的充要条件是ab0，即x x  y y 0；
1 2 1 2
   
两个向量a与b平行的充要条件是ab，即x y x y 0；
1 2 2 1
 
 
ab x x  y y
两个向量a与b的夹角公式cos    1 2 1 2 ；
|a||b| x2  y2  x2  y2
1 1 2 2
3. 平面向量相关公式定理
 
（1）平面向量分解定理：如果e ,e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平
1 2
     
面内的任意向量a ，有且只有一对实数, ，使ae e ；我们把不平行的向量e ,e
1 2 1 1 2 2 1 2
叫做这一平面内所有向量的一组基；（2）三点共线定理：已知平面上A,B,C三点共线，点O在直线外存在实数m,n，
  
使OAmOBnOC，其中mn1；
（3）定比分点公式：已知平面上两点 P(x ,y )、 P(x ,y ) ，存在 P 点，满足
1 1 1 2 2 2
 
x x y y
PP PP ，则P点坐标为( 1 2 , 1 2)；
1 2 1 1
x x y  y
中点坐标公式：平面上两点P(x ,y )、P(x ,y )的中点坐标为( 1 2 , 1 2)；
1 1 1 2 2 2 2 2
x x x y  y  y
以A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )为顶点的三角形重心为( 1 2 3 , 1 2 3)；
1 1 2 2 3 3 3 2
（4）三角形四心与向量
设O为△ABC所在平面上的一点，角A,B,C所对的边分别为a,b,c；
  
① |OA||OB||OC| O为△ABC外心；
     
② (OAOB)AB(OBOC)BC 0 O为△ABC外心；
   
③ OAOBOC 0 O为△ABC重心；
     
④ OAOBOBOC OCOA O为△ABC垂心；
   
⑤ aOAbOBcOC 0 O为△ABC内心；
   
 
AC AB BC BA
⑥ OA(    )OB(    )0 O为△ABC内心；
| AC| | AB| |BC| |BA|
设P为△ABC所在平面上的一动点，实数[0,)；
  
① AP (AB AC)动点P的轨迹经过△ABC重心；
 

AB AC
② AP (    )动点P的轨迹经过△ABC重心；
| AB|sinB | AC|sinC
 

AB AC
③ AP (    )动点P的轨迹经过△ABC内心；
| AB| | AC|
 

AB AC
④ AP (    )动点P的轨迹经过△ABC垂心；
| AB|cosB | AC|cosC
   

OBOC AB AC
⑤ OP (    ) P的轨迹经过△ABC外心；
2 | AB|cosB | AC|cosC第九章 矩阵与行列式初步
1. 矩阵
（1）矩阵的定义
我们把矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；
axby e a b
对于二元一次方程组 ，矩阵
 
叫做方程组的系数矩阵，它是2行2
cxdy  f c d
 a b e 
列的矩阵，可记作A ；矩阵
 
叫做方程组的增广矩阵，它是2行3列的矩阵，
22 c d f 
可记作A ；1行2列的矩阵(a b)、(c d)叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩
23
a b
阵 、 叫做系数矩阵的两个列向量；
   
c d
a b
当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵，如
 
是2阶方矩阵；
c d
1 0
我们把主对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵叫做单位矩阵，如
 
；
0 1
元素全为零的矩阵称为零矩阵；
我们把m行n列矩阵的第i行第 j列的元素用圆括号括起来表示矩阵，为A(a )；
ij
若A(a )、B (b )是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它
ij ij
们对应位置的元素都相等时，即a b ，称两矩阵相等，记作A B；
ij ij（2）矩阵的变换
解方程的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程；
矩阵变换有下列三种：
① 互换矩阵的两行；
② 把某一行同乘以一个非零的数；
③ 某一行乘以一个数加到另一行；
若对矩阵A实行有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A~ B，经
初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵不能用等号联结，它们是不相等的；
（3）矩阵的运算
① 矩阵的加减法及运算性质
若A(a ) ，B (b ) 都是m行n列矩阵，则矩阵C (c ) (a b ) 叫
ij mn ij mn ij mn ij ij mn
做矩阵A与B的和，记作C  AB；求矩阵和的运算叫做矩阵的加法；
矩阵的加法运算性质：
交换律 AB  B A
结合律 A(BC)(AB)C
我们把A(B)记为AB，叫做两矩阵A与B的差；求矩阵差的运算叫做矩阵的减
法；矩阵的加法和矩阵的减法只有在两矩阵的行数、列数都相同时才可以进行，两矩阵相加
减归结为其对应元素相加减；
② 数乘矩阵及其运算性质
以实数k乘矩阵A(a ) 的每个元素所得的矩阵(ka ) 叫做实数k与矩阵A的乘
ij mn ij mn
积，记作kA；求数乘矩阵的运算叫做数与矩阵的乘法；
数与矩阵的乘法运算性质：
(kl)AkAlA；k(AB)kAkB；k(lA)(kl)A；
③ 矩阵的乘法
a a  b b  c c 
设A 11 12 ，B  11 12 ，C  11 12 ，如果它们元素间的关系可以用
a a b b c c
     
21 22 21 22 21 22
下列等式表示：c a b a b (i 1,2; j 1,2)，那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，
ij i1 1j i2 2j
记作C  AB；
由上面的定义可知，c 是A的第i行的行向量与B的第 j列的列向量的数量积，这个
ij
定义可以推广到任意n行k列的矩阵与k行m列的矩阵的乘积(m,n,kN*)；
由此定义可知，只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵乘积AB才有意义；2. 行列式
（1）二阶行列式
a b a b
我们用记号 1 1 表示算式ab a b ，即 1 1 ab a b ；该记号叫做行列式，
a b 1 2 2 1 a b 1 2 2 1
2 2 2 2
并且因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式，算式ab a b 叫做行列式的展开式，
1 2 2 1
其计算结果叫做行列式的值，a ,a ,b,b 都叫做行列式的元素；
1 2 1 2
如上图，我们把用实线表示的对角线称之为主对角线，用虚线表示的对角线称之为副对
角线；不难发现，二阶行列式的值等于主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素乘积；
这种展开二阶行列式的方法叫做二阶行列式展开的对角线法则；
a xb y c
设二元一次方程组 1 1 1 ，当ab a b 0时，方程组有唯一解：
a xb y c 1 2 2 1

2 2 2
 cb c b  D
  x a 1 b 2 a 2 b 1 a b c b a c   x D x
 1 2 2 1 ，令D  1 1 ，D  1 1 ，D  1 1 ，即 ；
ac a c a b x c b y a c D
 y  1 2 2 1 2 2 2 2 2 2  y  y
  ab a b  D
1 2 2 1
其中行列式D叫做方程组的系数行列式；
a xb y c a b c b a c
对于二元一次方程组 1 1 1 ，令D  1 1 ，D  1 1 ，D  1 1 ；
a xb y c a b x c b y a c

2 2 2 2 2 2 2 2 2
D D
①当D 0时，方程组有唯一解x x ，y  y ；
D D
②当D 0且D ,D 中至少有一个不为零，方程组无解；
x y
③当D  D  D 0，方程组无穷多解；
x y
D 0是方程组有唯一解的充分必要条件，D叫做方程组解的判别式；
（2）三阶行列式
a b c
1 1 1
我们用记号 a b c 表示算式ab c a bc a bc a b c a bc abc ；该
2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
a b c
3 3 3
记号叫做三阶行列式，算式ab c a bc a bc a b c a bc abc 叫做三阶行列式
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
的展开式，a,b,c (i1,2,3)都叫做行列式的元素；
i i i① 三阶行列式按对角线展开；
如上图，三阶行列式展开后的值为(ab c a bc a bc )(a b c a bc abc )，
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
等于每一条主对角线上的元素乘积的和减去每一条副对角线上的元素乘积的和，这种方法叫
做三阶行列式展开的对角线法则；
② 三阶行列式按一行（或一列）展开；
a b c
1 1 1 b c a c a b b c a c a b
a b c a 2 2 b 2 2 c 2 2 ，其中 2 2 、 2 2 、 2 2 分
2 2 2 1 b c 1 a c 1 a b b c a c a b
a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
别叫做元素a ,b,c 的余子式，即把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素
1 1 1
按原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；
b c a c a b
把余子式添上相应的符号，如A  2 2 、B  2 2 、C  2 2 分别叫做元
1 b c 1 a c 1 a b
3 3 3 3 3 3
素a ,b,c 的代数余子式；
1 1 1
一个元素a 的代数余子式的符号决定于这个元素在行列式中的位置，如果下标之和i j
ij
是偶数，代数余子式取正号，如果i j是奇数，代数余子式取负号；
三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余
子式的乘积之和；
三阶行列式的某一行（或列）的各元素分别和另一行（或列）对应元素的代数余子式的
乘积的和等于零；
a xb yc z d a b c d b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

对于三元一次方程组a xb yc z d ，设D  a b c ，D  d b c ，
2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2

a xb yc z d a b c d b c

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a d c a b d
1 1 1 1 1 1
D  a d c ，D  a b d ，D叫做方程组解的判别式；
y 2 2 2 z 2 2 2
a d c a b d
3 3 3 3 3 3
D D D
①当D 0时，方程组有唯一解x x ，y  y ，z  z ；
D D D
②当D 0且D ,D ,D 中至少有一个不为零，则方程组无解；
x y z
③当D  D  D  D 0，方程组有无穷多解；
x y z（3）行列式的相关性质结论
性质1 把行列式的某一行的所有元素乘以一个实数k，等于用k乘以这个行列式；
推论1 行列式中某一行所有元素的公因数可以提到行列式记号的外边；
推论2 如果行列式中某一行的元素全为零，那么这个行列式的值为零；
性质2 交换行列式的任意两行，行列式的值变成原来的相反数；
推论3 如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为零；
推论4 如果行列式的某两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为零；
性质3 如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各
取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；
性质4 把行列式的某一行所有元素乘以同一个数，加到另一行的各个对应元素上，行
列式的值不变；
性质5 行列式与它的转置行列式相等；
由性质5可知，前面的性质及推论中，将“行”换成“列”，结果同样成立；
三角形面积公式：
如果△ ABC的三个顶点A,B,C 的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )，那么△
1 1 2 2 3 3
x y 1 x y 1
1 1 1 1
1
ABC的面积S  x y 1 ；特别地， x y 1=0 直角坐标平面上的三点
ABC 2 2 2 2 2
x y 1 x y 1
3 3 3 3
A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )共线；
1 1 2 2 3 3
第十章 算法初步
1. 算法概念
一般地，对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施
这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法；算法是由一些操作步骤组成的有序系列，这个系列具有以下特点：
① 操作步骤数必须是有限的，必须在有限步骤后获得结论；
② 每一步操作都有确定的意义；
③ 每一步操作都是可行的（或由基本的可行的操作组成）；
④ 每个算法必须有已知信息的输入和运算结果的输出；
顺序结构、条件结构和循环结构是算法中最常用的语句结构；
顺序结构：算法各步骤的前后顺序一般不能交换，否则会产生不一样的效果；
条件结构：如果条件成立，那么执行指令A，如果条件不成立，那么执行指令B；
循环结构：重复执行同样指令；其中变量i的数值决定了循环的“继续”还是“结束”，
故称i为循环变量，称重复执行的指令组为循环体；
2. 程序框图
为了使算法的表述更简练，结构更清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的图来
表示算法，这种图叫做算法的程序框图；在程序框图中常用的框如表所示：
程序框 名称 功能
表示算法的开始和结束，一个算法
起止框
只有一个开始，至少有一个结束
输入、输出框 表示数据的输入和输出
表示算法中的赋值、计算等指令，一
处理（执行）框
个处理框只有一个入口、一个出口
判断框内是一个条件，它有一个入口
判断框
和两个出口（分别标“是”和“否”）
顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图：
顺序结构 条件结构 循环结构
有了顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图，我们就可以比较完整地构建算法的程
序框图，一般来说，一个完整的程序框图应该包含起始框、结束框、输入输出框；第十一章 坐标平面上的直线
1. 直线倾斜角和斜率
设直线l与x轴相交于点M ，将x轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l重合时所成

的最小正角叫做直线l的倾斜角；倾斜角的范围是[0,)；当 时，把的正切值
2

k  tan叫做直线l的斜率；当 时，直线的斜率k不存在；
2

一般地，如果直线l经过P(x ,y )和P(x ,y )，其中x  x ，那么PP 是直线l的一
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
y y
个方向向量，直线l的斜率k  2 1 ；
x x
2 1
从图像上观察，直线越陡，斜率的绝对值越大；
2. 直线方程
直线l的点方向式方程：我们把与直线l平行的向量叫做直线l的方向向量；如果直线l

xx y y
经过点(x ,y )，方向向量d (u,v)，那么直线l的方程可写作 0  0 ；
0 0 u v
直线l的点法向式方程：我们把与直线l垂直的向量叫做直线l的法向量；如果直线l经

过点(x ,y )，法向量n(a,b)，那么直线l的方程可写作a(xx )b(y y )0；
0 0 0 0
直线l的点斜式方程：如果直线l经过点(x ,y )，斜率为k，那么直线l的方程可写作
0 0
y y k(xx )；
0 0直线l的斜截式方程：如果直线l经过y轴上的点(0,b)，且斜率为k，那么直线l的方
程可写作y kxb；
直线l的截距式方程：如果直线l与x轴和y轴分别交于点(a,0)、(0,b) (ab0)，a、
x y
b分别叫做直线l在坐标轴上的横截距和纵截距，那么直线l的方程可写作  1；
a b

直线l的一般式方程：axbyc0（a,b不同时为零），n(a,b)是直线l的一个法

向量，d (b,a)是直线l的一个方向向量；
 
直线方程 方向向量d 法向量n 斜率k
xx y y v
0  0 (u,v) (v,u)
u v u
a
a(xx )b(y y )0 (b,a) (a,b) 
0 0
b
y y k(xx ) (1,k) (k,1) k
0 0
y kxb (1,k) (k,1) k
x y b
 1 (a,b) (b,a) 
a b a
a
axbyc0 (b,a) (a,b) 
b
3. 两条直线的位置关系
设直角坐标平面上两条直线方程分别为l :a xb yc 0和l :a xb yc 0，
1 1 1 1 2 2 2 2
如果直线l ,l 的公共点是P(x,y)，那么点P的坐标必是两条直线方程构成的二元一次方程
1 2
a xb yc 0
组 1 1 1 的解；方程组解的个数即对应两条直线的位置情况；
a xb yc 0

2 2 2
a b c b a c
方程组系数构成的行列式的值：D  1 1 ，D  1 1 ，D  1 1 ；
a b x c b y a c
2 2 2 2 2 2
D D
当D 0，即ab  a b 时，方程组有唯一解，两直线相交于一点( x , y)；
1 2 2 1 D D
当D 0且D 0或D 0时，方程组无解，两直线没有公共点，即平行；
x y
当D  D  D 0时，方程组有无穷多解，即两直线重合；
x y
具体应用中，当直线方程形式为一般式时，即两条直线分别为l :a xb yc 0和
1 1 1 1
l :a xb yc 0，可以用以下形式判断直线的位置关系：
2 2 2 2a b
① 当 1  1 时，两直线相交；特殊地，当aa bb 0时，两直线垂直；
a b 1 2 1 2
2 2
a b c
② 当 1  1  1 时，两直线平行；
a b c
2 2 2
a b c
③ 当 1  1  1 时，两直线重合；
a b c
2 2 2
当直线方程形式为斜截式时，即两条直线分别为l :y k xb 和l : y k xb ，可
1 1 1 2 2 2
以用以下形式判断直线的位置关系：
① 当k  k 时，两直线相交；特殊地，当k k 1时，两直线垂直；
1 2 1 2
② 当k k 且b b 时，两直线平行；
1 2 1 2
③ 当k k 且b b 时，两直线重合；
1 2 1 2
我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角；如果两条直线平行
或重合，我们规定它们的夹角为零；
如果已知两条直线的方程分别为l :a xb yc 0和l :a xb yc 0，它们的
1 1 1 1 2 2 2 2
 
方向向量分别取d (b,a )和d (b ,a )，由两向量的夹角计算公式，可得两条直线
1 1 1 2 2 2
 
|d d | |aa bb | ab a b
的夹角公式为cos 1 2  1 2 1 2 ；tan 1 2 2 1 ；
|d ||d | a2 b2 a 2 b 2 aa bb
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
如果已知两条直线的方程分别为l :y k xb 和l : y k xb ，根据倾斜角的定
1 1 1 2 2 2
|k k |
义，可得两条直线的夹角公式为tan 1 2 ；
|1k k |
1 2
当l 与l 相互垂直时，aa bb 0，k k 1；
1 2 1 2 1 2 1 2
4. 点到直线的距离
|ax by c|
点P(x ,y )到直线l:axbyc0的距离公式：d  0 0 ；
0 0
a2 b2
两平行线间距离公式：设两条平行直线为l :axbyc 0和l :axbyc 0，
1 1 2 2
|c c |
c  c ，它们之间的距离d  1 2 ；
1 2
a2 b2
ax by c
已知点P(x ,y )和直线l:axbyc0（a,b不同时为零）， 0 0 的符
0 0
a2 b2
号确定了点P 关于直线l 的相对位置，在直线同侧的所有点， 的符号是相同的，在直线
异 侧的点， 的符号是相反的；5. 与直线相关的几类问题
（1）常用直线系
① 定点直线系方程：经过定点P(x ,y )的直线系方程为y y k(xx )，其中k是
0 0 0 0 0
待定系数；或者a(xx )b(y y )0，其中a,b是待定系数；
0 0
② 共点直线系方程：经过两直线l :a xb yc 0和l :a xb yc 0的交点
1 1 1 1 2 2 2 2
的直线系方程为(a xb yc )(a xb yc )0，其中是待定系数；
1 1 1 2 2 2
③ 平行直线系方程：与直线y kxb平行的直线系方程为y kxc，其中c是待定
系数，与直线axbyc0平行的直线系方程为axby0，其中是待定系数；
④ 垂直直线系方程：与直线axbyc0垂直的直线系方程为bxay0，其
中是待定系数；
（2）对称问题
① 点关于点对称：若A、B两点关于点(x ,y )对称，则A(x,y)的对称点B的坐标
0 0
为(2x x,2y  y)；
0 0
② 点关于直线对称：若A、B两点关于直线l:axbyc0对称，则A(x,y)的对
2a(axbyc) 2b(axbyc)
称点B的坐标为(x ,y )；
a2 b2 a2 b2
③ 直线关于点对称：若l、l两直线关于点(x ,y )对称，则直线l:axbyc0的
0 0
对称直线l的方程为a(2x x)b(2y  y)c0；
0 0
④ 直线关于直线对称：若l 、l 两直线关于直线l:axbyc0对称，则l :a xb y
1 2 1 1 1
2a(axbyc) 2b(axbyc)
c 0的对称直线l 的方程为a[x ]b[y ]c 0；
1 2 1 a2 b2 1 a2 b2 1
（3）距离最值问题
① 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小；
② 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大；第十二章 圆锥曲线
1. 曲线和方程
（1）曲线和方程的概念
借助于平面坐标系用代数方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何；
一般地，如果曲线C与方程F(x,y)0之间有以下两个关系：
① 曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)0的解；
② 以方程F(x,y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点；
此时，把方程F(x,y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y)0的曲线；
平面解析几何研究的两个基本问题是：
① 根据条件，求出表示平面曲线的方程；
② 通过方程，研究平面曲线的方程；
如果曲线C ,C 的方程分别为F(x,y)0和F (x,y)0，那么曲线C ,C 的交点坐标
1 2 1 2 1 2
F(x,y)0
即方程组 1 的解，方程组解的情况即曲线C ,C 的相交情况；
F (x,y)0 1 2

2
如果曲线C ,C 的方程分别为F(x,y)0和F (x,y)0，那么过曲线C ,C 的交点的
1 2 1 2 1 2
曲线系方程C是F(x,y)F (x,y)0；
1 2（2）求曲线方程常用方法：
① 直接法；② 定义法；③ 代入法；④ 消参法；⑤ 交轨法；⑥ 其他法；
2. 圆的方程
（1）圆的方程形式
圆的标准方程：(xa)2 (yb)2 r2，表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆；
D E D2 E2 4F
圆的一般方程：x2  y2 DxEyF 0，即(x )2 (y )2  ；
2 2 4
x arcos
圆的参数方程： ，表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆；
y brsin
圆的直径式方程：(xx )(xx )(y y )(y y )0，其中A(x ,y )、B(x ,y )分
1 2 1 2 1 1 2 2
别为直径的两个端点；
（2）点和圆的位置关系
对于点P(x ,y )和圆(xa)2 (yb)2 r2，有：
0 0
(x a)2 (y b)2 r2 点在圆外；
0 0
(x a)2 (y b)2 r2 点在圆上；
0 0
(x a)2 (y b)2 r2 点在圆内；
0 0
（3）直线和圆的位置关系
判定圆(xx )2 (y y )2 r2和直线axbyc0位置关系的方法有两种：
0 0
① 比较圆心(x ,y )到直线axbyc0的距离d 和圆半径r的大小；
0 0
d r 相交；d r 相切；d r 相离；
axbyc0
② 联立方程组 ，得到关于x的二次方程Ax2BxC 0，
(xx )2 (y y )2 r2

0 0
考察根的判别式；
 0相交； 0相切；0相离；
（4）圆和圆的位置关系
若圆O 的半径是r ，圆O 的半径是r ，则：
1 1 2 2
OO r r 两圆外离； OO r r 两圆外切；
1 2 1 2 1 2 1 2
r r  OO  r r 两圆相交；
1 2 1 2 1 2
OO  r r 两圆内切； OO  r r 两圆内含；
1 2 1 2 1 2 1 2（5）与圆相关的公式
切线公式一：对于圆(xa)2 (yb)2 r2，若直线和圆的切点为(x ,y )，则切线方
0 0
程为(xa)(x a)(yb)(y b)r2；若点(x ,y )在圆外，则方程(xa)(x a)
0 0 0 0 0
(yb)(y b)r2表示过两个切点的切点弦方程；
0
切线公式二：对于圆x2  y2 r2，斜率为k的切线方程为y kxr k2 1；
两圆公共弦公式：若两圆C :x2  y2 DxE yF 0和C :x2  y2 D xE y
1 1 1 1 2 2 2
F 0相交，则它们公共弦的方程为(D D )x(E E )y(F F )0；
2 1 2 1 2 1 2
3. 椭圆方程
我们把平面内到两个定点F,F 的距离和等于常数2a (2a  FF )的点的轨迹叫做椭
1 2 1 2
圆；这两个定点F,F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离 FF 叫做焦距；
1 2 1 2
x2 y2 y2 x2
椭圆的标准方程：  1(ab0)或  1(ab0)，如图所示；其
a2 b2 a2 b2
中a,b,c之间的关系c2 a2 b2；
x2 y2
从椭圆的标准方程  1(ab0)中，我们可以得到下列性质和结论：
a2 b2
① 对称性：椭圆既是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中
心的中心对称图形；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心；
② 顶点：(a,0)和(0,b)，这四个点叫做椭圆的顶点；若ab0，2a表示椭圆
长轴的长，2b表示椭圆短轴的长，椭圆的两个焦点都在它的长轴上；
③ 范围：a xa，b yb；
a2
④ 准线：准线方程x ；
c
c
⑤ 离心率：e ；0e1；
a
⑥ 焦半径公式：r aex ；
0
⑦ 焦点三角形面积公式：S b2 tan ；
2
x x y y
⑧ 切线方程：若(x ,y )为切点，则切线方程为 0  0 1；
0 0 a2 b2
xacos
⑨ 参数方程： ，[0,2)；
y bsin
4. 双曲线方程
我们把平面内到两个定点F,F 的距离之差的绝对值等于常数2a (2a FF )的点的
1 2 1 2
轨迹叫做双曲线；这两个定点F,F 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 FF 叫做焦距；
1 2 1 2
x2 y2 y2 x2
双曲线的标准方程：  1或  1(a0,b0)，如图所示；其中，a,b,c
a2 b2 a2 b2
之间的关系满足c2 a2 b2；
x2 y2 x2 y2
双曲线  1与双曲线  1有共同的渐近线，它们互为共轭双曲线；
a2 b2 a2 b2
x2 y2
从双曲线的标准方程  1(a0,b0)中，我们可以得到下列性质和结论：
a2 b2
① 对称性：双曲线既是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称
中心的中心对称图形；双曲线的对称中心叫做双曲线的中心；
② 顶点：(a,0)和(0,b)，这四个点叫做双曲线的顶点；2a表示双曲线实轴的长，
2b表示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线上；
③ 范围：xa或xa，yR；
b
④ 渐近线：y   x；
a
a2
⑤ 准线：准线方程x ；
c
c
⑥ 离心率：e ；e1；
a⑦ 焦半径公式：r e x a；
0

⑧ 焦点三角形面积公式：S b2cot
2
x x y y
⑨ 切线方程：若(x ,y )为切点，则切线方程为 0  0 1；
0 0 a2 b2
xasec
⑩ 参数方程： ，[0,2)；
y btan
5. 抛物线方程
平面上与一个定点F 和一条定直线l（F 不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线；
抛物线的标准方程：y2 2px，y2 2px，x2 2py，x2 2py (p0)；
从抛物线的标准方程y2 2px (p0)中，我们可以得到下列性质和结论：
① 对称性：关于x轴对称；
② 顶点：原点(0,0)；
③ 范围：x0，yR；
p
④ 准线：x  ；
2
⑤ 离心率：e1；
p
⑥ 焦半径公式：r  x 
0 2
⑦ 切线方程：若(x ,y )为切点，则切线方程为y y  p(xx )
0 0 0 0
x2pt2
⑧ 参数方程： ,(tR)；
y 2pt
6. 圆锥曲线综合应用
（1）弦中点问题：点差法
与弦的中点有关的问题，主要有三种类型：
① 平行弦的中点轨迹；② 过定点的弦中点轨迹；
③ 过定点且被定点平分的弦所在的直线方程；
弦中点问题的常见结论：
x2 y2
① 若直线l: y k xm与椭圆  1相交于A,B两点，A,B的中点为P，连
1 a2 b2
b2
结OP，设OP的斜率为k ，则kk  ；
2 1 2 a2
x2 y2
② 若直线l: y k xm与双曲线  1相交于A,B两点，A,B的中点为P，
1 a2 b2
b2
连结OP，设OP的斜率为k ，则kk  ；
2 1 2 a2
注意：斜率不存在的情况要单独考虑；
（2）抛物线焦点弦性质
① AM BM，AF  BF，MF  AB；
p2   3
② x x  ，y y p2；OAOB  p2；
1 2 4 1 2 4
③ A，O，B共线，A，O，B共线；
p p 1 1 2
④ AF  ，BF  ，   ，
1cos 1cos AF BF p
2p p2
AB  x  x  p ；S 
1 2 sin2 AOB 2sin
（3）韦达定理的应用：联立方程，韦达定理
b c
韦达定理：x x  ，x x  ；
1 2 a 1 2 a
弦长公式： AB  1k2 x x  1k2 (x  x )2 4x x ；
1 2 1 2 1 2
1 1
AB  1 y  y  1 (y  y )24y y ；
k2 1 2 k2 1 2 1 2
（4）数形结合思想第十三章 复数
1. 复数的概念
为解决负数的开方问题，引入虚数单位i，规定i2 1，即i是1的一个平方根；
我们把形如abi (a,bR)的数叫做复数，复数全体所组成的集合叫做复数集，用字
母C表示；单个复数常常用字母z表示，即z abi (a,bR)，该形式叫做复数的代数
形式，其中a与b分别叫做复数z abi的实部与虚部，记作Rez 和Imz；
当b0时，复数z abi a是实数；当b0时，复数z叫做虚数；当a0且b0
时，复数z abibi叫做纯虚数；实数集R是复数集C的真子集；
实数 (b0)

复数 (zabi,a,bR) 纯虚数 (a0,b0)

虚数
  非纯虚数的虚数 (a0,b0)
如果两个复数z abi (a,bR)和z cdi (c,dR)的实部与虚部分别相等，
1 2
即ac且bd ，那么这两个复数相等，记作abi cdi；
如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那
么这两个复数只有相等和不相等两种关系，而不能比较大小；
2. 复数的坐标形式
一个复数z abi (a,bR)对应了一个有序实数对(a,b)；而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系内的点Z(a,b)是一一对应的，因此可以用平面直角坐标系内的点Z(a,b)来表
示复数z abi，也可以用复数z abi来描述平面直角坐标系内的点Z(a,b)；
建立直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在这里x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0；
复数集中的元素和复平面上所有的点是一一对应的；
复数集中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的（实数 0 与零向量对

应）；我们把复数z abi看作点Z(a,b)或看作向量OZ (a,b)；
复数z abi所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离叫做复数z的模（或绝对值），记
作|z|，由模的定义可知|z||abi| a2 b2 ；
复数的模的概念是实数的绝对值的概念的延伸；复数z abi的模与表示z abi

的向量OZ 的模是一致的，所以复数的模也可以说成是其对应向量的模；
3. 复数的运算
（1）复数的加减法
设复数z abi (a,bR)，z cdi (c,dR)，则复数的加法：
1 2
z z (abi)(cdi)(ac)(bd)i；两个复数的和依然是一个复数，它的
1 2
实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个复数虚部的和；
复数的加法满足交换律和结合律，即z z  z z ，(z z )z  z (z z )；
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
形如abi和abi这样实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称
这两个复数互相共轭，共轭复数用z 表示，即当z abi时，z abi；
由复数模的定义，可知互相共轭的两个复数的模相等，即|z||z |；
设复数z abi (a,bR)，z cdi (c,dR)，则复数的减法：
1 2
z z (abi)(cdi)(ac)(bd)i；两个复数的差依然是一个复数，它的
1 2
实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个复数虚部的差；
设复数z abi、z cdi分别对应复平面上的点Z (a,b)、Z (c,d)，则
1 2 1 2
|z z ||(ac)(bd)i| (ac)2 (bd)2 ；
1 2

由此可见，|z z |表示两点Z ,Z 之间的距离，|z z |也等于向量Z Z 的模；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）复数的乘除法
设复数z abi (a,bR)，z cdi (c,dR)，则复数的乘法：
1 2
z z (abi)(cdi)(acbd)(bcad)i；两个复数的乘积依然是一个复数，
1 2
复数的乘法与多项式的乘法相类似；特殊地，(cid:1)z ⋅z =| z |2
；复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对于任何复数z ,z ,z ，有：
1 2 3
z z  z z ，(z z )z  z (z z )，z (z z ) z z z z ；
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
设复数z abi (a,bR)，z cdi (c,dR)，则复数的除法：
1 2
z abi acbd bcad
1    i；
z cdi c2 d2 c2 d2
2
要求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先分别计算这几个复数的模，然后把各个
z |z |
复数的模相乘或相除；即|z z ||z ||z |，| 1 | 1 ，|zn ||z|n；
1 2 1 2 z |z |
2 2
z z
共轭复数的运算性质：z z  z z ，z z  z z ，( 1) 1 ，zn (z)n；
1 2 1 2 1 2 1 2 z z
2 2
（3）复数的乘方与开方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘，对任何复数z,z ,z 及正整数m,n，满足：
1 2
zmzn  zmn，(zm)n  zmn，(z z )n  z nz n；
1 2 1 2
一般地，对nN，满足：i4n 1，i4n1 i，i4n2 1，i4n3 i；
如果复数abi (a,bR)和cdi (c,dR)满足：(abi)2 cdi；则称abi是
cdi的一个平方根；因为(i)2 1，即i是1的平方根；
类似地，若复数z ,z 满足z3  z ，则称z 是z 的立方根；
1 2 1 2 1 2
1 3 1 3 1 3
1的立方根有三个，分别是1，  i，  i；设  i，则满足
2 2 2 2 2 2
1 3
||1，3 1，2 10；同理，1的立方根也有三个，分别是1，  i，
2 2
1 3 1 3
 i；设  i，则满足||1，3 1，2 10；
2 2 2 2
4. 实系数一元二次方程
设一元二次方程ax2 bxc0 (a,b,cR且a0)；
b b2 4ac
当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根x ；
2a
b
当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根x ；
2a
b 4acb2i
当b2 4ac0时，方程有两个不相等的共轭虚根x ；
2a
b c
韦达定理同样适用于0的情况：x x  ，x x  ；
1 2 a 1 2 a
对于实系数一元n次方程a xn a xn1…a x2 a xa 0，有：
n n1 2 1 0① 如果虚数z是方程的根，那么z 也是方程的根；
② 方程在复数集中一定有n个根x ,x ,x ,…,x ,x ，即
1 2 3 n1 n
a xn a xn1…a x2 a xa a (xx )(xx )(xx )…(xx )；
n n1 2 1 0 n 1 2 3 n
5. 复数的三角形式
设非零复数z abi (a,bR)在复平面上所

对应的点是Z(a,b)，所对应的向量是OZ ，则以实

轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线为终边的
角叫做复数z的辐角，记作Argz；非零复数z的
辐角有无限多个值，我们把在区间[0,2)的辐角
的值，叫做复数z的辐角主值，记作argz；易知Argz argz2k (kZ)；
非零复数与它的模和辐角主值是一一对应的，两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主
值分别相等时才相等；复数0的辐角是任意的，辐角主值可以取[0,2)内的任意值；

设|OZ |r，根据三角比的定义，arcos，brsin，所以z r(cosisin)；
我们把r(cosisin)叫做复数abi的三角形式；
设复数z r(cosisin) (r 0)，z r (cosisin) (r 0)，则：
1 1 1 2 2 2
z z r(cosisin)r (cosisin)rr [cos()isin()]，即两
1 2 1 2 1 2
个复数相乘，积的模等于两个复数模的积，积的辐角等于两个复数辐角的和；

复数相乘的几何意义：在复平面上，将复数z 所对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转
1 1

角，再把|OZ |变为原来的r 倍，即得z z 所对应的向量；
1 2 1 2
z r(cosisin) r
1  1  1[cos()isin()]，即两个复数相除，商的模等
z r (cosisin) r
2 2 2
于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角；

复数相除的几何意义：在复平面上，将复数z 所对应的向量OZ 绕原点顺时针旋转
1 1

1 z
角，再把|OZ |变为原来的 ，即得 1 所对应的向量；
1 r z
2 2
棣莫弗定理 [r(cosisin)]n rn(cosnisinn)，nN；
2k 2k
r(cosisin)的n次方根为n r(cos isin )，k 0,1,2,…,n1；
n n第十四章 空间直线与平面
1. 平面及其相关性质
平面具有“平”的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限；平面可以用大写的英文
字母或小写的希腊字母表示；
空间的直线和平面都可以看作点的集合，点与它们的关系可以用集合的语言表示；例如，
点A在直线l上，或直线l经过点A，记作Al；点B不在直线l上，记作Bl；点A在
平面上，或平面经过点A，记作A；点B不在平面上，记作B；如果直线
l上的所有点都在平面上，那么称直线l在平面上（或平面经过直线l），记作l ；
公理1 如果直线l上有两个点在平面上，那么直线l在平面上；
公理1用集合语言表述如下：若Al，Bl，且A，B，则l ；
公理2 如果不同的两个平面,有一个公共点A，那么,的交集是过点A的直线；
公理2用集合语言表述如下：若存在A，则l ，且Al；
公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面；
推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面；
推论2 两条相交的直线确定一个平面；
两条平行的直线确定一个平面；2. 空间直线与直线的位置关系
 相交
共面
空间直线与直线的位置关系

平行

异面

公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行；
等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
在同一平面中，两条直线的位置关系包括相交和平行；
如果空间的两条直线l ,l 既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既经
1 2
过直线l ，又经过直线l ，我们把不能置于同一平面的两条直线l ,l 叫做异面直线；
1 2 1 2
对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a和b，我们
把a和b所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角；
当空间两直线l ,l 所成的角为直角时，l 和l 垂直，记作l l ；当l 和l 所成的角为
1 2 1 2 1 2 1 2
零角时，l 和l 平行或重合；
1 2
异面直线之间距离：设直线a与直线b是异面直线，当点M,N 分别在a,b上，且直线
MN 既垂直于直线a，又垂直于直线b时，我们把直线MN 叫做异面直线a,b的公垂线，
垂足M,N 之间的距离叫做异面直线a和b的距离；
3. 空间直线与平面的位置关系
直线在平面内

空间直线与平面的位置关系 相交

直线在平面外
平行
 
如果直线l与平面只有一个公共点A，那么称直线l与平面相交于点A，或称A是
直线l与平面的交点，记作l A；如果直线l与平面没有公共点，那么称直线l与
平面平行，记作l或l∥；
直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那
么这条直线和这个平面平行；直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；
一般地，如果一条直线l与平面上的任何直线都垂直，那么直线l与平面垂直，记
作l ，直线l叫做平面的垂线，l与的交点叫做垂足；
直线与平面垂直的判定定理 如果直线l与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线
l与平面垂直；
推论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；
直线与平面垂直的性质定理 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平
面内的所有直线；
推论 如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
点到平面的距离：设M 是平面外一点，过点M 作平面的垂线，垂足为N ，我们
把点M 到垂足N 之间的距离叫做点M 和平面的距离；
直线到平面的距离：设直线l平行于平面，在直线l上任取一点M ，我们把点M 到
平面的距离叫做直线l和平面的距离；
当直线l与平面相交且不垂直时，叫做直线l与平面斜交，直线l叫做平面的斜线；
设直线l与平面斜交于点M ，过l上任意点A，作平面的垂线，垂足为O，我们把
点O叫做点A在平面上的射影，直线OM 叫做直线l在平面上的射影，并规定直线l与
其在平面上的射影OM 所成的锐角叫做直线l与平面所成的角；
当直线l 与平面 垂直时，它们所成的角为 90°；当直线l 与平面 平行或直线l 在平
面 上时，它们所成的角为 0°；
最小角定理 直线和平面所成的角是这条直线和平面内任一直线所成的角中最小的
角；三 垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线也
和这条斜线垂直；
三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也和
这条斜线的射影垂直；4. 空间平面与平面的位置关系
相交
空间平面与平面的位置关系
平行

对于空间不同的两个平面,，如果它们有公共点，即，那么称平面与
平面相交；如果两个平面,没有公共点，那么称平面与平面平行，记作∥；
平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，
那么这两个平面平行；
推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那
么这两个平面平行；
推论 垂直于同一条直线的两个平面平行；
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么得到的
两条交线互相平行；
推论 若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面；
平面到平面的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点M ，我们把点M 到
平面的距离叫做平面和平面的距离；
设两个平面,相交于直线AB，AB将,分别分割成两个半平面，由,的半平
面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角，记作AB；交线AB叫做二面角的
棱，两个半平面,叫做二面角的面；
在二面角的棱 AB 上任取一点O ，过O 分别在平面 和 上作棱 AB 的垂线OM 和
ON ，射线OM 和ON 所成的角叫做二面角 − AB  −的平面角；若射线OM 和ON 所成
的角为 90°，则两个平面垂直，记作  ⊥ ；
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个
平面互相垂直；
平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线
的直线垂直于另一个平面；5. 空间角与距离的计算
（1）异面直线所成角
异面直线所成角的范围(0,90]；
求异面直线所成的角，主要有两种方法：
① 平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法；
② 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交；
（2）直线与平面所成角
直线与平面所成角的范围[0,90]；
求直线与平面所成的角，主要有以下方法：
① 定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角；
② 垂线法，过直线上某一点作平面的垂线；
③ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；
（3）二面角的平面角
二面角的平面角的范围[0,180]
求二面角的平面角，主要有以下方法：
① 定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线；
② 垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线；
③ 垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角；
④ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；
S
⑤ 射影法，面积射影定理cos ；
S
（4）距离的计算
直线到平面的距离，平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离；
求点到平面的距离，主要有两种方法：
① 垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度；
② 等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离；第十五章 简单几何体
1. 多面体
在数学中，我们把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；构成多面体的
各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；其相邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面
体的棱；棱与棱的交点叫做多面体的顶点；
（1）棱柱
如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平
行，那么这个多面体叫做棱柱；棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做
棱柱的侧面；棱柱的侧面都是平行四边形；不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱；两个底面间
的距离叫做棱柱的高；
底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形，直棱柱的高与侧棱的长相等；
底面是矩形的直棱柱叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体；底面是正多边形
的直棱柱叫做正棱柱；棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱；
四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体
底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体；
（2）棱锥
如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个
多面体叫做棱锥；棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧
面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；顶点与
底面之间的距离叫做棱锥的高；
如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做
正棱锥；正棱锥的各条侧棱长相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的高与其顶点
到底面中心的距离相等；
2. 旋转体
平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何
体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；
（1）圆柱
如图，将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；
AB所在直线叫做圆柱的轴；线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD旋
转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD叫做圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个底面间的距离（即
AB的长度）叫做圆柱的高；
根据圆柱的形成过程易知：
① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
② 圆柱有两个相互平行的底面；
（2）圆锥
类似地，将直角三角形 ABC （及其内部）绕其一条直角边 AB 所在直线旋转一周，所
形成的几何体叫做圆锥；AB 所在直线叫做圆锥的轴；点 A 叫做圆锥的顶点；直角边BC 旋
转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边 AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边 AC 叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高；
根据圆锥的形成过程易知：
① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；
② 每条母线与轴的夹角都相等；
（3）球
如图，将圆心为O的半圆绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记
作球O；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O到球面上任意点的距离都相等；把
点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径；
球面上联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上两点之间的距离；
在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点
的球面距离；
任意平面与球面的交线都是圆；
我们规定，当平面通过球心时，所得交线是大圆；
当平面不通过球心时，所得交线是小圆；
3. 面积与体积公式
直柱体的表面积：S S 2S ch2S （h,c分别为直柱体的高和底面周长）
全 侧 底 底
圆柱的表面积：S S 2S 2rh2r2（h,r 分别为圆柱的高和底面半径）
全 侧 底
1
正锥体的表面积：S S S  chS （h,c分别为斜高和底面周长）
全 侧 底 2 底
圆锥的表面积：S  S S rhr2（h,r分别为母线长和底面半径）
全 侧 底
球的表面积公式： S =4 r2 （ r 是球的半
径）祖暅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任
意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等；
棱柱的体积：V  S h（h为棱柱的高）
棱柱 底
圆柱的体积：V  S hr2h（h,r 分别为圆柱的高和底面半径）
圆柱 底
等底等高的三棱锥的体积相等；
1
棱锥的体积：V  S h（h为棱锥的高）
棱锥 3 底
1 1
圆锥的体积：V  S h r2h（h,r 分别为圆锥的高和底面半径）
圆锥 3 底 3
4
球的体积公式：V  r3（r是球的半径）
球 3
4. 直观图与斜二测画图法
规定按如图所示的位置和夹角作三条轴分别表示前后方向、左右方向以及铅垂方向的
轴，依次把它们叫做x轴、y轴和z轴，规定在y轴和z轴方向上线段的长度与其表示的真
实长度相等，而在x轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，根据这样的规
定，从而画出空间图形的直观图；用这种方法画的空间图形直观图叫做斜二轴测图，这样的
画图方法简称“斜二测”画图法；
“斜二测”画图法有以下重要性质：
① 平行直线的直观图仍是平行直线；
② 线段及其线段上定比分点的直观
图保持原比例不变；
2
③ 直观图与原图的面积比为
4
5. 特殊几何体之间的联系第十六章 排列组合与二项式定理
1. 计数原理
乘法原理 如果完成一件事需要n个步骤，第一步有m 种不同的方法，第二步有m 种
1 2
不同的方法，……，第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m m …m
n 1 2 n
种不同的方法；
加法原理 如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2
1
类办法中有m 种不同的方法，……，在第n类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事
2 n
共有：N m m …m 种不同的方法；
1 2 n
2. 排列组合
（1）排列
一般地，从n个不同元素中取出m (mn)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
从n个不同元素中取出m (mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取
出m个元素的排列数，用符号Pm表示；
n
排列数公式 Pm n(n1)(n2)…(nm1)，这里mn；
n
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列；这时排列数公式中
mn，即Pn n(n1)(n2)…321n!，正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘；
nn!
排列数公式用阶乘表示为Pm  ，当mn时，规定0!1；
n (nm)!
（2）组合
一般地，从n个不同元素中取出m (mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合；所有组合的个数叫做组合数，用符号Cm表示；
n
Pm n(n1)(n2)…(nm1) n!
组合数公式 Cm  n   ，其中mn；
n Pm m! m!(nm)!
m
组合数性质1 Cm Cnm；特殊地，C0 1；
n n n
组合数性质2 Cm Cm1 Cm ；
n n n1
（3）排列组合问题的常用方法
① 对称法：对称思想；
② 特殊优先法：特殊位置优先考虑，特殊元素优先考虑；
③ 先选后排法：先进行组合，再进行排列；
④ 捆绑法：相邻问题捆绑法；
⑤ 插空法：不相邻问题插空法；
⑥ 隔板法：相同元素分组问题；
⑦ 逆向法：至多至少问题，正难则反，等价转化，又称间接法；
⑧ 枚举法：数量不大时可以逐一枚举各种情况；
3. 二项式定理
一般地，对于nN*，有(ab)n C0anb0 C1an1b1…Cranrbr …Cna0bn，
n n n n
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，它一共
有n1项，其中各项的系数Cr叫做二项式系数，式中的Cranrbr叫做二项展开式的通项，
n n
它是二项展开式中的第r1，用T 表示，即T Cranrbr；
r1 r1 n
二项式系数性质1 (ab)n的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
系数相等，即Cm Cnm；
n n
二项式系数性质2 (ab)n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即：
C0 C1 C2 …Cr …Cn  2n；
n n n n n
注意二项式系数与系数之间的区别；
赋值法在二项式定理中的应用：一般令字母等于0可得常数项，令字母等于1可得所有
系数之和，令字母等于1可分离出奇数项系数之和与偶数项系数之和；第十七章 概率与统计
1. 概率论初步
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支；
我们把一次试验可能出现的结果叫做基本事件；
（1）古典概型
具有如下两个特点的概率模型叫做古典概型：① 一次试验所有的基本事件只有有限
个；② 每个基本事件出现的可能性相等；
对于在一定条件下可能出现也可能不出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象；在
概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件，简称事件；
事件A 所包含的基本事件数
在古典概型中，事件A出现的概率定义为P(A) ；
试验中所有的基本事件数
试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作，不可能出现的事件叫做不可能事件，
记作；对于必然事件、不可能事件和随机事件，下面4个事实值得我们注意：
① 不可能事件的概率为零，即P()0；
② 必然事件的概率为1，即P()1；
③ 对任意随机事件E，有0P(E)1；
④ 若{,,…,}，则P()P()…P()1；
1 2 n 1 2 n
设E和F 是两个随机事件，我们把满足下列条件的E和F 叫做对立事件：
① EF ；② EF ；在任何一次试验中，事件A要么出现，要么不出现；如果把事件A不出现记作事件A，
那么事件A与事件A互为对立事件，易知P(A)P(A)1；
（2）频率
对于随机事件E，如果在n次试验中出现了m次（0mn），那么m称为事件E出
m
现的频数， 称为事件E出现的频率，频率也叫做经验概率；
n
实践证明：事件出现的频率常在该事件的概率（固定常数）附近摆动，这种规律性叫
做频率稳定性或随机现象的统计规律性；
频率稳定性的含义：① 在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；② 当试验次
数无限增大时，事件出现的频率与概率相差较大的可能性趋近于0；
2. 基本统计方法
（1）统计参数
在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体；
1
如果总体有N 个个体，它们的值分别为x ,x ,…,x ，那么 (x x …x )，
1 2 N N 1 2 N
叫做总体均值；把总体中的各个个体x ,x ,…,x ，依由小到大的顺序排列，当N 为奇数时，
1 2 N
位于该数列正中位置的数叫做总体的中位数，记作m，当N 为偶数时，位于该数列正中位
置的两个数的平均数叫做总体的中位数；
各个个体与总体平均数的差的平方分别是(x )2,(x )2,…,(x )2，我们把
1 2 N
1
它们的平均数叫做总体方差，记作2，即2  [(x )2 (x )2 …(x )2]；
N 1 2 N
总体方差反映了各个个体偏离平均数的程度，2越大，总体中各个个体之间的差别越大；
2越小，总体中各个个体之间的差别越小；叫做总体标准差；
1
2也可用下面公式计算：2  (x2 x 2 …x2)2；
N 1 2 N
（2）抽样
从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的
个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样；
科学的抽样方法必须使样本具有代表性，样本的代表性指选取的样本能客观地反映总
体的情况，没有人为的主观偏向；常用的抽样方法有如下几种：
① 随机抽样：如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样
本，那么这种抽样叫做随机抽样；所得的样本称为随机子样；在样本容量不大时，随机抽
样可以用抽签方法；在样本容量较大时，可以使用随机数表法；
② 系统抽样：把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法，叫做系统抽样；如果总体中个体的总数为N ，样本的容量为n，那么间隔k  N n；
③ 分层抽样：把总体分成若干个部分，然后在每个部分按相应比例进行随机抽样的方
法，叫做分层抽样；
（3）统计估计
统计估计是利用样本数据获取总体信息的重要手段；统计估计可分成两类：一类是用样
本中某事件出现的频率估计该事件出现的概率，简称概率估计（可能性估计）；另一类是用
样本的算术平均数和样本标准差估计总体均值和总体标准差，简称参数估计；
如果样本为x ,x ,…,x ，样本容量为n；
1 2 n
1
那么可以用样本的平均值：x  (x x …x )作为总体均值的点估计值；用样本
n 1 2 n
1
的标准差：s  [(x x)2 (x x)2 …(x x)2]作为总体标准差的点估计值；
n1 1 2 n
通过科学的抽样方法获取样本数据，通过数据处理获得总体的某种估计，是统计的基
本方法之一；利用抽样调查，我们还可以对总体的离散程度作出估计；
设样本为x ,x ,…,x ，样本的平均数为x ，
1 2 n
1
那么可用s2  [(x x)2 (x x)2 …(x x)2]作为总体方差的估计值；
n1 1 2 n
1
s  [(x x)2 (x x)2 …(x x)2]作为总体标准差的估计值；
n1 1 2 n
如果要了解总体的分布情况，那么可以通过样本的频率直方图来分析；理科拓展专题
1. 三角恒等变换
x x x
2tan 1tan2 2tan
2 2 2
万能置换公式：sinx ；cosx ；tanx  ；
x x x
1tan2 1tan2 1tan2
2 2 2
（1）积化和差公式
1 1
sinAcosB  [sin(AB)sin(AB)]；cosAsinB  [sin(AB)sin(AB)]；
2 2
1 1
cosAcosB  [cos(AB)cos(AB)]；sinAsinB  [cos(AB)cos(AB)]；
2 2
（2）和差化积公式
AB AB AB AB
sinAsinB2sin cos ；sinAsinB2cos sin ；
2 2 2 2
AB AB AB AB
cosAcosB2cos cos ；cosAcosB2sin sin ；
2 2 2 22. 参数方程和极坐标
（1）参数方程相关概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函
x f(t)
数 ,(tD)，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x,y)都在曲线
y  g(t)
C上，那么方程组就叫做曲线C的参数方程，变量t叫做参变量或参变数，简称参数；
参数方程化为普通方程的基本方法是“消去参数”，在消去参数时，要注意变量x,y的
取值范围，使化成的普通方程与参数方程等价；
（2）直线的参数方程

若直线l经过点P(x ,y )，l的一个方向向量为d (u,v)，则直线l的参数方程为
0 0 0
x x ut
 0 ,(tR)；若l的倾斜角为，那么l的一个方向向量为(cos,sin)，此时参
y  y vt

0
x x tcos
数方程可写成 0 ,(tR)；
y  y tsin

0
（3）圆锥曲线的参数方程
x2 y2
① 椭圆的参数方程：若椭圆的标准方程为  1(ab0)，则椭圆的参数方
a2 b2
xacos
程为 ,(02)；
y bsin
x2 y2
② 双曲线的参数方程：若双曲线的标准方程为  1(a0,b0)，则双曲线
a2 b2
xasec  3
的参数方程为 ,(0 2, , )；
y btan 2 2
③ 抛物线的参数方程：若抛物线的标准方程为y2 2px (p0)，则抛物线的参数
x2pt2
方程为 ,(tR)；
y 2pt
（4）极坐标相关概念
如图，在平面上取定一点O ，以点O为端点引射
线Ox ，再选定一个单位长度和旋转角的正方向（一般
规定逆时针方向为正方向），这时对于平面上异于点O
的任意一点M ，设= | OM |， 表示以射线Ox 为始
边，射线OM 为终边的角，则点M 的位置可以用有序数对( ,) 表示；这样就在平面上建
立了一个不同于直角坐标系的坐标系，我们把它叫做极坐标系；在极坐标系中，定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴，(,)就叫做点M 的极坐标，
其中叫做点M 的极径，叫做点M 的极角；极角也可以取大于2的值或负值，当0
时，规定(,)对应的点为(,)；
一般地，如果(,)是一点的极坐标，那么(,2n) (nZ)都可以作为它的极坐
标；如果我们限定0，02 (或)，那么在极坐标系中，除了极点外
平面上的所有点组成的集合和实数对集合具有一一对应关系；我们规定极点的极坐标为
(0,)，[0,2)；在不作特殊说明的情况下，一般认为0；
（5）极坐标方程
在极坐标系中，平面内的曲线可以用含有,这两个变量的方程F(,)0来表示，
方程F(,)0叫做这条曲线的极坐标方程；
在极坐标系中，曲线和方程有如下的关系：
① 以方程F(,)0的解(,)为极坐标的点都在曲线上；
② 曲线上每一点的所有极坐标中，至少有一极坐标(,)是方程F(,)0的解；
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为(x,y)，极坐标为(,)；由三角函数定义，
y
可以得到如下的关系式：xcos，y sin，2  x2  y2，tan (x0)；
x
y
一般情况下，常取为正数，即 x2  y2 ；由tan 确定角度时，通常根
x
据此点所在的象限取最小正角，即02；
3. 空间向量
空间向量的模、零向量、相等向量、负向量、单位向量、向量夹角等概念，空间向量的
和、差、数乘、数量积等运算的定义及其运算律都与同一平面上的向量的相应概念、运算及
其运算律具有相同的意义；
如图所示，取有公共原点O的三条两两互相垂直，且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、
Oz，这样就构成了一个空间直角坐标系，记作Oxyz；由x轴和y轴所确定的平面叫做
xOy平面，类似地，还有xOz平面和yOz平面，它们统称为坐标平面；三个坐标平面将整
个空间分割成八个部分，被称为空间的八个卦限；（1）空间向量相关概念
设P是空间任意一点，经过点P作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z 轴，它们与各
坐标轴的交点依次为A,B和C；我们把垂足A,B和C分别叫作点P在x轴、y轴和z轴上
的射影，如果点A,B,C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z，那么点P确定了一个
有序实数组(x,y,z)，我们把有序实数组(x,y,z)叫做点P的坐标，记作P(x,y,z)；P在
xOy平面、xOz平面和yOz平面上的射影分别为Q,R,S；
   
以坐标原点O为起点，作向量OAa，把OA叫做位置向量；对于空间向量a，如果
     
把它的起点置于坐标原点，并用基本单位向量i, j,k表示它，那么i, j,k的系数x,y,z恰为
  
向量a的终点A的坐标，我们把有序实数组(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a (x,y,z)；

若点P和点Q的坐标分别为(x ,y ,z )和(x ,y ,z )，则PQ(x x ,y  y ,z z )，
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

|PQ| (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ，即空间两点P,Q间的距离公式；
2 1 2 1 2 1
  
若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z )，则a(x ,y ,z )(x ,y ,z )；
1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
 
ab(x ,y ,z )(x ,y ,z )(x x ,y  y ,z z )；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
   
两个非零向量a与b平行的充要条件是存在非零实数，使ab；
    
若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z )，则ab x x  y y z z ，|a| x2  y2 z2 ；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
 
 
ab x x  y y z z
对于非零向量a、b，若它们的夹角为，则cos    1 2 1 2 1 2 ；
|a||b| x2  y2 z2 x2  y2 z2
    1 1 1 2 2 2
两个非零向量a和b垂直的充要条件是ab x x  y y z z 0；
1 2 1 2 1 2
（2）空间向量的应用

对于空间任意一条直线l，把与直线l平行的非零向量d 叫做直线l的一个方向向量；
 
对于非零空间向量n，如果它所在的直线与平面垂直，那么向量n叫做平面的一
个法向量；
基础命题1 两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行；
基础命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向
向量垂直于该平面的法向量；
基础命题3 两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行；
  

设空间直线a与b所成的角为，[0, ]，它们的方向向量分别为d 和d ，d 和
2 1 2 1

d 的夹角为，[0,]，根据空间两条直线所成角的定义，可知cos|cos|；
2
 

设直线l与平面所成的角为，(0, ]，d 是直线l的一个方向向量，n是平面
2
 
的一个法向量，d 与n的夹角为，根据直线与平面所成角的定义，可知sin|cos|；  
设二面角的大小为，[0,]，二面角的两个半平面的法向量分别为n 和n ，n 和
1 2 1

n 的夹角为，根据二面角的定义，可知或；
2

已知平面上一点A与平面外一点M ，n是平面的一个法向量，设点M 到平面
 
|nAM |
的距离为d ，则d   ；
|n|
4. 随机变量与数学期望
设A,B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B
的和，记作AB；把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积，记作AB；
概率加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)
不可能同时出现的两个事件叫做互不相容事件或互斥事件；如果A,B为互斥事件，那
么事件A与事件B的和的概率等于它们概率的和，即P(AB) P(A)P(B)；
如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，那么称事件A和事件B互相独立；
概率乘法公式 P(AB)P(A)P(B)
我们把随机试验的一个可能结果叫做一个基本事件，基本事件的集合叫做基本空间，
也称样本空间，记作；一般地，我们把定义在基本空间上的函数叫做随机变量；
取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可以用下表给出：
x x x … x
i 1 2 n
P( x ) p p … p
k 1 2 n
一般地，随机变量所有的取值x ，x ，…，x 对应的概率所成的数列 p ，p ，…，p
1 2 n 1 2 n
叫做随机变量的概率分布律，简称随机变量的分布律；
一般地，如果随机变量可以取x ，x ，…，x 中的任意一个值，取这些值对应的概
1 2 n
率分别为 p ，p ，…，p ，那么随机变量的数学期望为E x p x p …x p ；
1 2 n 1 1 2 2 n n
随机变量的方差为D(x E)2p (x E)2p …(x E)2p ；方差的算术
1 1 2 2 n n
平方根叫做随机变量的标准差；
数学期望是随机变量取值的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做
随机变量的均值；数学期望具有下列性质：
（1）设是随机变量，c是任一实数，那么E(c)cE；
（2）设是随机变量，  … ，(i 1,2,…,n)都是存在数学期望的随
1 2 n i
机变量，那么E E E …E ；
1 2 n
（3）常数C的数学期望是常数本身，即EC C ；文科拓展专题
1. 线性规划
在线性规划问题中，x,y所应满足的条件叫做线性约束条件，要求最值的函数叫做线性
目标函数，把在线性约束条件下寻求线性目标函数的最大（小）值的问题叫做线性规划问题；
建立线性规划模型的一般步骤如下：① 根据题意设未知量x,y,z等；② 建立线性目标函数；
③ 找出未知量满足的不等式，得未知量的线性约束条件；
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，所有可行解构成的区域
叫做可行域；它是二元一次不等式组的解集所表示的一个平面区域；
在线性规划问题中，使目标函数达到最大（小）值的可行解叫做最优解；
x2y4

例 求满足下列约束条件的目标函数 f  x y的最小值：2x y3

x0,y0
2. 投影与画图
在平面上画空间图形的基本方法是应用投影的原理：当光线照射在空间图形上时，会
在它后面的平面上留下阴影，这阴影叫做原空间图形在平面上的投影；投影形成了空间图
形的平面图；
在应用投影画平面图的过程中，下列因素会对平面图产生影响：
（1）投影线的结构特征；投影线有两种结构，互相平行的或共点的；如果投影线是互
相平行的，那么该投影称为平行投影；如果投影线是共点的，那么该投影称为中心投影，
公共点称为投影中心；
（2）投影线的方向特征；在平行投影的情况下，我们用表示投影线与投影平面所成
的角，的改变会影响投影的形状或大小；当90时，该投影称为正投影，其他都称
为斜投影；
（3）空间图形的位置特征；
常用的投影画图方法：
（1）多面投影法；把三个投影面平展在一个平面上，就得到空间图形的一种平面图，
这种方法被称为多面投影法；
（2）轴测法；设计合适的投影角度，将现实空间的直角坐标系连同各轴上的单位长平
行投影到平面上，使之成为投影平面上的一组“坐标系”，根据该“坐标系”各轴的方向、
单位和投影的性质，将空间图形在空间直角坐标系中的位置对应地画到平面上，得到一幅
相应的平面图，这种方法称为轴测法；（3）标高投影法；用一组高度不一的水平平面截空间几何体，将所得的截线投影到一
个平面上，并分别标注各截线的高度，这样的方法被称为标高投影法；
把投影平面设计成三个互相垂直的平面，将空间图形分别向三个投影面作正投影，再把
三个投影图按规则展示在同一个平面上，这个图被称为空间图形的三视图；
将空间直角坐标系的xOy平面、xOz平面和 yOz平面作为投影平面，其中xOy平面
接受由上向下方向的正投影，所得到的投影被称为图形的俯视图；yOz平面接受由左向右
方向的正投影，所得到的投影被称为图形的左视图；xOz平面接受由前向后方向的正投影，
所得到的投影被称为图形的主视图；
将三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，
我们把整个构图叫做这个长方体的三视图；