规避高中数学130个易错点_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_高中数学知识点汇编

高中数学 130 个易错点
目 录
第一章 集合与常用逻辑用语
易错点 1．忽视（漏）空集致错
易错点 2．忽视最高项系数为 0 时。
易错点 3．忽视集合元素的互异性
易错点 4．判断充分性必要性位置颠倒
易错点 5．分式不等式求补集不能直接改变不等号方向
第二章 一元二次函数、方程和不等式
易错点 1．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”
易错点 2．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
易错点 3．解一元二次不等式忽视首项系数化正。
易错点 4．解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。
易错点 5．一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”法。
易错点 6．最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数 0。
第三章 函数概念与性质
易错点 1．忽视定义域表示的是谁的范围
易错点 2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为 0
易错点 3．忽视函数的定义域
易错点 4．根据函数奇偶性求解析式时忽视“x”的范围。
易错点 5．函数奇偶性忽略定义域。
易错点 6．忽视抽象函数的定义域。
第四章 指数函数与对数函数
易错点 1．分段函数单调性忽略分段点。
易错点 2．求单调区间时忽略函数定义域。第五章 三角函数
易错点 1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
易错点 2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
易错点 3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）
易错点 4．图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个x平移。
易错点 5．三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。
易错点 6．忽视了化正才能求三角函数的单调区间。
第六章 平面向量及其应用
易错点 1．忽视0
易错点 2．混淆向量模相等与向量相等
易错点 3．误把两向量平行当成两向量同向
易错点 4．混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
易错点 5．向量求模忘记开根号
易错点 6．忽视两个向量成为基底的条件
易错点 7．记反了向量减法运算差向量的方向
易错点 8．错误使用a b的等价条件
易错点 9．忽视两向量夹角a,b的取值范围
易错点 10．混淆向量点乘运算和实数乘法运算
易错点 11．误把向量的投影当非负数
易错点 12．混淆向量的夹角定义
易错点 13．正弦定理边角互化时忽略2R
易错点 14．忽视锐角ABC中，角的取值范围
易错点 15．在ABC中忽视cosA0的解
第七章 复数
易错点 1．忽视复数z abi是纯虚数的充要条件
易错点 2．错误的理解复数比大小易错点 3．错误的惯性思维理解复数的模
易错点 4．误把复数当实数代入计算
易错点 5．忽视了i2 1，习惯性的认为平方是正数
易错点 6．复数三角形式的标准形式理解错误
易错点 7．忽视复数zr(cosisin)在复平面的位置而求错argz.
易错点 8．忽视复数z abi在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.
易错点 9．复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则
第八章 立体几何初步
易错点 1．混淆斜二测画法中长度有变有不变
易错点 2．混淆直观图和原图
易错点 3．在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况
易错点 4．错误认为，无数等于所有
易错点 5．证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书
写不规范
易错点 6．忽略异面直线所成角的范围
第九章 统计
易错点 1．随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过
易错点 2．忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错
易错点 3．样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律
频率
易错点 4．误把频率分布直方图的高 当频率
组距
易错点 5．总体百分位数忽略了将数据从小到大排序
易错点 6．频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误
易错点 7．频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替
易错点 8．在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好
第十章 概率
易错点 1．误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念
易错点 2．混淆了互斥事件与对立事件的区别
易错点 3．忽视了概率加法公式适用的前提条件易错点 4．基本事件列举时出现重复或者遗漏
易错点 5．混淆了有放回和无放回
第一章 空间向量与立体几何
易错点一：空间向量的加减运算
易错点二：空间向量的数量积
易错点三：用空间基底表示向量
易错点四：空间向量的坐标运算
易错点五：空间向量运算的坐标表示
易错点六：空间位置关系的向量证明
易错点七：异面直线夹角的向量求法
易错点八：线面角的向量求法
易错点九：面面角的向量求法
第二章 直线和圆的方程
易错点一：两条直线平行和垂直的判定
易错点二：直线的方程
易错点三：两条直线的交点坐标
易错点四：两点间的距离公式
易错点五：圆的方程
易错点六：直线与圆的位置关系
易错点七：圆与圆的位置关系
易错点九：求椭圆的焦点
第三章 圆锥曲线的方程
易错点一：利用椭圆定义求方程
易错点二：求椭圆的焦点
易错点三：求椭圆的长轴、短轴
易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围
易错点八：根据 a,b,c 求双曲线的标准方程
易错点九：求双曲线的焦点坐标
易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
第四章 数列
易错点一：判断或写出数列中的项
易错点二：判断等差数列
易错点三：等差数列通项公式的基本两计算
易错点四：利用等差数列的性质计算
易错点五：等差数列前 n 项和的基本量计算
易错点六：等比数列通项公式的基本量计算
易错点七：求等比数列前 n 项和
第五章 一元函数的导数及其应用
易错点一：平均变化率
易错点二：瞬时变化率的概率及辨析
易错点三：导数定义中极限的简单计算
易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）
易错点五：基本初等函数的导数公式
易错点六：导数的运算
易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性
易错点八：求已知函数的极值
易错点九：由导数求函数的最值
第六章 计数原理
易错点 1：分步标准不清致错
易错点 2：忽视排列数公式的隐含条件致误
易错点 3：重复计数与遗漏计数致误
易错点 4：混淆“排列”与“组合”的概念致错易错点 5：计数时重复或遗漏致错
易错点 6：混淆项的系数与二项式系数
易错点 7：错用二项式系数的性质致误
第七章 随机变量及其分布列
易错点 1：误认为条件概率 P(B|A)与积事件的概率 P(AB)相同
易错点 2：概率计算公式理解不清而致误
易错点 3：离散型随机变量的可能取值搞错致误
易错点 4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误
易错点 5：要准确理解随机变量取值的含义
易错点 6：审题不清致误
易错点 7：对超几何分布的概念理解不透致错
易错点 8：对正态曲线的性质理解不准确致错
第八章 成对数据的统计分析
易错点 1：概念不清致误
易错点 2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．
易错点 3：没有准确掌握公式中参数的含义致误
第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集
易错点 1．忽视（漏）空集致错
【典型例题1】（2022·全国高一课时练习）已知集合Ax 1x1 ，Bx a1x2a1 ，若B A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a1 B．a1
C．0a1 D．0a1
易错点 2．忽视最高项系数为 0 时。
【典型例题2】（2022·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合M   x x2x60  ，N   xmx10  ，若N M ，
则实数m的取值构成的集合为___________.
易错点 3．忽视集合元素的互异性
【典型例题3】（2022·浙江高一月考）已知集合A
 a2,a12,a23a3 
，若1A，则实数a的取值集合为（ ）
A．1,0,2 B．0,2 C．1 D．0
易错点 4．判断充分性必要性位置颠倒
log x5
【典型例题4】（2022·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式 1 成立的一个充分不必要条件为（ ）
2
A．x32 B．0x32
C．4x16 D．x24
易错点 5．分式不等式求补集不能直接改变不等号方向
 2x1   
【典型例题5】（2022·西城·北京四中高三月考）已知集合Ax 1,xR，集合B x 1xa1,xR .
 x1 
若B  A  B，求实数a的取值范围.
R
【练一练】
1．（2022·福建福州三中高一月考）已知集合Ax 2 x5 ，Bxm1x2m1 ，若B A，则实数m的取
值范围为___________.
2．（2022·上海复旦附中青浦分校高一月考）已知集合A{x|2x5}，B{x|m1x2m1}，若ABA，则
实数m的取值范围______________
3．（2022·新蔡县第一高级中学高一月考）设M   x x25x60  ，N x ax10，若M N ，则实数a的值构
成的集合为________________________．
4．（2022·广东福田外国语高中高一月考）已知集合A  x∣ax22x10  (aR).若A中只有一个元素，则a的值
___________.
5．（2022·江苏淮安·高一月考）已知集合A  x|ax22x10,xR  是单元素集，则a的值为____.6．（2022·全国高一课时练习）已知集合  x mx22x10  n，则mn的值可能为（ ）
1
A．0 B．
2
C．1 D．2
 
7．（2022·福建三明一中高一月考）如果集合M  x mx24x20 中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
8．（2022·全国高一单元测试）若关于x的方程ax22a1x40的解集为单元素集合，则（ ）
A．a0 B．a1
C．a0或a1 D．a0且a1
9．（2022·山东省潍坊第四中学高一开学考试）若集合A{x|kx24x40}中有且仅有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．k{0} B．k{1} C．k{1,0} D．k{1,1}
10．（2022·广东佛山·高一月考）已知，aA
 1,3,a2
则a的取值为___________.
11．（2022·重庆市第七中学校高三月考）“当x[2,1]时，不等式ax3x24x30恒成立”的一个必要不充分条
件为（ ）
A．a[5,1] B．a[7,1]
C．a[6,2] D．a[4,3]
3
12．（2022·全国高三月考）设xR，则x 2 3的一个必要不充分条件是（ ）
x
A．x0 B．x0且x 3 C．x 3 D．0x 3
13．（2022·贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文））二次函数 f(x)ax22x1在区间(,1)上单调递
增的一个充分不必要条件为（ ）
1
A．a1 B．a2 C． a0 D．0a1
2
14．（2022·黑龙江佳木斯一中高三月考（理））设xR，则x 2的一个必要不充分条件为（ ）
A．x B．x C．x1 D．x1
2x1
15．（2022·沭阳县修远中学高一月考）设全集U  R，集合A{x| 1}，B{x|x1}，C {x|2a xa3}.
x2
（1）求 A和A B；
U
（2）若A C  A，求实数a的取值范围.16．（2022·渝中·重庆巴蜀中学高一月考）已知集合A  x 3x1 0  ,Bx 3x2 3 ，
 3x1 
（1）求 A；
R
（2）求A B,A B．
   19 
17．（2022·黑龙江大庆实验中学高一月考）已知全集U R，集合A x x23x180 ，Bx 1.
 x14 
（1）求 B A；
U
 
（2）若集合C x 2axa1 ，且B C C，求实数a的取值范围.
第二章 一元二次函数、方程和不等式典型易错题集
易错点 1．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”
1
【典型例题1】（2022·全国高一专题练习）若x0，则x （ ）
x
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为2 D．有最大值，且最大值为2易错点 2．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
1
【典型例题2】（2022·海南昌茂花园学校高三月考）当x4时，不等式x a恒成立，则实数a的取值范围是
x2
（ ）
 9
A．,4 B．2, C．4, D．,

 2
易错点 3．解一元二次不等式忽视首项系数化正。
【典型例题3】（2020·云南·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）不等式(x1)(2x)0的解集为（ ）
A．x|x1或x2} B．{x|x2或x1} C．{x|2x1} D．{x|1x2}
易错点 4．解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。
3x
【典型例题4】（2022·江苏·高一专题练习）不等式 2的解是（ ）
x1
A．2,1 B．2,1
C．2,1 D．,2
易错点 5．一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一”

法。
【典型例题5】（2022·全国·高一课时练习）若不等式x22xa20对任意的x1,3恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A．a|a13 B． a a1
C．a|a3 D．a|a1
易错点 6．最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数 0。
【典型例题6】（2022·全国·高三专题练习）对xR，不等式a2x22a2x40恒成立，则a的取值范围
是（ ）
A．﹣2a2 B．﹣2a2 C．a2或a2 D．a2或a2
【练一练】x23x4
1．（2022·全国高一专题练习）已知x3，则y 的最大值是（ ）
x3
A．1 B．2 C．2 D．7
2．（2022·全国高一专题练习）下列不等式一定成立的是（ ）
3 x41
A．x 2 3 B． 2
x x2
xy2 y x
C． x2y2 D．若x0，y0，则  2
x y
2
3．（2022·全国高一专题练习）下列命题中错误的是（ ）
1 1
A．当x0时， x 2 B．当x2时，x 2
x x
3 4
C．当0x4时， x(4x)2 D．当x 时，2x1 2
2 2x3
4．（2022·全国高一专题练习）下列函数中最小值为2的函数是（ ）
1 1 x23 4
A． y  x B．y x x1 C．y D．yex 2
x x x22 ex
5．（2022·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）在下列函数中，最小值为2的是（ ）
1 1
A． y  x B．ylgx (1x10)
x lgx
x22x2 1  
C．y (x1) D．ysinx 0x 
x1 sinx 2
6．（2022·吉林高三开学考试（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
4
A．yx22x4 B．y sinx 
sinx
4
C．y2x22x D．ylnx
lnx
x22x1 1 
7．（2022·全国高三专题练习（理））已知 f(x) ，则 f(x)在  ,3  上的最小值为（ ）
x 2 
1 4
A． B．
2 3
C．－1 D．0
x23
8．（2022·湖南高一月考）若x0，则 的最大值是（ ）
x1
A．2 B．2 C．4 D．4
9．（2022·浙江南湖·高一期中）已知函数 f xx2ax1，若 fx0在0，2上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
．．．
A．,2 B．,1 C．0,2 D．0,110．（2022·吉林·东北师大附中高一月考）对于任意实数x，不等式a2x22a2x40恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A．a a2 B．a a2 C．a 2a2 D．a 2a2
11．（2022·宁夏·六盘山高级中学高二月考（文））已知关于x的不等式ax2ax20在R上恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A．,0 8, B．,0 8,
C．0,8 D．0,8
12．（2022·河南·高一月考）若不等式a2x22a2x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．2a2 B．a2
C．2a2 D．a2或a2
13．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（文））若不等式(a3)x2 2(a2)x40对于一切xR恒
成立，则a的取值范围是（ ）
A．(,2] B．[2,2] C．(2 2,2 2) D．(,2)
x1
14．（2020·福建省厦门第六中学高一月考）不等式 2的解集是（ ）
x2
A．(,2) 5, B．,2 5, C．2,5 D．(2,5)
1x
15．（2022·江苏省天一中学高二月考）不等式 0的解集为（ ）
1x
A．{x|x1或x1} B．x∣1x1 C．{x|x1或x1} D．{x|1x1}
x3
16．（2022·全国·高一课时练习）与不等式 0同解的不等式是（ ）
2x
A．x32x0 B．0x21
2x
C． 0 D．x32x0
x3
2x
17．（2022·全国·高一课时练习）不等式 0的解集为（ ）
x
A．x|0x2 B．x|0x2 C．x|x0或x2 D．x|x0或x2
1
18．（2022·江西·上高二中高二月考）不等式 1的解集为（ ）
x1
A．,0 B．,0 1,
C．0,1 1, D．0,
19．（2022·全国·高一单元测试）要使函数ymx2mx(m1)的值恒为负值，m的取值范围为（ ）
4 4
A．m0 B．m0或m C．m0或m D．m0
3 3 1
20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式x2ax10对一切x0,

恒成立，则a的取值范围是（ ）
 2
5
A．a0 B．a2 C．a D．a3
2
第三章 函数的概念与性质典型易错题集
易错点 1．忽视定义域表示的是谁的范围
【典型例题1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数y f x的定义域为1,2，则函数y f x2
的定义域为（ ）
A．3,0 B．1,4 C．3,0 D．1,4
易错点 2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为 0
x1
【典型例题2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数 f(x) 的定义域为R，则实数m的
mx22mx4
取值范围是（ ）
A．0,4 B．0,4
C．0,4 D．,0 4,
易错点 3．忽视函数的定义域
【典型例题3】（2022·全国高一单元测试）若 f( x1)x x，则 f(x)的解析式为（ ）
A． f(x)x2x B．
f(x)x2x(x0)
C． f(x)x2xx1 D． f(x)x2x
易错点 4．根据函数奇偶性求解析式时忽视“x”的范围。
【典型例题4】（2022·全国高三专题练习）设 f(x)为奇函数，且当x0时， f(x)ex 1，则当x0时， f(x)=
易错点 5．函数奇偶性忽略定义域。
1
【典型例题5】（2022·全国高一课时练习）判断函数是否具有奇偶性: f(x) ,x[1,2].
x21
易错点 6．忽视抽象函数的定义域。
【典型例题6】（2022·广东高一单元测试）已知 f x是定义在2，2上的单调递减函数，且 f 2a3 f a2 ，则实数a的取值范围是（ ）
1 5  5
A．0，4 B．1， C． ，  D．1， 
2 2  2
【练一练】
f 2x1
1.（2022·沙坪坝·重庆一中高一月考）已知函数 f x的定义域是1,3，则函数gx 的定义域是( )
1x
A．3,1 B．0,1 C．0,1 D．3,1
2．（2022·四川射洪中学高一月考）已知函数 f(x)的定义域为1,2，则函数 f(x1)的定义域为（ ）
A．[2,1] B．[1,2] C．[0,1] D．[1,0]
313x
3．（2022·抚顺市第二中学高二期末）已知函数 f(x) 的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
ax2ax3
A．a0或a12 B．12a0
C．12a0 D．a0或a12
1
4．（2022·全国高一专题练习）已知函数 f x 的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
mx2mx1
A．0m4 B．0m4 C．0m4 D．0m4
1 x1
5．（2022·黑龙江铁锋·齐齐哈尔中学高一期中）若 f   ，则有（ ）
x x2
A． f xx21 B． f xx2x
C． f xx2xx0 D． f xx21x0
6．（2022·山东牟平一中高一月考）已知函数 f(x2 1) x4，则函数y f(x)的解析式是（ ）
A． f xx12,x0 B． f xx12,x1
C． f xx12,x0 D． f xx12,x1
7.（2022·天津市武清区杨村第一中学高二月考）设 f x为偶函数，且当x0时，f x1lnx，则当x0时，f x
（ ）
A．1lnx B．1lnx C．llnx D．1lnx
8．（2012·河北石家庄·高一月考）已知 是R上的奇函数，且当 时， ，求 的解析
式．
9．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)x22x.
（1）画出当x0时， f(x)函数图象；
（2）求出 f(x)解析式.10.（2020·全国高一专题练习）判断函数的奇偶性： f(x) 1x2  x21；
11．（2020·海原县第一中学高一月考）求函数的奇偶性： f x x2 2x；
12．（2020·全国高一课时练习）判断函数ylg(x x21)的奇偶性，并证明
 1
13．（2022·新余市第一中学高二月考（文））设奇函数 f x在定义域2,2上单调递减，则不等式 f 2x  f 1x0
 4
的解集为（ ）
 3
A．2,2 B．,

 4
 7 3  7  3 
C．

 ,

D．,
 
 ,
 8 4  8  4 
14．（2022·全国高一课时练习）奇函数 f x在定义域1,1上是减函数，若 f 2m1 f m0，则m的取值范围
是（ ）
 1   1   1  1
A． ,0 B． ,1 C．1,  D．, 
 3   3   3  3
15．（2022·江苏高一专题练习）已知定义域为[1,1]的奇函数 f(x) x3xb1，则 f(2xb) f(x)0的解集为（ ）
1  1 
A．[1,3] B． ,2 C．[1,2] D． ,1
   
3  3 
16．（2022·江苏高一）已知函数 f x是定义在区间2,2上的偶函数，当x0,2时， f x是减函数，如果不等式f 1m f 1m成立，则实数m的取值范围（ ）
A．1,0 B．0,1 C．,0 D．1,1
17．（2022·福建省永泰县第二中学高一期末）已知 f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且单调递增，f(a4) f(2a5)0，
则a的取值范围是（ ）
7
A．(2,3) B．(3, ) C．(1,4) D．(4,6)
2
第四章 指数函数与对数函数典型易错题集
易错点 1．分段函数单调性忽略分段点。
a2x1,x1,
【典型例题1】（2022·河南信阳·高三月考（文））已知函数 f x 若 f x在,上单调递增，
log x,x1
a
则实数a的取值范围为（ ）
A．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,
易错点 2．求单调区间时忽略函数定义域。
【典型例题2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一期末）函数 f(x)lg(x22x8)的单调递增区间是（ ）
A．(，2) B．(，1) C．(1，) D．(4，)
【练一练】
a
1.（2022·庆阳第六中学高一期末）若函数 f(x)lg(ax22x )的定义域为R，则a的取值范围是（ ）
4
A．(-，-2) B．(-，2) C．(2，) D．(-2，)
2．（2022·云南省云天化中学高一开学考试）函数y x24x12的单调递减区间为（ ）
A．,2 B．2, C．2,6 D．2,2
ylog (x2x6)
3．（2022·巴楚县第一中学高三月考（文））函数 1 的单调递增区间为（ ）
2
1 1 1
A．(2,3) B．(2, ) C．( ,3) D．( ,)
2 2 2
f xlog  x24x 
4．（2022·海南昌茂花园学校高三月考）函数 1 的单调递减区间为（ ）
3
A．,2 B．2, C．,0 D．4,
5．（2022·贵州贵阳一中高三月考（理））函数 f(x)ln(2x23x1)的单调递减区间为（ ）
6．（2022·陕西渭滨·高二期末（文））函数 f(x) 32xx2 的单调递增区间是（ ）A．(,1] B．[1,) C．[1,3] D．[1,1]
7．（2022·江西省乐平中学高一开学考试）函数 f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是（ ）
3 3 3 3
A．(，] B．[ ，) C．(1，] D．[ ，4)
2 2 2 2
(13a)x10a,(x7)
8．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）已知函数 f(x) ，且对于定义域内的x ，x (x  x )

ax7,(x7) 1 2 1 2
f(x) f(x )
都满足 1 2 0，则实数a的取值范围是（ ）
x x
1 2
1 1 1 2 1 6  1 6
A． ,  B．  ,  C． ,  D． , 
3 2 2 3 3 11 2 11
x23a1x2,x1
9．（2022·湖北·高三月考）已知函数 f x ，若函数 f x在R上为减函数，则实数a的取
ax,x1
值范围为（ ）
1  1 1  1 1 
A．

,1 B．

,

C．0,

D．

,1
3  3 2  3 2 
3a1x4a,x1
10．（2022·重庆·西南大学附中高一月考）已知函数 f x ，对任意实数x 、x x x 都满足
x1,x1 1 2 1 2
f x  f x 
1 2 0，则实数a的取值范围是（ ）
x x
1 2
1  1 1  1 1 
A．  , B．  ,  C．,  D． ,
7  7 3  3 3 
3ax4a,x1
11．（2022·四川·射洪中学高一月考）已知函数 f(x) 是R上的增函数，则实数a的取值范围是

x2,x1
（ ）
2  2  2  2 
A． ,3 B．

,3

C．

,3 D． ,3

5  5  5  5 
x2ax7, x1

12．（2020·广东·东莞市东莞中学高一月考）已知函数 f(x)a 是(,)上的增函数，则a的取
 , x1
x
值范围是（ ）
A．[4,0) B．[4,2] C．(,2] D．(,0)
第五章 三角函数典型易错题集
易错点 1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
（ ）
   
A． B． C． D．
6 3 6 3
易错点 2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
1
【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设是第三象限角，Px,4为其终边上的一点，且cos x，则tan
5
（ ）
4 4 3 4 3
A． 或 B． C． D．
3 3 4 3 4
易错点 3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）
【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan2则sin2sincos2cos2的值为________．
易错点 4．图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个x平移。
 
【典型例题4】（2022·全国·高一单元测试）为了得到函数ysin2x 的图象，可以将函数ysin2x的图象（ ）
 6
   
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 6 12 12
易错点 5．三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。

【典型例题5】（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高三月考）要得到函数y3cos(2x )的图象，只需将y3sin2x的
4
图象（ ）
 3
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
8 8
3 3
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
4 4
易错点 6．忽视了化正才能求三角函数的单调区间。

【典型例题5】2022·四川省新津中学高一开学考试）已知函数 f(x)2sin( x)（0）的最小正周期.求函数
6
f(x)单调递增区间.【练一练】
1．（2022·全国·高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
2．（2022·陕西·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 6 6 3
3．（2022·江苏宿迁·高一期末）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
   
A． rad B． rad C． rad D． rad
3 6 6 3
sin2sin2
4．（2022·江苏·泰州中学高一期末）已知点A(3m,m)是角a的终边上的一点，则 的值为（ ）
1cos2
7 5 5 7
A． B． C． D．
18 18 2 2
5．（2022·北京八中高一期中）设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，则2sincos的值为（ ）
3 2 2
A． B． C． D．与有关
5 5 5
   1 
6．（2022·上海市奉贤中学高一期中）已知0 ，将角的终边逆时针旋转 ，所得的角的终边交单位圆于P ,y，
2 6  3 
则sin的值为（ ）
2 2 3 2 2 3 2 61 2 61
A． B． C． D．
6 6 6 6
7．（2022·江西·新余四中高一月考）若tan3，则cos2sin2的值为（ ）
sin3cos 1
8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知 5，那么cos2 sin2__________.
3cos5sin 2
 
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中）为了得到函数ysin2x 的图象，需要把函数ysin2x的图象（ ）
 3
 
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
 
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
 
10．（2022·江苏·高一课时练习）要得到函数y3sin2x 的图象，只需将函数y3sin2x的图象（ ）.
 4
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
4 4
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
8 8

11．（2022·北京·北理工附中高三月考）要得到函数y=cos2x的图象，只要将函数ycos(2x )的图象（ ）
3
 
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
3 3 
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
6 6

12．（2022·四川·高三月考（理））将函数ycos2x图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数y f(x)的图
8
象，则（ ）
A． f x的最小正周期为2
 
B． f x的图象关于点 ,0对称
8 
5
C． f x的图象关于直线x 对称
8
 
D． f x在 0, 上单调递增
 
 4
 
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 f(x)2sin 2x，求： f(x)的单调递增区间；
4 
     
14．（2022·陕西省黄陵县中学高一期中（理））已知函数ysin   2x ．求：函数ysin   2x 的单调递减
 8   8 
区间，对称轴，对称中心；
第六章 平面向量及其应用 典型易错题集
易错点 1．忽视0
例题1．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①若ab，则|a||b|；②若|a||b|，则ab；③若ab，
则a//b；④若a//b,b//c，则a//c.其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【常见错解】D
解：因为ab，则向量a,b互为相反向量，所以|a||b|，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若ab，则向量a,b方向相同，故③正确；
若a//b,b//c，由平行的传递性，则a//c，故④正确.
所以正确说法的个数是3个.
故选：D.
【动手实战】
1．（2021·上海·）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若a//b，则a与b的方向相同或相反；③若a//b，且b//c，则a//c；④若ab，则a2b．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2020·宁夏育才中学）有下列命题：
 
①若 a  b ，则
a 

b
；
 
②若 AB  DC ，则四边形ABCD是平行四边形；
③若
m



n
，
n 

k
，则
m



k
；
④若
a//

b
，
b//

c
，则
a//

c.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点 2．混淆向量模相等与向量相等
例题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量 a  b ，则a b ( )
【常见错解】正确
【错因分析】未能正确理解向量模与向量的关系，向量既有大小，又有方向，a b |a||b|且a,b同向.本例
中 a  b ，仅仅只是说明a,b模相等，对于方向，无限可能，所以无法由 a  b 得到a b.
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）命题“若mn，nk，则mk” 的真假性为( )
2．（2021·全国·高一课时练习）若a与b都是单位向量，则ab.( )
易错点 3．误把两向量平行当成两向量同向
例题1．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）下列命题正确的是（ ）
A． a  b ab B． a  b ab
C．a//b  a，b  =0 D． a 0a0
【常见错解】C
【错因分析】对于向量平行问题，a//b ，很多同学总是当做直线平行记忆，认为直线平行那不是成0 角，想当然
认为向量的平行也是成0 ，在刚学习向量时，特别要注意向量，直线的区别.
【动手实战】1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为180°”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·内蒙古·赤峰学院附属中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．AB//CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
易错点 4．混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
例题1．（2021·全国·）设a，b，c是三个向量，以下四个选项正确的是（ ）
   
A．若a0，b 0，c 0，则 ab c a bc
B．若ab0，a0，则b 0
C．若abbc，且b0，则ac
D．abba
【常见错解】A
   
【错因分析】很同学看到A中a0，b 0，c 0，再看结论 ab c a bc 直接把向量的点乘和数乘，当做实数乘
   
法运算了，(ab)ca(bc)，混淆了向量的点乘结果，数乘结果.事实上对于 ab c a bc ，左边的本质是：c，右
边的本质是：a，无法得到ca.
【动手实战】
   
1．（2022·浙江·模拟预测）已知平面非零向量a,b,c ，则“ ab c ac b”是“bc ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·海南·海口一中高三阶段练习）已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．(ab)c a(bc) B．若ac bc，则a b
C．若a//b，则R,ba D．|ab||a||b|
3．（2020·河南·南阳中学（文））由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mnnm”类比得到“abba”；
②“ mntmtnt”类比得到“  ab  c acbc”；
③“ mntmnt ”类比得到“  ab  c a  bc  ”；④“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；
⑤“ mn  mn ”类比得到 ab  a b ；
ac a ac a
⑥“  ”类比得到“  ”．
bc b bc b
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点 5．向量求模忘记开根号
1
例题1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知向量a,b,|a| 6,b (3,4)，若a在b 的投影为 ，则|3a2b|（ ）
4
A．169 B．13 C．196 D．14
【常见错解】A
1 ab 1 1 5
解：因为b (3,4)，所以b  3242 5，因为a在b 的投影为 ，所以  ，所以ab b  ，所以
4 b 4 4 4
(3a2b)2 9a 2 12ab4b 2 9( 6)212( 5 )452 169
4
故选：A
【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号，习惯没有养成要，先求(3a2b)2，再开根号为答案，往往学生求出
(3a2b)2就忘记开根号，养成好的习惯对于求模问题|3a2b|  3a2b 2  9a 2 12ab4b 2 ，在平时训练时就注
意开根号.
【动手实战】
1．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知非零向量 
a,

b
满足
|

a2

b||

a

b|
，且
a

b 3
，则向量
b
的模长
为_________．

2．（2022·湖南·高一课时练习）已知 a 2，b 3，a与b的夹角为 ，试求：
3
(1) ab ；(2) ab ．
易错点 6．忽视两个向量成为基底的条件

1．（多选）（2022·全国·高一）在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是（ ）   
A．e 0,0,e 1,2 B．e 1,2,e 5,2
1 2 1 2
   
C．e 3,5,e 6,10 D．e 2,3,e 2,3
1 2 1 2
【常见错解】BCD

选项A：e 0,0，不能作为基底，对于BCD都不含0，可以作为基底表示其它向量
1
【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否
     
共线，对于选项C．e 3,5,e 6,10，显然e 2e ,说明e,e 共线，不能用来做基底.
1 2 2 1 1 2
【动手实战】
1．（多选）（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知e ，e 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基
1 2
底的是（ ）
A．a0，be e
1 2
B．a3e 3e ，be e
1 2 1 2
C．ae 2e ，be e
1 2 1 2
D．ae 2e ，b2e 4e
1 2 1 2
2．（多选）（2021·浙江·高二期末）设e,e 是平面内两个不共线的向量，则以下a,b可作为该平面内一组基底的（ ）
1 2
1 1
A．ae e ,be B．a2e e ,b e  e
1 2 1 1 2 2 1 4 2
C．ae e ,be e D．ae 2e ,be 4e
1 2 1 2 1 2 1 2
易错点 7．记反了向量减法运算差向量的方向
例题1．（2021·全国·高三专题练习）正三角形ABC边长为2，设BC2BD，AC3AE，则AD·BE_____.
1 
【常见错解】因为BC2BD，所以点D是BC的中点，所以AD ABAC ，
2
1
AC3AE，所以BE  ABAE  AB AC,所以
3
1   1  1 2 1 1 2
AD·BE ABAC AB AC (AB  ABACABAC AC )
2  3  2 3 3
1 2 4
 (4 22cos60  )2
2 3 3
1
【错因分析】本题选定了AB,AC作为基底，在用基底AB,AC表示向量BE  ABAE  AB AC时，向量减法运
31
算错误，ab最后的结果应该指向a向量，所以正确的表示应该是BE  AEAB ACAB.
3
【动手实战】
1．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知M，N分别是线段OA,OB上的点，且OM MA,ON 2NB，若
MN OAOB，则___________.
2．（2021·全国·高一课时练习）在三角形ABC中，若ABAC3AP，且CPxAByAC，则xy_______
3．（2022·浙江·高三专题练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若ABa，ADb，ODc，则OB
___________.
易错点 8．错误使用a b的等价条件
     
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量a2,1，b1,k，若a2b//ka，则实数k___________.
   
       4 12k 1
【常见错解】a2b4,12k，ka2k,k，若a2b//ka，则  k 
    2k k 2
【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件，对于m(x ,y )，n(x ,y )，m n x y x y 0，而本题错
1 1 2 2 1 2 2 1
x y
误的运用为m n 1  1 ，此时容易忽略0这个解.
x y
2 2
【动手实战】
   
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知向量a（2，1），b（1，k）（k 0），若 a2b ∥ ka ，则非零实数k=________．
2．（2021·全国·高一课时练习）已知向量a＝（m，1），b ＝（m﹣6，m﹣4），若a∥ b ，则m的值为__．
易错点 9．忽视两向量夹角a,b的取值范围
例题1．（2021·重庆·临江中学高三阶段练习）已知a1,2，b,3，向量a与向量b 夹角为锐角，则的取值范围
为________．
【常见错解】因为a1,2，b,3，且向量a与向量b 夹角为锐角，所以ab0
所以：12306
【错因分析】错误的认为向量a与向量b 夹角为锐角ab0，事实上ab0向量a与向量b 夹角为锐角或0
角，本题错解忽略了0 的情况.
【动手实战】
1．（2021·上海·高一课时练习）设a=（2，x），b =（-4，5），若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是___________.
2．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）向量a(2,t)，b (1,3)，若a,b的夹角为钝角，则t的范围是________．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a=1,2,b1,1，且a与aλb的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
___________.
易错点 10．混淆向量点乘运算和实数乘法运算
例题1．（2021·福建龙岩·高三期中）已知 a 4，b 6，且a与b 的夹角为600，则 2ab ___________
【常见错解】由题意可知， a 4，b 6， 2ab =  2ab 2 = 4a24abb2  41644636 2
【错因分析】本题错例是考试中常见的一种错误，混淆了向量ab和实数ab相乘得运算法则.
【动手实战】
1．（2021·北京十五中高一期中）已知非零向量a,b夹角为45 ，且 a 2,ab 2.则b 等于_________.
2．（2020·江苏·淮阴中学三模）已知向量a与向量b 的夹角为60， a |b|1，则 ab ______．
易错点 11．误把向量的投影当非负数
2π
1．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知向量a与b 的夹角为 ，a  2，则a在b 方向上的投影为（ ）
3
6 2 6 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
【常见错解】B2π
向量a与b 的夹角为 ， a  2
3
2π  1 2
a在b 方向上的投影为| a cos || 2 |
3  2 2
【错因分析】未能正确理解向量的投影，习惯性认为投影是一个非负数，所以在求投影时，考生自己加了绝对值符号
上去.特别提醒，向量的投影，可正可负可为零.
【动手实战】
 
1．（2022·四川叙州·高三期末（文））若向量a,b满足 a 2, a2b a6，则b 在a方向上的投影为（ ）
1 1
A．1 B．-1 C． D．
2 2
2．（2021·四川·宁南中学高一开学考试）已知向量a，b 的夹角为120°，a 4，b 1，则a在b 方向上的投影为（ ）
1 3
A．2 B． C．1 D．
2 2
 
3．（2021·全国·高一课时练习）已知 a 1，b 2，且a ab ，则a在b 上的投影向量为（ ）
1 1
A．b B．b C． b D． b
4 4
易错点 12．混淆向量的夹角定义
例题1．（2021·全国·高一课时练习）在边长为2的正三角形中，设BCa，CAb，ABc，则abbcca______．
【常见错解】6
因为 ABC是边长为2的等边三角形，所以 a  b  c 2，
1
所以ab bc ca22 2，
2
所以abbcca2226
【错因分析】错误理解向量的夹角，在使用ab|a||b|cosa,b求解时，特别注意a,b，要共起点才能找夹
角，否则使用的可能是其补角造成错误。
【动手实战】
1．（2021·河北石家庄·）已知等腰三角形ABC的顶角A120，BC  3，ABa，BCb，ACc，则abbcac
___________.
2．（2021·天津市实验中学滨海学校（理））已知在 ABC中，AB3,AC1,BAC ,BDDC,AE2ED，则CEBC
3
___________.
易错点 13．正弦定理边角互化时忽略2R
例题1．（2021·贵州·高三阶段练习（文）） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a3，asinB 3bcosA.
(1)求角A的大小；
(2)求 ABC周长的取值范围.
【常见错解】(1)解：因为asinB 3bcosA，所以sinAsinB 3sinBcosA.
又sinB0，所以tanA 3.

因为0 A，所以A .
3
2  2 
(2)由（1）知BC  ，abc3(sinBsinC)3  sinBsin B
3   3 
 3 1  3 3   
3  sinB cosB sinB  3  sinB cosB  3 3sinB 
 2 2   2 2   6
2   5 1  
因为0B ，所以 B  ，则 sinB 1，
3 6 6 6 2  6
3  3 
所以3 abc3 3，即 ABC周长的取值范围是3 ,3 3.

2  2 
a b c
【错因分析】错误的原因在于习惯，对于正弦定理   2R，在边角互化时，a2RsinA，
sinA sinB sinC
b2RsinB，c2RsinC，解题时，学生总是习惯的认为最后2R都会被约去，所以可有可无，就是个形式，本题注意，首先求abc它并不是一个方程，所以无法约去2R，特别提醒在利用a2RsinA，b2RsinB，
c2RsinC解题时，不可随意扔掉2R.该约去约去，该提取提取.
【动手实战】
1．（2021·安徽·高三阶段练习（理））若 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，ab，且asinAbsinB3sinAB.
(1)求c；
(2)若b2a，过点C作CH  AB，垂足为H，若AH 4，求 ABC的面积S.
易错点 14．忽视锐角ABC中，角的取值范围
1．（2021·河南驻马店·高二期中（理））锐角 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足
a2,csinCsinBbsinBasinA.
(1)求角A的大小；
(2)求 ABC周长的范围.
【常见错解】
(1)∵
csinCsinBbsinBasinA，
∴ ccbb2 a2，即c2b2a2 bc，
c2b2a2 bc 1
∴ cosA   ，又0 A，
2bc 2bc 2

∴ A .
3
 bc
(2)由（1）知A ，利用余弦定理a2 b2 c2 2bccosAb2 c2 bc(bc)2 3bc ，又因为bc( )2，所
3 2
3(bc)2 3(bc)2 3(bc)2
以3bc 3bc (bc)2 3bc(bc)2  ，即：
4 4 4
1
a2  (bc)2 bc4，又由两边之和大于第三边，所以2bc44abc6,所以 ABC周长的范
4围为(4,6].
【错因分析】本题如果是求 ABC周长的最大值，利用均值不等式是可以求解的，或者拿去限制条件锐角 ABC中的
锐角，该解法也是合理的，但是，从本题来看，考生完全忽略了锐角这个条件，由两边之和大于第三边，得到2bc，
只能说 ABC成立，构成一个三角形，但是无法说明是锐角三角形，说明2bc不适用本题的最后结论.特别提醒，
如果涉及到锐角三角形求周长取值范围，最通用的解法，就是边化角，利用正弦定理求解.
【动手实战】
1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在锐角 ABC中，向量m(a, 3b)与n(cosA,sinB)平行.
(1)求角A；
(2)若a=2，求 ABC周长的取值范围.
2．（2021·四川省资中县第二中学高三阶段练习（理））在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
B
acos bsinA．
2
(1)求B；
(2)若 ABC为锐角三角形，且b 3，求 ABC周长的取值范围．
3．（2021·广西·桂林市国龙外国语学校高三阶段练习（文））在锐角 ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且cbacosBbcosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a1，求 ABC周长的范围.
易错点 15．在ABC中忽视cosA0的解
例题1．（2022·福建福州·高三期末）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cacosBccosA.
(1)试判断 ABC的形状，并说明理由；
a
(2)设点D在边AC上，若ADBD，sinADBsinABC，求 的值.
b
【常见错解】对于第一问，常见错解如下：
(1)解：由已知条件，利用正弦定理可得sinCsin(AB)sinAcosBsinCcosA，
即sinAcosBcosAsinBsinAcosBsinCcosA，
所以cosAsinBsinCcosA，
所以sinBsinC，
所以B=C，
所以 ABC为等腰三角形.【错因分析】学生习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当abac(a0)此时，可以左右两边约去a，从
而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记，本题错误的把cosAsinBsinCcosA该式中
左右两边cosA约去，造成漏解.
第七章 复数 典型易错题集
易错点 1．忽视复数z abi是纯虚数的充要条件
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）求m为何实数时，复数zm2m6  m22m15  i是纯虚数；
【常见错解】若复数z为纯虚数，则m2m60解得m2或者m3
a0
【错因分析】对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数z abi为纯虚数 ，在本题中，
b0
zm2m6  m22m15  i，错解只考虑了实部m2m60，而忽略了考虑虚部m22m150而造成错解.
【动手实战】
1．（2022·湖南·高一课时练习）若复数z  a22a    a2a2  i对应的点在虚轴上，求实数a应满足的条件．
2．（2022·湖南·高一课时练习）当实数a为何值时，复数z  a22a3  a3i为纯虚数？
m2m6
3．（2019·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数z (m22m15)i（i是虚数单位），复数z
m2
是纯虚数，求实数m的值.
易错点 2．错误的理解复数比大小
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）求使不等式2  23  i  243  i10成立的实数的取值范围．
【常见错解】因为不等式2  23  i  243  i10成立，
2 10 1
所以 解得： 10  或3 10
(23)243 2
ac
【错因分析】对于复数abicdi错误的理解两个复数比大小，abicdi ，而造成错误，事实上，
bd
ac
两个复数不能直接比大小，但如果abicdi成立，等价于 ，本题是实数比较大小的惯性思维导致的错
bd 0
误.【动手实战】
1．（2021·全国·）设z m21(m2m2)i，z 4m2(m25m4)i，若z z ，求实数m的取值范围．
1 2 1 2
2．（2021·重庆市万州沙河中学）已知复数z(m28m15)(m27m12)i（其中i为虚数单位），当实数m为何值
时.复数z0.
3．（2021·上海师范大学第二附属中学）已知复数zm25m6  m2m2  i（i为虚数单位）．若z 0，求实数m
的值．
易错点 3．错误的惯性思维理解复数的模
例题1．（2022·福建宁德·模拟预测）复数z cosxisinx,z sinxicosx，则 z z _________．
1 2 1 2
【常见错解】z cosxisinx|z | cos2x(sinx)2 1，同样，z sinxicosx|z |= sin2x(cosx)2 1，所
1 1 2 2
以 z z |z ||z |1
1 2 1 2
【错因分析】错误的理解两个复数乘积的模等于两个复数模的积 z z |z ||z |而造成错解.
1 2 1 2
例题2．（2022·山东潍坊·高三期末）复数z满足zi2i（其中i为虚数单位），则 z ______．
2i
【常见错解】zi2iz= 12i，所以|z||1||2|3
i
【错因分析】错误的理解复数z abi的模|z||a||b|.
【动手实战】
2
1．（2022·北京师大附中高二期末）已知复数z ，则 z __________．
1i
易错点 4．误把复数当实数代入计算
例题1．（2021·全国·高一课时练习）已知z∈C，且 z22i  13，（i为虚数单位），则|z| =______.
max
【常见错解】因为 z22i  13，所以(z2)2 413解得：z 5或z 1，所以|z| 5.
max
【错因分析】本题是极易出错的题目，本题中，由题意知z∈C，而错解中，把z直接当实数参与了复数模的运算，而
造成错解，特别题型同学们，当题意出现z∈C，应首先设出复数z的代数形式：z abi，再代入运算求解.
【动手实战】ai
1．（2022·全国·高三专题练习）设a∈C，a≠0，化简： =______ .
1ai
z2 34i
2．（2021·全国·高三专题练习）设zC，且 i，其中i为虚数单位，则 的模为___________.
z2 z
3．（2021·全国·高二课时练习）设a,bC，则“ab0”是“ab”的______条件.
易错点 5．忽视了i2 1，习惯性的认为平方是正数
2i
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（理））复数 的共轭复数是__________．
2i1
2i 2i2i1 2i225i 45i 2i 45i
【常见错解】由题意得， ＝   ，所以 的共轭复数为
2i1 2i12i1 4i21 3 2i1 3
【错因分析】本题错解在于把i2 1代入计算了。
【动手实战】
3i
1．（2022·北京密云·高三期末）在复平面内，复数 对应的点为Z，则点Z的坐标为________．
2i
12i
2．（2021·天津红桥·高三期中）若i是虚数单位，则 的虚部为___________.
2i
2i
3．（2021·天津实验中学高三阶段练习）已知复数z ，则复数z的虚部为________
1i
易错点 6．复数三角形式的标准形式理解错误
例题1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
 π π  π π
A． 2cos isin  B． 2cos isin 
 6 6  6 6
 π π  π π
C． 2sin icos  D． 2cos isin 
 6 6  6 6
【常见错解】C
【错因分析】忽略了复数三角表示的标准形式：r(cosisin)，考生往往只注意到r0，没有注意其它要求，复数
三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）复数sin30 icos30 的三角形式为（ ）
A．sin30 isin30 B．cos240 isin240
C．cos30 isin30 D．sin240 icos240
  
2．（2021·上海·高一课时练习）复数z3cos isin 的三角形式为（ ）
 5 5       
A．3  cos isin  B．3cos isin 
  5  5  5 5
 4 4  6 6
C．3cos isin  D．3cos isin 
 5 5   5 5 
3．（2021·上海·高一单元测试）复数zisin10的三角形式为（ ）
A．cos10isin10 B．isin10
C．sin10cos90isin90 D．sin10cos0isin0
易错点 7．忽视复数zr(cosisin)在复平面的位置而求错argz.
1  2
例题1．（2021·全国·高一课时练习）设z 1 1 3i，z 2  2 z 1   ，则argz 2 （ ）
 4 11 5
A． B．  C．  D． 
3 3 6 3
3

1 1 2 1 3 b 2 
【常见错解】Az  z2  1 3i   i，tan   3，所以argz  .
2 4 1 4 2 2 a 1 2 3

2
b  1 3
【错因分析】本题在求辐角的主值时，直接利用公式tan  3，忽略了，复数对应的点 , 在第三象
 
a 2 2
 
限，而造成错解.
【动手实战】
1．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数zabi（a、bR，i为虚数单位）都可以写成zrcosisin的形式，
3 1
其中r a2b202该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数z  i，则z的辐角主
2 2
值为（ ）
  2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
3 1
2．（2021·山西怀仁·高一期中）已知复数z i .则argz（ ）
2 2
  5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
3．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）复数zsin50 icos50 的辐角主值是（ ）A．50 B．220 C．310 D．320
易错点 8．忽视复数z abi在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.
例题1．（2021·上海市延安中学高一期末）1 3i的三角形式是（ ）
 π π   2π  2π
A．2cos isin  B．2  cos isin 
 3 3   3   3 
 7π 7π  7π 7π
C．2sin icos  D．2cos isin 
 6 6   6 6 
b  3 
【常见错解】错解1：选A，由1 3i得：r 2，tan   3 ，根据复数三角形式的标准形式得：
a 1 3
 π π
zrcosisin，所以1 3i的三角形式是2cos isin ；
 3 3
 1 3   7π 7π
错解2：选D1 3i2    2  2 i   2  cos 6 isin 6   .
b  3 4
【错因分析】错解1中忽略了复数1 3i对应点Z(1, 3)在第三象限，所以由tan   3 ，错
a 1 3
 1 3   7π 7π
解1错在忽视了复数对应点的位置；错解21 3i2    2  2 i   2  cos 6 isin 6   ，记错了常见角三角函数值，注意
7 3 7 1
cos  ，sin  .
6 2 6 2
【动手实战】
      
1．（2021·全国·高一课时练习）下列表示复数1i的三角形式中① 2cos isin ；② 2

cos isin

；
 4 4   4 4
 9 9   3
③ 2cos isin ；④ 2cos isin ；正确的个数是（ ）
 4 4   4 4 
A．1 B．2 C．3 D．4
3 1
2．（2021·全国·高一课时练习）复数  i化成三角形式，正确的是（ ）
2 2
   
A．cos isin B．cos isin
3 3 6 6
2 2 11 11
C．cos isin D．cos isin
3 3 6 6
3．（2021·上海·高一课时练习）复数1 3i的三角形式是
 2 2  5 5
A．2cos isin  B．2cos isin 
 3 3   6 6  5 5  11 11
C．2cos isin  D．2cos isin 
 3 3   6 6 
1 3
4．（2021·陕西·西安市第八十九中学高二阶段练习（文））设复数z  i（i是虚数单位），则
2 2
z2z23z34z45z56z6 （ ）
A．6z B．6z2 C．6z D．6z
易错点 9．复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则
1．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
8cos240isin2402cos150isin150．
4(cos240isin240)
【常见错解】8(cos240isin240)2(cos150isin150)
cos150isin150
4(cos90isin90)4i
【错因分析】本题错解在于分母复数的三角形式没有化成标准形式：2cos150isin150，所以首先要将该式化成标
准式为：2cos(150)isin(150)，特别注意复数三角形式的标准形式特点：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）计算：
 π π  π π
(1)3cos isin 2cos isin 
 6 6  6 6
  π π   π π
(2) 6cos isin    3cos isin 
  3 3   6 6
 1 3   π π
(3)    i  cos isin 
 2 2   6 6
 π π
(4) 1icos isin 
 6 6
第八章 立体几何初步 典型易错题集
易错点 1．混淆斜二测画法中长度有变有不变
例题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，若三角形A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的
平面图形ABC的直观图.已知A'B' 4，C'A'B' 45，三角形A'B'C'的面积为2 2.则原平面图形ABC中BC的长度为
_________ .【常见错解】2 5
1
因为AB4，CAB45，且三角形ABC的面积为2 2，所以S  ABACsinBAC2 2，所以AC2，
A'B'C' 2
三角形ABC的原平面图形如下所示：
所以AC AC2，AB4且AC AB，所以BC AC2AB2 2 5；
故答案为：2 5
【错因分析】直观图还原原图时注意长度有变有不变：与x轴平行（重合）的线段长度不变；与y轴平行（重合）的
线段长度直观图是原图的一半.本题考生忽略了AC2AC4，长度应该变为原来的2倍.
【动手实战】
1．（2021·江西赣州·高二阶段练习（文））一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好
是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积_____2．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，
则△AOB的边OB上的高为____
易错点 2．混淆直观图和原图
例题1．（2021·江西·南昌市豫章中学高二开学考试（文））如下图，
ABC是ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中OBOC1，
3
OA ，那么 ABC的周长是________．
2
3
【常见错解】在OAC中，OC1,OA ,AOC45 ,
2
由余弦定理得：
61 61
AC2 OC2OA22OCOAcos45 ,得AC ；同理AB ;
2 2
61 61
所以周长为：  2 62
2 2
【错因分析】错把直观图直接当原图了，在遇到斜二测画法画出的直观图中，一定要注意题目问的是原图，还是直观
图，如果是原图，要先还原，再求解.
【动手实战】
1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图所示，Rt△A'B'C'为水平放置的 ABC的直观图，其中AC BC，BO3，
OC4，则 ABC的面积是______．2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知斜二测画法画出的 ABC的直观图 ABC是边长为a的正三角形，则
原 ABC的面积为____________．
3．（2022·全国·高一）如图所示， ABC表示水平放置的 ABC的斜二测画法下的直观图，AB在x轴上，BC与x轴
垂直，且BC 3，则 ABC的边AB上的高为______．
易错点 3．在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况
例题1．（2021·全国·高一课前预习）若直线l与平面内的一条直线平行，则l和的位置关系是（ ）
A．l B． l// C．l或l// D．l和相交【常见错解】A
【错因分析】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，忽略
了平面外这个重要条件，本题中直线l与平面内的一条直线平行，也可能l.
【动手实战】
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列结论错误的个数是（ ）
（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条；
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.
A．0 B．1 C．3 D．2
2．（2021·全国·高一课时练习）如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A．相交 B．b∥α C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
易错点 4．错误认为，无数等于所有
例题1．（2021·四川恩阳·高二期中）下列命题正确的是（ ）
A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直
B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合
D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
【常见错解】A
【错因分析】错误的认为与平面内无数条直线垂直，无数条，那不就是这个平面的所有直线，错误的认为无数等于所
有.
【动手实战】
1．（2022·山西太原·高三期末（文））设,为两个不同的平面，则∥的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．,垂直于同一平面
C．,平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·上海长宁·高二期末）已知直线a,b和平面，且b在上，a不在上，则下列判断错误的是（ ）
A．若a∥，则存在无数条直线b，使得a∥b
B．若a，则存在无数条直线b，使得ab
C．若存在无数条直线b，使得a∥b，则a∥
D．若存在无数条直线b，使得ab，则a
易错点 5．证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书写不
规范
例题1．（2022·四川省广安代市中学校高三阶段练习（文））如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，AB 3，
AD＝2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；
【常见错解】
∵ E，F分别为PC，PB的中点，∴ EF∥BC．
AD∥BC，所以EF∥AD，
∴ EF∥平面PAD；
【错因分析】证明过程中，只说明了EF∥AD，为能正确理解定理，在证明过程中一定要写明AD平面PAD，EF 
平面PAD这两句话，证明过程才完整.
【动手实战】
1．（2022·山西·临县第一中学高三开学考试（文））如图，四棱柱ABCDABCD 中，四边形AADD 为矩形，且平
1 1 1 1 1 1
1 
面AADD 平面ABCD，AB//CD，AB AD AA CD，DAB ，M，E分别为AD ，BC的中点．
1 1 1 2 2 1 1
(1)证明：ME//平面DCCD ；
1 1
2．（2020·四川恩阳·高二期中（文））如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDC，点E、F分别为
AD、PC的中点.
(1)证明：DF∥平面PBE；3．（2021·内蒙古·高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，梯形ABCD满足
BCCD1，AB∥CD，ABBC，M为AP的中点.
(1)求证：DM∥平面PBC；
易错点 6．忽略异面直线所成角的范围
例题1．（2021·四川省宜宾市第三中学校高二期中（理））直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ）
10 10 10 10
A． B． C． D．
5 5 10 10
【常见错解】 A 如图所示，直三棱柱ABCABC向上方补形为直三棱柱ABCABC，其中A，B，C分别为
各棱的中点，取BB的中点D ，可知CE//CD，异面直线CE与CA所成角即为CD与CA所成角.设CB2，则CD 5，
8521 10
CA2 2，AD 21，cosACD 
22 2 5 5

【错因分析】忽略了异面直线所成角的范围(0, ]，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.
2
【动手实战】
1．（2021·四川·泸县五中高二期中（文））空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，
PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．（2020·江苏如东·高一期中）如图，直三棱柱ABCABC 中，AA  AB AC BC，则异面直线AB 和BC 所成角
1 1 1 1 1 1
的余弦值为（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
3．（2020·内蒙古呼和浩特·一模（文））如图，已知正三棱柱ABCABC 的侧棱长为底面边长的2倍，M是侧棱CC
1 1 1 1
的中点，则异面直线AB 和BM所成的角的余弦值为（ ）
1
3 10 3 3 10 3
A． B． C． D．
20 16 20 16第九章 统计 典型易错题集
易错点 1．随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过
例题1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的
随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选
取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
【常见错解】C 按题意从第1行的第6列和第7列数字23开始，23,20,26,24,26，所以选C.
【错因分析】第三个选出来的编号26，第5次又重复选出该编号，造成的错误，正确的做法是第5次读到
26与前面编号重复，应该跳过，继续往右读，正确的第5个编号为25.
【动手实战】
1．（2021·江西景德镇·高一期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表
选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则
选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．15 C．16 D．19
2．（2022·江西赣州·高三期末（文））某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600
个零件进行001，002，…，599，600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表
中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．457 B．328 C．253 D．072
3．（2022·陕西榆林·高二期末（理））某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个
同学的成绩按01，02，03，……，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出
的第6个个体是（ ）
（注：如下为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13A．07 B．25 C．42 D．52
4．（2022·全国·高一）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一
个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名
学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取
两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
0154 3287 6595 4287 5346
7953 2586 5741 3369 8324
4597 7386 5244 3578 6241
A．13 B．24 C．33 D．36
易错点 2．忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错
例题1．（2022·福建漳州·一模）某校体育节10名旗手的身高分别为
175.0 178.0 176.0 180.0 179.0 175.0 176.0 179.0 180.0 179.0则中位数为___________.
179.0175.0
【常见错解】 177
2
【错因分析】直接在数据中取中间的两个数求平均值，忽略了中位数要从小到大排序，再求解.
【动手实战】
1．（2020·上海市沪新中学高三阶段练习）1、1、5、2、2这五个数的中位数是__________
2．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知1、2、a、b的中位数为3，平均数为3.5，则ab__________.
3．（2022·上海·高三专题练习）数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______.
易错点 3．样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律
例题1．（2021·上海交大附中高三开学考试）若x、x、x、 、x 的标准差为2，那么
1 2 3 314
3x 5、3x 5、 、3x 5的标准差为（ ）
1 2 314
A．18 B．14 C．6 D．3【常见错解】A
【错因分析】混淆方差和标准差，方差标准差变化规律如下：
x x x x 平均数x 方差S2 标准差S
1 2 3 n
ax b ax b ax b ax b axb a2S2 aS
1 2 3 n
显然错选A混淆了标准差和方差的变化规律.
【动手实战】
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知一组数据为：2，4，6，8，这4个数的方差为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·山东·广饶一中高一阶段练习）如果数据x
1
，x
2
，…，xn的平均值为x，方差为s2，则3x
1
+2、3x
2
+2、…、
3xn+2的平均值和方差分别是（ ）
A．x和s2 B．3x+2和9s2
C．3x+2和3s2 D．3x+2和9s2+2
3．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一阶段练习）若样本数据x ，x ，…，x 的平均数和标准差分别为
1 2 10
70，2，则数据2x -1，2x -1，…，2x -1的平均数和标准差分别为（ ）
1 2 10
A．139，2 B．139，4 C．140，2 D．139，3
4．（2020·新疆·乌市八中高二阶段练习）若数据x,x , x 的平均数为x，方差为s2，则
1 2 n
4x 3,4x 3, ,4x 3的平均数和标准差分别为（ ）
1 2 n
A．x，s B．4x-3，s C．4x-3，4s D．4x-3， 16s224s9
频率
易错点 4．误把频率分布直方图的高 当频率
组距
例题1．（2022·河南驻马店·高一期末）高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班30名学生的数学成
绩均在[100，150]（单位：分）内，根据统计的数据制作出频率分布直方图如右图所示，则图中的实数
a=__________【常见错解】2a3a7a6a2a1a0.05
【错因分析】忽略了在频率分布直方图中，高代表的意义，频率分布直方图中，每个矩形的面积之和等于1
【动手实战】
1．（2022·江西赣州·高三期末（理））某校为了了解全校高中学生五一参加劳动实践活动的情况，随机抽
查了100名学生，统计他们假期参加劳动实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图，估计这100名学
生参加劳动实践活动的时间的中位数是_________.
2．（2021·河南南阳·高一阶段练习）某蔬菜批发市场对该市场近100天的蔬菜销售量进行统计，制成的频
数分布条形图如下：(1)估计该市场近100天蔬菜销售量的平均值；
(2)按各销量对应的天数用分层随机抽样选出20天作进一步研究，求各销售量中相应取出的天数.
3．（2022·北京平谷·高二期末）某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该
路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图
所示频率分布直方图.则a________；这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有______辆.
易错点 5．总体百分位数忽略了将数据从小到大排序
例题1．（2021·云南·无高二阶段练习（文））数据8、6、5、2、7、9、12、4、12的第40百分位数是________．
【常见错解】因为90.43.6，故这组数据的第40百分位数是2.
【错因分析】未将原始数据从小到大排序而造成错误
【动手实战】
1．（2021·重庆复旦中学高二开学考试）已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第75
百分位数是_____．
2．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一阶段练习）某车间的工人某月生产某种产品质量(单位:kg)分别为
13，13.5，13.8，13.9，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，则第75百分位数为 _____________
3．（2021·江苏·金陵中学高一阶段练习）甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．
4．（2021·浙江台州·高一期末）某小区12户居民四月份月用水呈(单位：t)分别为：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
则所给数据的第75百分位数是__________.
易错点 6．频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误
例题1．（2022·北京昌平·高一期末）某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有
的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3，3,3.5，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.
由图中数据可知a________；估计全校高中学生中完成作业的平均时间__________.
【常见错解】求平均数0.750.11.250.41.750.52.250.62.750.33.250.13.95
【错因分析】错误理解平均数估计值，每个矩形中点横坐标乘以频率（小矩形面积）之和，错解中，将高
理解成频率.
【动手实战】
1．（2021·四川德阳·一模（文））随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或
者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习.某大学通过对本校准备保研或者考研的本科生每天课余学
习时间的调查，得到如图所示的频率分布直方图，通过该图的信息，我们可以得到被调查学生课余平均学
习时间为（ ）
A．7.38小时 B．7.28小时 C．8.23小时 D．8.12小时
2．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）某校统计了高二年级1000名学生的数学期末考试成绩，已
知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生期末成绩
的平均分估计值为______（精确到整数）3．（2022·河北·模拟预测）中国共产党建党100周年华诞之际，某社区响应党和国家的号召，通过“增强防
疫意识，激发爱国情怀”知识宣讲活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100
周年以来的丰功伟绩的传颂.现从参与宣讲者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分
布直方图如图所示，则估计参与者的平均年龄为___________岁.（每组数据以区间的中点值为代表）
易错点 7．频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替
例题1．（2018·四川·模拟预测（理））交通部门利用测速仪测得成绵高速公路绵阳段2018年元旦期间某时
段车速的数据（单位：km/h），从中随机抽取2000个样本，作出如图所示的频率分布直方图，则绵阳段车
速的中位数的估计值为_____．（精确到个位）【常见错解】第一个矩形面积S 0.1，第二个矩形面积S 0.3，第三个矩形面积S 0.35，
1 2 3
S S 0.10.30.5，S S S 0.10.30.350.5，所以中位数估计值在第三个矩形中，中位
1 2 1 2 3
数估计值为95.
【错因分析】错解中能正确判断中位数估计值在第三个矩形中，但是错误的理解为用矩形中点横坐标估计
中位数.
【动手实战】
1．（2020·湖北·二模（理））自湖北武汉爆发新冠肺炎疫情以来，武汉市医护人员和医疗、生活物资严重
短缺，其他兄弟省市纷纷驰援武汉等地.某运输队50辆汽车载满物资急赴武汉，如图是汽车经过某地时速度
的频率分布直方图，则这50辆汽车速度中位数的估计值是_______________.
2（2021·全国·高一单元测试）如图是我市某小区100户居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布
直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为 ___________．3．（2022·四川省通江中学高二开学考试（文））2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集
团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关
标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种
年龄的中位数为________．
易错点 8．在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好
例题1．（2015·福建龙岩·高三阶段练习（文））某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人
参加了5次考试，成绩如下：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩 82 87 86 80 90
乙的成绩 75 90 91 74 95
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，从最终能拿奖（90分以上，含90分）的角度看，你认为选谁
合适？
【常见错解】 x x 85，s 2 s 2 ，从稳定性角度选甲合适
甲 乙 甲 乙
8287868090
依题意有x  85
甲 5
7590917495
x  85 2分
乙 5
1 64
s 2  （ 8285）2（8785）2（8685）2（8085）2（9085）2
甲 5   5
1 382
s 2  （ 7585）2（9085）2（9185）2（7485）2（9585）2
乙 5   5
x x 85，s 2 s 2从稳定性角度选甲合适．
甲 乙 甲 乙
【错因分析】由x x 85，s 2 s 2，习惯性理解为方差越小越稳定，越好。但是本题考查的是从最终
甲 乙 甲 乙
能获奖的角度（也就是得分大于等于90分），如果选甲，只是更稳定的拿不到奖.
【动手实战】
1．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）中国射击队在东京奥运会上夺得了4金1银6铜共11枚奖牌，奖牌数
创造了中国射击队奥运参赛史的新高．某射击训练基地中A，B两位射击爱好者的10次射击成绩（满分10
环）如下表所示：
A 9 7 6 8 10 9 10 8 6 7B 7 6 8 8 9 10 9 7 8 8
(1)分别求A，B两位射击爱好者的10次射击成绩的平均数．
(2)该基地计划从A，B两位射击爱好者中选取一人代表基地参加射击比赛，以这10次射击成绩作为参考，
试问谁更适合代表基地参加比赛？
2．（2022·甘肃甘谷·高一期末）某单位需要选派一名职工去参加市工会组织的自行车争先赛，该单位对甲､
乙两名骑行爱好者进行了选拔测试，在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s），
其数据如下表所示：
甲 26 37 29 36 34 30
乙 32 28 37 33 27 35
分别求出甲､乙两名骑行爱好者最大速度的数据的平均数､方差，并以此为依据判断选谁参加比赛比较合适.第一章 空间向量与立体几何
易错点一：空间向量的加减运算
1．已知正方体ABCD-A B C D 中,AC 的中点为O,则下列命题中正确的是( )
1 1 1 1 1
A．OAOD与OB OC 是一对相等向量
1 1
B．OBOC与OA OD 是一对相反向量
1 1
C．OA OA与OCOC 是一对相等向量
1 1
D．OAOBOCOD与OA OB OC OD 是一对相反向量
1 1 1 1
2．已知在正方体ABCDABCD 中，P，M 为空间任意两点，如果PM PB 7BA6AA 4AD ，那么点M 必（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A．在平面BAD 内 B．在平面BAD内
1 1
C．在平面BAD 内 D．在平面ABC 内
1 1 1 1
3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①ABCB AC;②AC' ABB'C'CC';③AA'CC';④
ABBB'BCC'C AC'.
其中正确的是_____.
易错点二：空间向量的数量积
1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCDABCD 所有棱长都为1，且AADAAB60,DAB45,
1 1 1 1 1 1
则 BD （ ）
1
A． 31 B． 21 C． 3 2 D． 3 2
2．在空间直角坐标系Oxyz中，O(0,0,0),E(2 2,0,0),F(0,2 2,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|CO||CB|3，
1
若cosEF,BC ，，则OCOF （ ）
6
A．9 B．7 C．5 D．3
3．设a，b，c是单位向量，且ab＝0，则ac  bc  的最小值为__________．
易错点三：用空间基底表示向量
1．在三棱柱ABC ABC中，D是四边形BBCC的中心，且AA a,ABb,ACc，则AD（ ）
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A． a b c B． a b  c C． a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2．如图，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，若OAa，OBb，OCc，则BD等于（ ）
1 1 1 1
A． ab c B．abc C．abc D． ab c
2 2 2 2
3．如图，在空间四边形OABC中，M ，N 分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG3GN，用向量OA、
OB、OC表示向量OG，设OGxOAyOBzOC，则x、y、z的和为______.
易错点四：空间向量的坐标运算
2
1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且AC AB ,则点C的坐标为( )
3
7 1 5 3 7 5 7 3
A． ( , , ) B． ( ,3,2) C． ( ,1,1) D． ( , , )
2 2 2 8 3 2 2 2
2．已知P1,1,2，P 3,1,0、P0,1,3，则向量PP 与PP 的夹角是（ ）
2 3 1 2 1 3
A．30 B．45 C．60 D．90
 
3．如图，在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为D
1
C
1
，B
1
C
1
的中点，若以 AB,AD,AA
1
为基底，则向量AE的坐标
为___，向量AF的坐标为___，向量AC 的坐标为___.
1易错点五：空间向量运算的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，已知A1,2,3，B1,0,4，C3,0,5，D4,1,3，则直线AD与BC的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定
2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA·DB取最小值时，点D的坐标为
( )
4 4 4 8 4 8
A． , ,  B． , , 
3 3 3 3 3 3
4 4 8 8 8 4
C． , ,  D． , , 
3 3 3 3 3 3
3．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB  BC，BP＝(x1，y，－3)，且BP平面ABC，则实数xy________．
易错点六：空间位置关系的向量证明
1．已知正方体ABCDABCD ，E是棱BC的中点，则在棱CC 上存在点F，使得（ ）
1 1 1 1 1
A．AF//DE B．AF DE
1 1
C．AF//平面CDE D．AF 平面CDE
1 1 1 1
2a
2．在正方体ABCD-A B C D 中，棱长为a，M，N分别为A B和AC上的点，A M=AN= ，则MN与平面BB C C的位
1 1 1 1 1 1 1 1
3
置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3．若直线l 的方向向量为u =(1,3,2),直线l 上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.
1 1 2
易错点七：异面直线夹角的向量求法
1．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，
AD所成角的余弦值为30 30 30 30
A． B． C． D．
10 5 5 10
2．如图所示，在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，若E为D 1 C 1 的中点，则A 1  C 1 与 D  E 所成角的余弦值为（ ）
10 1 2 5
A． B． C． D．
10 3 4 5
1
3．在三棱锥OABC中，已知OA、OB、OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP BC，
2
1
AQ AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是___________.
2
易错点八：线面角的向量求法
1．如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，E为CC 的中点，则直线AB与平面BDE的夹角为（ ）
1 1 1 1 1 1
   5
A． B． C． D． 
6 3 2 6
2．在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，点M 为棱CC 的中点，则直线BM 与平面ADM 所成角的正弦值是（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
21 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角
是________．易错点九：面面角的向量求法
1．如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDABCD 为长方体，AA  AB2AD，点E，F 分别为CD ，
1 1 1 1 1 1 1
AB的中点，则二面角B ABE的余弦值为（ ）
1 1 1
3 3 3 3
A． B． C． D．
3 2 3 2
2．如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDABCD 为长方体， AA  AB2AD，点E为CD 的中点，则
1 1 1 1 1 1 1
二面角B ABE的余弦值为（ ）
1 1
3 3 3 3
A． B． C． D．
3 2 3 2

3．如图，在长方体ABCDABCD 中，AD AA 1，AB2，点E在棱AB上.若二面角D ECD的大小为 ，
1 1 1 1 1 1 4
则AE__________．第二章 直线和圆的方程
易错点一：两条直线平行和垂直的判定
1．若过点A(2,-2)，B(5,6)的直线与过点P(2m,1)，Q(-1,-m)的直线平行，则m的值为（ ）
5 1
A．-1 B．- C．2 D．
13 2
2．若直线a，b的斜率分别为方程x24x10的两个根，则a与b的位置关系为（ ）
A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定
3．经过点A(1,2)和点B(-3,2)的直线l 与经过点C(4,5)和点D(a,-7)的直线l 垂直，则a =________.
1 2
易错点二：直线的方程
1．在x轴和y轴上的截距分别为4和5的直线方程是（ ）
x y x y x y x y
A．  1 B．  1 C．  1 D．  1
5 4 4 5 4 5 5 4
2．直线(m2)x  m22m3  y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为（ ）
6 6
A． B．6 C． D．6
5 5
3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.
易错点三：两条直线的交点坐标
1．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
2．两条直线l ：x=2和l ：3x2y120的交点坐标是
1 2
A．(2,3) B．(2,3) C．(3,2) D．(3,2)
3．已知直线l :3x2y50与直线l :4xay110，且l l ，则直线l 与直线l 的交点坐标是______．
1 2 1 2 1 2
易错点四：两点间的距离公式
1．点P2,5为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是1,0，那么点M到原点O的距离为（ ）
A．41 B． 41 C． 39 D．39
2．光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为
A．5 2 B．2 5 C．5 10 D．10 5
3．已知点A2,1，点B5,1，则 AB ________．
易错点五：圆的方程1．以A3,1，B2,2
为直径的圆的方程是
A．x2y2xy80 B．x2y2xy90
C．x2y2xy80 D．x2y2xy90
2．圆x2y24x6y30的标准方程为（ ）
A．(x2)2(y3)2 16 B．(x2)2(y3)2 16
C．(x2)2(y3)2 16 D．(x2)2(y3)2 16
3．圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
易错点六：直线与圆的位置关系
1．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
2．已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1)2y2 5相切, 且与直线axy10垂直, 则a（ ）
1 1
A． B．1 C．2 D．
2 2
3．直线kxyk 0kR与圆x2 y2 2交点的个数为______.
易错点七：圆与圆的位置关系
1．圆M：x2+y2+4x＝0与圆N：(x+6)2+(y﹣3)2＝9的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．已知圆C ：x2+y2+2x﹣4y+4＝0，圆C ：x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0，则圆C 与圆C （ ）
1 2 1 2
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
3．已知圆C :x2y2 1，圆C :x2y22x2y10，则圆C 与圆C 的位置关系为______.
1 2 1 2第三章 圆锥曲线的方程
易错点一：利用椭圆定义求方程
1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方
程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． + ＝1 B． + ＝1 C． + ＝1 D． + ＝1
169 144 144 169 169 25 144 25
2．已知 ABC的两个顶点分别为A(4,0),B(4,0), ABC的周长为18，则点C的轨迹方程为
（ ）
x2 y2 y2 x2
A．  1(y0) B．  1(y0)
25 9 25 9
x2 y2 y2 x2
C．  1(y0) D．  1(y0)
16 9 16 9
3．已知圆F :(x2)2y2 36，定点F (2，0)，A是圆F 上的一动点，线段F A的垂直平分
1 2 1 2
线交半径FA于P点，则P点的轨迹C的方程是_____________.
1
易错点二：求椭圆的焦点
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于（ ）
A．1 B．±1 C．－1 D．±2
x2 y2
2．已知F,F 分别为椭圆  1的左，右焦点，A为上顶点，则△AFF 的面积为（ ）
1 2 1 2
16 9
A．6 B．15 C．6 7 D．3 7
x2 y2
3．设椭圆  1的短轴端点为B 、B ，F 为椭圆的一个焦点，则BFB ________.
1 2 1 1 1 2
12 9
易错点三：求椭圆的长轴、短轴
1．已知椭圆9x2+4y2＝36，则其长轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
2．椭圆x2my2 1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
1 1
A．2 B．4 C． D．
2 4
x2 y2
3．已知椭圆C:  1a1的左，右焦点分别为F ，F ，点A0,6，椭圆C短轴的
a2 a21 1 2
一个端点恰为△AFF 的重心，则椭圆C的长轴长为________.
1 2
易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
1．在Rt ABC中， AB  AC 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，另
一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e（ ）
RA． 3 2 B． 21 C． 31 D． 6  3
2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯
x2 y2
曲程度越小.已知椭圆C：  1（ab0）上点Px ,y 处的曲率半径公式为
a2 b2 0 0
3
x2 y2 2
Ra2b2  0  0  ．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆
a4 b4

C的离心率为（ ）
1 2 3 14
A． B． C． D．
2 2 2 4
x2 y2
3．已知椭圆M：  ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，若椭圆M与坐标轴
1 2
a2 b2
分别交于A，B，C，D四点，且从F ，F ，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个
1 2
直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为__．
51 31 3 2
① ；② ；③ ；④ ．
2 2 2 2
易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程
3
1．焦点在y轴上的椭圆mx2＋y2＝1的离心率为 ，则m的值为( )
2
A．1 B．2
C．3 D．4
2．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积
公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b，则椭圆的面积公式为S ab.若椭圆C的
3
离心率为 ，面积为8，则椭圆的C的标准方程为（ ）
2
x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2
A．  1或  1 B．  1或  1
16 4 16 4 16 12 16 12
x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2
C．  1或  1 D．  1或  1
12 4 12 4 16 9 9 16
x2 y2 10
3．已知焦点在x轴上的椭圆  1的离心率e ，则m的值为______．
5 m 5
易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
1．已知O为坐标原点，设F,F 分别是双曲线x2y2 1的左、右焦点，点P为双曲线左支
1 2
上任一点，自点F 作FPF 的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|
1 1 2
1
A．1 B．2 C．4 D．
2
Ry2
2．已知F是双曲线C：x2 1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐
3
标是(1，3)，则 APF的面积为
1 1
A． B．
3 2
2 3
C． D．
3 2
3．已知F ，F 分别为双曲线C：x2y2 1的左､右焦点，点P在C上，⊥F PF =60°，则|PF |·|PF |
1 2 1 2 1 2
等于________.
易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围
x2 y2
1．若方程  1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围为（ ）
9k k1
A．k 9 B．k 1
C．1k 9 D．k(1,5)(5,9)
x2 y2
2．已知方程  1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
1m m-2
A．(-1，+∞) B．(2，+∞)
C．(-∞，-1)⊥(2，+∞) D．(-1，2)
3．已知双曲线 的一个焦点 到其一条渐近线的距离为 ，则实数 的值是
_______．
易错点八：根据a,b,c求双曲线的标准方程
x2 y2
1．过双曲线C:  1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以C的
a2 b2
右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A､O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为（ ）
x2 y2
A． y2 1 B．x2 1
3 3
x2 y2 x2 y2
C．  1 D．  1
2 2 2 6
2．已知双曲线的渐近线方程为y=± 2x,焦点坐标为(- 6,0),( 6,0),则双曲线方程为( )
x2 y2 x2 y2
A．  =1 B．  =1
2 8 8 2
x2 y2 x2 y2
C．  =1 D．  =1
2 4 4 2
3．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F( 5,0)，点P在双曲线上，且线段PF 的中点坐
1 1
标为（0，2），则此双曲线的方程是________________.
易错点九：求双曲线的焦点坐标
Rx2 y2 x2 y2
1．已知双曲线C:  1a0,b0的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆  1有
a2 b2 8 2
公共焦点.则双曲线C的渐近线方程为（ ）
7 5
A．y x B．y 7x C．y x D．y 5x
7 5
x2 y2 1 1
2．过双曲线  1的一个焦点F作弦AB，则  的值等于（ ）
16 9 |AF| |BF|
9 8 4 2
A． B． C． D．
2 9 9 9
x2 y2
3．若双曲线  1的左焦点在抛物线y2 2px的准线上，则p的值为________.
5 4
易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
1．已知抛物线y2 2px(p0)的准线与圆(x3)2y2 16相切，则p的值为
1
A． B．1 C．2 D．4
2
2．以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x4y120上的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2 16y或y212x B．y2 16x或x2 12y
C．y2 16x或x2 12y D．x2 16y或y2 12x
x2 y2
3．若抛物线y2 2px的焦点与双曲线  1的右焦点重合，则实数p的值为____．
4 5
第四章 数列
易错点一：判断或写出数列中的项
1．已知数列 3, 5, 7,3, 11, , 2n1, 则 51是这个数列的（ ）
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第25项
2．已知数列a 的通项公式为a 2n1，则257是这个数列的（ ）
n n
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
3．已知数列2， 10 ，4，…， 23n1，…，则8是该数列的第________项
易错点二：判断等差数列
1．若a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是
n
 1 
A．  a2 B．  C．3a  D． a 
n a  n n
n
2．数列a 中，a 5，a a 3，那么这个数列的通项公式是（ ）
n 1 n1 n
A．3n1 B．3n2 C．3n2 D．3n1
R3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题）
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
B．数列a,a1,a2,a3是公差为1的等差数列；
C．等差数列的通项公式一定能写成a knb的形式(k，b为常数)；
n
D．数列2n1 nN
是等差数列．
易错点三：等差数列通项公式的基本两计算
1．在等差数列{a }中，a ＝2，d＝6.5，则a ＝（ ）
n 3 7
A．22 B．24 C．26 D．28
2．已知数列a 是等差数列，若a a a 15，a a 12，则a 等于（ ）
n 3 5 7 8 2 10
A．10 B．12 C．15 D．18
3．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________．
易错点四：利用等差数列的性质计算
1．在等差数列{a }中，a +a +a ＝6，则a +a ＝（ ）
n 3 4 5 1 7
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在等差数列a 中，a a 10，a a 14，则a a （ ）
n 2 5 3 6 5 8
A．12 B．22 C．24 D．34
3．在等差数列a 中，a a 4，那么a a a 等于______.
n 1 9 2 3 8
易错点五：等差数列前n项和的基本量计算
1．已知等差数列a 的前5项和为25，且a 1，则a （ ）
n 1 7
A．10 B．11 C．12 D．13
2．已知S 为等差数列a 的前n项和，若a a 4，S =21，则a 的值为
n n 2 5 7 7
A．6 B．7 C．8 D．9
a 5 S
3．设S 是等差数列a 的前n项和，若 6  ，则 11 =__________.
n n a 11 S
3 5
易错点六：等比数列通项公式的基本量计算
1．已知等比数列a 的前n项和为S ，公比为2，若S 15，则a 的值为（ ）
n n 4 6
A．16 B．32 C．48 D．64
2．已知等比数列a 的前n项和为S ，若S 3，S 21，则a （ ）
n n 3 6 1
A．2 B．1 C．1 D．2
S
3．设正项等比数列a 的公比为 q ，前n项和为S ，若 4 3，则q_______________.
n n S
2
易错点七：求等比数列前n项和
R2n1
1．已知数列a 的通项公式a  ，则数列a 的前5项和S 等于（ ）
n n 2n n 5
31 25 129 211
A． B． C． D．
32 16 32 32
2．等比数列a 的前n项和为S ，且4a ，2a ，a 成等差数列.若a 1，则S （ ）
n n 1 2 3 1 3
A．15 B．7 C．8 D．16
3．对于数列{a }，若点(n,a )(nN*)都在函数 f(x)2x的图象上，则数列{a }的前4项和S 
n n n 4
___________.
第五章 一元函数的导数及其应用
易错点一：平均变化率
1．设函数 f(x)x21，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
1
2．函数y 在x1到x3之间的平均变化率为（ ）
x
2 2 1 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
3．函数 f xlnx在区间1,e上的平均变化率为_________.
易错点二：瞬时变化率的概率及辨析
1．如果一个物体的运动方程为stt3t0，其中s的单位是千米，t的单位是小时，那
么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）
A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时
t3
2．已知某物体的运动方程是s t，则当t3s时的瞬时速度是
9
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
3．质点M 按规律stt12做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M 在t3s
时的瞬时速度为______（单位：m/s）.
易错点三：导数定义中极限的简单计算
f(x) f()
1．已知函数 f(x)asinx，且lim 2，则实数a的值为（ ）
x0 x
A．2 B．2 C．2 D．2
f(13x) f(1)
2．已知 f(1)1，lim 等于（ ）
x0 x
1
A．1 B．1 C．3 D．
3
Rf x 2x f x 
3．已知 fx 3，则lim 0 0 ______.
0
x0 x
易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）
1．已知函数 f xx32x，则 f x在点 1, f 1 处的切线的倾斜角为 （ ）
3   
A． B． C． D．
4 3 4 6
f 2x f 2x
2．设lim 2，则曲线y f x在点 2,f 2 处的切线的倾斜角是
x0 x
（ ）
  3 2
A． B． C． D．
4 3 4 3
1
3．已知函数 f x x3x23x1，则在曲线y f x的所有切线中，斜率的最大值为
3
______.
易错点五：基本初等函数的导数公式
1．若函数 f(x)3x1，则 fx（ ）
A．0 B．3x C．3 D．3
2．函数 f(x)3xln2的导数为（ ）
1 1
A．3xln3 B．3xln3 C．3x  D．3x
2 2
3．若 f xx2,gxx3，则满足 f(x)1g(x)的x值为________.
易错点六：导数的运算
1．已知函数 f(x)x22xxex，则 f(0)（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2
2．下列导数运算正确的是（ ）
1
A． 2x  x2x1 B．(sinxcosx1)cos2x C．(lgx)
x
D． x1  x2
3．已知函数 f(x)x2ex， f '(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为___________.
易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性
1．函数f (x)＝2x－sin x在(－∞,＋∞)上是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
2．已知 f(x)是定义在R上的函数 f(x)的导函数，且满足xf(x) f(x)0对任意的xR都成
立，则下列选项中一定正确的是（ ）
Rf(2) f(1) f(2) f(1)
A． f(1) B．  f(2) C． f(1) D．  f(2)
2 2 2 2
3．已知定义在0,上的函数 f(x)的导函数为 f '(x)，且满足 f '(x)x f(x)， f 30，
f(x)
则 0的解集为_________.
x
易错点八：求已知函数的极值
1
1．函数y＝x＋ (－2<x<0)的极大值为（ ）
x
A．－2 B．2
5
C．－ D．不存在
2
2．函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为（ ）
3
A．1 B．
4
1 1
C． D．
4 2
3．已知函数 f xxlnx，则y f x的极小值为______．
易错点九：由导数求函数的最值
1．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
2．关于函数 f(x)x3x，下列说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
3．已知函数 f(x)x22lnx，则 f(x)在[1,e]上的最大值是__________．
第六章 计数原理
易错点 1：分步标准不清致错
典例 甲、乙、丙、丁 4 名同学争夺数学、物理、化学 3
门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有 1 名冠军产生，则不同的冠
军获得情况共有__64__种．
易错点 2：忽视排列数公式的隐含条件致误
典例 解不等式 Ax<6Ax－2．
8 8
R8！ 8！
由排列数公式得 <6× ，化简得 x2－19x＋84<0，
8－x！ 10－x！
解之得 7<x<12．
∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11．
易错点 3：重复计数与遗漏计数致误
典例 6 个人站成前、中、后三排，每排 2 人，则不同的
排法有__720__种．
易错点 4：混淆“排列”与“组合”的概念致错
典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需
2 人参加，乙、丙各需 1 人参加，从 10 人中选派 4 人参加这三个会
议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．
易错点 5：计数时重复或遗漏致错
典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，
则恰好有 1 个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．
易错点 6：混淆项的系数与二项式系数
典例 设(x－ 2)n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系
数之比为 1∶2，求含 x2的项．
易错点 7：错用二项式系数的性质致误
典例 (1＋2x)20的展开式中，x 的奇次项系数的和与 x 的
偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．
第七章 随机变量及其分布列
易错点 1：误认为条件概率 P(B|A)与积事件的概率 P(AB)相同
典例 袋中装有大小相同的 6 个黄色的乒乓球，4 个白
色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取
到白球的条件下第二次取到黄球的概率．
易错点 2：概率计算公式理解不清而致误
R典例 (多选题)若 0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立
的为__BCD__．
PAB
A．P(A|B)＝
PA
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )
PBPA|B
D．P(A|B)＝
PAPB|A＋P A PB| A 
易错点 3：离散型随机变量的可能取值搞错致误
典例 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各
有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有
三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性
获得价值分别为 1 000 元，3 000 元，6 000 元的奖品(不重复得奖)用
X 表示小王所获奖品的价值，写出 X 的所有可能取值．
易错点 4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误
典例 若 X 是一个离散型随机变量，则 E(E(X)－X)＝
( A )
A．0 B．1
C．2E(X) D．不确定
易错点 5：要准确理解随机变量取值的含义
典例 某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，
今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数 X 的均
值和方差．
易错点 6：审题不清致误
典例 9 粒种子分别种在 3 个坑内，每坑放 3 粒，每粒种
子发芽的概率为 0.5，若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不
R需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每
个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．
易错点 7：对超几何分布的概念理解不透致错
典例 盒中装有零件 12 个，其中有 9 个正品，3 个次品，
从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得
正品为止．求在取得正品之前已取出次品数 X 的分布列．
易错点 8：对正态曲线的性质理解不准确致错
典例 设 ξ～N(1,4)，那么 P(5<ξ<7)＝__0.021_5__．
第八章 成对数据的统计分析
易错点 1：概念不清致误
典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x ，
1
y )，(x ，y )，…，(x ，y )(n≥2，x ，x ，…，x 不全相等)的散点图
1 2 2 n n 1 2 n
1
中，若所有样本点(x，y)(i＝1，2，…，n)都在直线 y＝ x＋1 上，则
i i 2
这组样本数据的样本相关系数为( D )
A．－1 B．0
1
C． D．1
2
易错点 2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．
典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下
表：
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
试建立 y 与 x 之间的经验回归方程．
易错点 3：没有准确掌握公式中参数的含义致误
典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成
R绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表
班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计
甲班 10 35 45
乙班 7 38 45
总计 17 73 90
试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？
R