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题目

对连续可微映射, 若只存在有限个点

使得

并且对每一个都有

是有界集. 证明:是满射.

分析

本题来自课程学员提问的谢惠民数学分析题, 需要你对点集拓扑语言足够熟练.

证明

设使得

注意是有界列, 从而有界, 因此存在收敛子列. 设

则

即是闭集.

注意一个基本事实. 对, 由隐函数定理得

所以

是有限集.

注意到连通但有开集无交并

所以

这就完成了证明.

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