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专题十七 角的旋转问题
1．已知∠AOB=40°．
1
(1)如图1，OC在∠AOB的内部，且∠AOC= ∠BOC，则∠BOC=______；
3
(2)如图2，∠AOC=20°,OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，
在旋转过程中，设运动的时间为t,ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范
1
围内时，∠AON− ∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大
4
于0°且不超过180°）．2．【问题提出】
如图1，∠AOB=2m°，∠COD=m°（m<90），OC在∠AOB内，OD在∠AOB外，OM平分
∠AOC，ON平分∠BOD，试探究∠MON和∠AOB的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化．如图2，若m=60，∠BOC=40°．
①直接写出∠COM的大小是_________，∠MON的大小是_________；
∠MON
②直接写出 的值．
∠AOB
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立；
【问题拓展】
如图3，∠AOB=90°，∠COD=45°，在∠COD绕着点O旋转一周的过程中，OM平分∠AOC，
ON平分∠BOD，当∠BOM=4∠CON时，直接写出∠BOC的大小．3．如图，O为直线EF上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角
尺的另一顶点落在直线EF上的B点．
(1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOB的度数；
(2)将直角三角尺ODC从图1的位置绕O点逆时针方向旋转a°(0<a<90)，若∠AOD=4∠AOC，
求∠DOB的度数；
(3)将直角三角尺ODC从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线ON在∠AOD内，射线
OM在∠AOC内，且∠AOD=n∠AON，∠AOC=n∠AOM，在转动过程中某个位置测得
∠MON=72°，则n=______．1
4．已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD:∠AOB=1:7，∠COD是∠AOB补角的 ．
2
（本题出现的角均指不大于平角的角）
(1)如图1，求∠COD的值；
(2)在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC=4∠MOB，求∠MOB的大小；
(3)如图2，若∠AOC=30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒
10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设
射线OD，OC运动的时间为t秒（0<t≤9），当|∠BOC−∠BOD|=50°时，请直接写出t的值
______．1
5．如图，已知∠COD= ∠AOB=α，射线OM平分∠COD，ON平分∠AOD．
2
(1)如图1，若OC与OB重合，α=20°，请补全图形并直接写出∠MON的度数为______°；(2)如图2，若∠MON=55°，求∠AOC的度数；
(3)若α=25°，将∠COD从图1的位置以每秒5°的速度绕点O逆时针方向旋转一周，经过______秒
能使∠MON=45°（直接写出结果）．
6．【问题背景】若∠AOB=130°，OD在∠AOB内部，∠COD=80°，OM，ON分别平分∠AOB和∠COD．
(1)如图1，当OA，OC重合时，则∠MON= °；
【问题一般化】
(2)如图2，在（1）的情形下，如果将∠COD绕点O点顺时针能转n（0°<n<155°），求∠MON
的度数（用含n的式子表示）；
【问题拓展化】
(3)如图3，在（1）的情形下，若∠AOB和∠COD的边OA、OD的位置不变．将OC绕着O点，以
每秒12°的速度沿顺时针方向旋转，同时将OB绕着O点，以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转，设
旋转时间为t，当t为何值时，∠MON=90°，请直接写出两个t的值．7．O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，
(1)在图1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数；(用含α的代数式表示)
(2)将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，
①探究∠AOC与∠DOE的度数关系，写出你得结论，并说明理由；
1
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足2∠AOF+∠BOE = (∠AOC−∠AOF)，试确定
3
∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．8．已知：如图1，∠AOB=30°，∠COB的补角是∠AOB的3倍，
(1)求∠AOC的度数；
(2)如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始
绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕
O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当
∠POQ=10°时，试求t的值；
(3)如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）9．已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再
以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线
OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．4
10．已知：如图1，∠AOB=30°，∠BOC= ∠AOC．
5
(1)求∠AOC的度数；(2)如图2，若射线OP在∠AOC内部，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∠MON的度数是多
少？
(3)如图3，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始
绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕
点O顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当
∠POQ=10°，试求t的值。
11．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，
请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋
转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，
OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为
（直接写出答案）．12．若两个角的和为60°，我们则称这两个角互为“幸运角”已知∠AOB=α(0°<α<30°)，
∠AOB与∠AOC互为“幸运角”， ∠AOB与∠AOD互补．
(1)如图，当点B在∠AOC的内部，且点B、点D在OA的同侧时：
①若∠BOC=10°，则α=______．
②若射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM=2∠AOM，求∠COM的度数（用含α的式子表
示）．
(2)直接写出∠COD所有可能的度数是______（用含α的式子表示）．13．已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（0<t<10），在旋
转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变
化，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．14．如图，在∠AOB=140∘内部存在∠COD=60∘，OE平分∠COD，OF平分∠AOB．
(1)当∠COD在∠AOB的内部，OE与OF不重合时．
①如图1若∠AOC=30∘，求∠EOF的角度．
②如图2，若40∘<∠AOC<70∘，画出图形并探究∠EOF与∠AOC−∠BOD的数量关系．
(2)如图3，若∠COD旋转到∠AOB的外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，则∠MON=
______15．已知∠AOB=120°，过O作射线OC，设∠AOC=α．将射线OC逆时针旋转一定的角度得到
射线OD．
(1)如图1，∠COD=60°(0°<α<60°)，则∠AOD+∠BOC=_______°．(2)如图2，∠COD=60°(60°<α<120°)，
① 直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系；
② 若OE平分∠BOC，求∠DOE与∠AOC的数量关系．16．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，
∠D=30°，∠E=∠B=45°）．
(1)若∠DCE=40°，则∠ACB的度数为__________；若∠ACB=130°，则∠DCE的度数为
_________；
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)将三角板ECB在平面内绕点C旋转，分别作∠ACE和∠DCE的平分线CM、CN，则∠MCN的
度数为____________（直接写出结果）．17．如图，∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD（本题中
的角均为大于0°且小于180°的角）．
(1)如图，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；
(2)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<40)时，∠AOE−∠BOF的值是否为定
值？若是定值，求出∠AOE−∠BOF的值，若不是，请说明理由．
(3)当∠COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度(0<n<220)时，∠AOE与∠BOF具有怎样的
数量关系？18．若∠A+2∠B=90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1=10°，∠2=40°，则
∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”．
(1)如图1，已知∠AOB=60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配
角”，此时∠AOC=______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知∠AOB=60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得
∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小：
(3)如图3，若∠AOB=10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕
点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t
秒（0<t≤20）．
①当0<t<17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值：
②当17<t≤20时，t=______时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）．参考答案
1．(1)30°
(2)80°
1 1
(3)当0≤t≤12时，∠AON− ∠BOM是定值，5°；当12＜t≤36时，∠AON− ∠BOM是定
4 4
值，5°
【分析】本题考查了角的和差倍分计算，构造一元一次方程计算是解题的关键．
1
(1)根据∠AOC= ∠BOC，设∠AOC=x°，则∠BOC=3x°．根据∠AOB=∠BOC+∠AOC
3
列出方程求解即可．
(2)根据ON是∠MOC四等分线，设∠NOC=x°，则∠MOC=4x°．根据题意列出方程求解即可．
(3)根据题意，∠BOM=(5t)°，则∠MOC=60°−∠BOM=60°−(5t)°，根据ON是∠MOC四
等分线．根据题意列出方程求解即可．
1
【详解】（1）∵∠AOC= ∠BOC，
3
设∠AOC=x°，则∠BOC=3x°．
∵∠AOB=∠BOC+∠AOC，∠AOB=40°，
∴3x+x=40，
解得x=10，
故∠BOC=30°，
故答案为：30°．
（2）∵ON是∠MOC四等分线，设∠NOC=x°，则∠MOC=4x°，
∠AON=∠AOC−∠NOC=(20−x)°
∴4∠AON+∠COM=4(20°−x)+4x=80°．
（3）根据题意，∠BOM=(5t)°，则∠MOC=60°−∠BOM=60°−(5t)°，∵ON是∠MOC四等分线，
(60−5t)°
∴∠NOC=
4
(60−5t)° 5t
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=20°− = +5°
4 4
1 5t 5t
∴∠AON− ∠BOM= +5°− =5°．
4 4 4
1
故当0≤t≤12时，∠AON− ∠BOM是定值，5°；
4
当12＜t≤36时，根据题意，∠BOM=(5t)°，则∠MOC=∠BOM−60°=(5t)°−60°，
∵ON是∠MOC四等分线，
(5t−60)°
∴∠NOC=
4
(5t−60)° 5t
∴∠AON=∠AOC+∠NOC=20°+ = +5°
4 4
1 5t 5t
∴∠AON− ∠BOM= +5°− =5°．
4 4 4
1
故∠AON− ∠BOM是定值，5°
4
1 1
当0≤t≤12时，∠AON− ∠BOM是定值，5°；当12＜t≤36时，∠AON− ∠BOM是定值，
4 4
5°．
∠MON 3
2．【问题探究】（1）①40°，90°；② = ；（2）证明见解析；【问题拓展】∠BOC的
∠AOB 4
大小为30°，54°，126°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关
键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
问题探究：
（1）①首先求得∠AOC的值，再结合角平分线的定义即可确定∠COM的度数；求得
∠BOD=20°，结合角平分线的定义易得∠BON=10°，然后由∠MON=∠COM+∠BOC+∠BON求解即可；结合∠MON和∠AOB的值直接求解即可；
3
（2）结合题意即角平分线的定义可得∠MON = m°，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可；
2
问题拓展：
设∠BOC=x°，在∠COD绕着点O旋转一周过程中，分情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：问题探究：
（1）①∵m=60，
∴∠AOB=2m°=120°，∠COD=60°，
又∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−40°=80°，
∵OM平分∠AOC，
1 1
∴∠COM= ∠AOC= ×80°=40°；
2 2
∵∠BOD=∠COD−∠BOC=60°−40°=20°，
又∵ON平分∠BOD，
1 1
∴∠BON= ∠BOD= ×20°=10°，
2 2
∴∠MON=∠COM+∠BOC+∠BON=40°+40°+10°=90°，
∠MON 90° 3
∴ = = ；
∠AOB 120° 4
②证明：∵∠AOB=2m°，∠COD=m°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1
∴∠COM= ∠AOC
2
1
= (∠AOB−∠BOC)
2
1
= (2m°−∠BOC)，
21
∠BON= ∠BOD
2
1
= (∠COD−∠BOC)
2
1
= (m°−∠BOC)，
2
∴∠MON=∠COM+∠BOC+∠BON
1 1
= (2m°−∠BOC)+∠BOC+ (m°−∠BOC)
2 2
3
= m°，
2
3
m°
∴∠MON 2 3；
= =
∠AOB 2m° 4
（2）设∠BOC=x°，分三种情况讨论：
①如下图，
∵∠AOB=90°，∠COD=45°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠COM−∠BOC
1
= ∠AOC−∠BOC
2
1
= (∠AOB+∠BOC)−∠BOC
2
1
= (90°+x°)−x°
2
1
=45°− x°，
2∠CON=∠BON−∠BOC
1
= ∠BOD−∠BOC
2
1
= (∠COD+∠BOC)−∠BOC
2
1
= (45°+x°)−x°
2
1
=22.5°− x°，
2
∵∠BOM=4∠CON，
1 1
∴45°− x°=4(22.5°− x°)，
2 2
解得x=30，即∠BOC=30°；
②如下图，
∵∠BOM=∠AOB−∠AOM
1
=90°− ∠AOC
2
1
=90°− (∠AOB+∠BOC)
2
1
=90°− (90°+x°)
2
1
=45°− x°，
2
∠CON=∠BOC−∠BON1
=x°− ∠BOD
2
1
=x°− (∠COD+∠BOC)
2
1
=x°− (45°+x°)
2
1
= x°−22.5°，
2
∵∠BOM=4∠CON，
1 1
∴45°− x°=4( x°−22.5°)，
2 2
解得x=54，即∠BOC=54°；
③如下图，
∵∠BOM=∠AOB+∠AOM
1
=90°+ ∠AOC
2
1
=90°+ (360°−∠AOB−∠BOC)
2
1
=90°− (360°−90°−x°)
2
1
=225°− x°，
2
∠CON=∠BOC−∠BON1
=x°− ∠BOD
2
1
=x°− (∠COD+∠BOC)
2
1
=x°− (45°+x°)
2
1
= x°−22.5°，
2
∵∠BOM=4∠CON，
1 1
∴225°− x°=4( x°−22.5°)，
2 2
解得x=126，即∠BOC=126°．
综上所述，∠BOC的大小为30°，54°，126°．
3．(1)150°
(2)当∠AOD=4∠AOC时，∠BOD为162°或150°．
5 15
(3)n的值为 或 ．
4 4
【分析】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本
题的关键．
（1）先求解∠AOD=90°−30°=60°，再利用角的和差关系可得答案；
（2）分两种情况讨论：先分别画出图形，再结合角的和差运算计算即可；
（3）分情况讨论，先画出图形，再结合图形与角的和差运算建立简单方程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=90°−30°=60°，
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=90°+60°=150°；
（2）∵∠BOD=150°，∴∠DOE=30°，
如图，
当∠AOD=4∠AOC时，
4
∴∠AOD=90°× =72°，
5
∴∠BOD=90°+72°=162°，
如图，
当∠AOD=4∠AOC时，
1
∴∠AOC= ×90°=30°，
3
∴∠AOD=90°+30°=120°，
∴∠BOD=360°−120°−90°=150°；
综上：当∠AOD=4∠AOC时，∠BOD为162°或150°．
（3）如图，∵∠AOD=n∠AON，∠AOC=n∠AOM，
∴∠AOD+∠AOC=n(∠AON+∠AOM)=n∠MON=90°，
∵∠MON=72°，
90 5
∴n= = ，
72 4
如图，
∵∠AOD=n∠AON，∠AOC=n∠AOM，
∴∠AOD−∠AOC=90°=n(∠AON−∠AOM)=n∠MON，
∵∠MON=72°，
90 5
∴n= = ，
72 4
如图，∵∠AOD=n∠AON，∠AOC=n∠AOM，
∴∠AOD+∠AOC=360°−90°=270°，
∴n(∠AON+∠AOM)=270°，即72°n=270°，
15
解得：n= ，
4
如图，
∵∠AOD=n∠AON，∠AOC=n∠AOM，
∴∠AOC−∠AOD=90°，
∴n(∠AOM−∠AON)=90°，即72°n=90°，
5
解得：n= ，
4
5 15
综上：n的值为 或 ．
4 44．(1)∠COD的值为20°；
(2)∠MOB的大小为24°或40°，过程见解析；
7 35
(3) 或
2 9
【分析】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解；
（2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求∠COB的大小，分射线OM在∠COB内部；射线
OM在∠COB外部，两种情况进行讨论，（3）根据题意列出∠BOC和∠BOD关于时间t的关系式，
再应用绝对值的化简规则进行求解．
【详解】（1）∵∠COD:∠AOB=1:7
∴∠AOB=7∠COD；
1
又∵∠COD是∠AOB补角的 ，
2
∴2∠COD+∠AOB=180°，即2∠COD+7∠COD=180°，
∴∠COD=20°，∠COB=7∠COD=7×20°=140°，
故∠COD的值为20°；
（2）∵OC平分∠AOD，∠COD=20°，
∴∠AOC=∠COD=20°，∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−20°=120°，
当射线OM在∠COB内部时，
∵∠MOC=4∠MOB ∠MOC+∠MOB=∠COB=120°
， ，
∴∠4MOB+∠MOB=120°，
∴∠MOB=24°，当射线OM在∠COB外部时，
∵∠MOC=4∠MOB
，
∠MOC−∠MOB=∠COB=120°，
∴∠4MOB−∠MOB=120°，
∴∠MOB=40°，
故∠MOB的大小为24°或40°；
（3）当OC顺时针旋转时，
∠BOC=110°−30°t，
∠BOD=90°−10°t，
代入|∠BOC−∠BOD|=50°，
|110°−30°t−(90°−10°t)|=50°，即|20°−20°t|=50°，
去绝对值符号：20°−20°t=50°或−(20°−20°t)=50°，
3 7
t=− （舍）或t= ，
2 2
当OC逆时针旋转时，
55°
∠BOC=− +5°t，
3
∠BOD=90°−10°t，
代入|∠BOC−∠BOD|=50°，
| 55° | | 325°|
− +5°t−(90°−10°t) =50°，即 15°t− =50°，
3 3325° ( 325°)
去绝对值符号：15°t− =50°或− 15°t− =50°，
3 3
95 35
t= （舍）或t= ，
9 9
7 35
故答案为： 或 ．
2 9
【点睛】本题考查了角度的比例关系，补角的计算，绝对值的化简，几何图形中角度的运算，解题
的关键是：（1）根据比例关系和补角的定义列式，（2）分情况讨论射线OM可能存在的位置，
（3）正确列出角关于运动时间t的关系式，熟练应用绝对值的化简进行求解．
5．(1)20
(2)∠AOC=110°；
(3)8或44
【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，解一元一次方程的应用．
（1）求得∠COD=20°，∠AOB=40°，∠AOD=60°，根据角平分线的定义求得∠DOM和
∠DON的度数，据此求解即可；
1 1
（2）根据角平分线的定义以及角的和差求得∠AON=∠DON=55°+ α，∠CON=55°− α，
2 2
据此求解即可；
（3）分当∠COD在OA的上方和∠COD运动到OA的下方时两种情况讨论，画出图形，列方程求
解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图，
1
∵∠COD= ∠AOB=α，α=20°，
2∴∠COD=20°，∠AOB=40°，
∵∠AOD=60°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOD，
1 1
∴∠DOM= ∠COD=10°，∠DON= ∠AOD=30°，
2 2
∴∠MON=30°−10°=20°，
故答案为：20；
（2）解：∵∠COD=α，OM平分∠COD，
1
∴∠COM=∠DOM= α，
2
1
∴∠DON=55°+ α，
2
∵ON平分∠AOD，
1 1
∴∠CON=∠MON−∠COM=55°− α，∠AON=∠DON=55°+ α，
2 2
1 1
∴∠AOC=∠CON+∠AON=55°− α+55°+ α=110°；
2 2
（3）解：设∠COD运动的时间为t秒，
当∠COD在OA的上方时，如图，
1
∵α=25°，∠COD= ∠AOB=α，
2
∴∠COD=25°，∠AOB=50°，
∴∠AOD=50°+5°t+25°=75°+5°t，1
∴∠DON= ∠AOD=37.5°+2.5°t，
2
1
∠DOM= ∠COD=12.5°，
2
由题意得37.5°+2.5°t−12.5°=45°，
解得t=8；
当∠COD运动到OA的下方时，如图，
∠AOD=360°−50°−5°t−25°=285°−5°t
，
1
∴∠DON= ∠AOD=142.5°−2.5°t，
2
1
∠DOM= ∠COD=12.5°，
2
由题意得142.5°−2.5°t+12.5°=45°，
解得t=44；
综上，经过8秒或44秒能使∠MON=45°．
故答案为：8或44．
6．(1)25
(2)∠MON=n+25°
130 490
(3) ， （答案不唯一）
27 27【分析】（1）根据角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）由旋转可得∠AOC=n，用含n的式子表示出∠AON，再根据∠MON=∠AOM−∠AON
即可求解；
（3）根据题意得出OM和ON的旋转角度及方向，当OM和ON的旋转角度之和加上∠MON的初始
角度等于90°的奇数倍时，∠MON=90°．
【详解】（1）解：当OA，OC重合时，
∵ OM，ON分别平分∠AOB和∠COD，
1 1 1 1
∴ ∠AOM= ∠AOB= ×130°=65°，∠AON= ∠COD= ×80°=40°，
2 2 2 2
∴ ∠MON=∠AOM−∠AON=65°−40°=25°，
故答案为：25；
（2）解：将∠COD绕点O点顺时针能转n（0°<n<155°），则∠AOC=n，
如图，
∵ OM ON ∠AOB ∠COD
， 分别平分 和 ，
1 1 1 1
∴ ∠AOM= ∠AOB= ×130°=65°，∠CON= ∠COD= ×80°=40°，
2 2 2 2
∴ ∠AON=∠CON−∠AOC=40°−n，
∴ ∠MON=∠AOM−∠AON=65°−(40°−n)=n+25°；
（3）解：∵ OM平分∠AOB，OA的位置不变，OB绕着O点以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转，
15°
∴ OM绕着O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转，
2
∵ ON平分∠COD，OD的位置不变，将OC绕着O点以每秒12°的速度沿顺时针方向旋转，12°
∴ ON绕着O点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，
2
由（1）知，旋转前∠MON=25°，
∴旋转时间为t时，OM和ON的旋转角度之和加上∠MON的初始角度为：
15° 12°
25°+ t+ t=(25+13.5t)°，
2 2
由题意知，当(25+13.5t)°等于90°的奇数倍时，∠MON=90°，
即25+13.5t=90(2n+1)（n为非负整数），
360n+130
解得t= （n为非负整数），
27
130
当n=0时，t= ，
27
490
当n=1时，t= ．
27
【点睛】本题考查角平分线的定义，角的和差关系，解一元一次方程等，第3问有一定难度，解题
的关键是得出OM和ON的旋转角度及方向．
1
7．(1)∠DOE= α
2
(2)①∠AOC=2∠DOE，理由见解析；②7∠AOF−5∠DOE=270°
【分析】此题考查的知识点是角平分线的定义及角的计算；
（1）由已知可求出∠BOC=180°−∠AOC，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE
1
的度数，可得出结论∠DOE= ∠AOC，从而用含α的代数式表示出∠DOE的度数；
2
（2）①由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，则得
∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−2（90°−∠DOE），从而得出∠AOC和
∠DOE的度数之间的关系；
②由①求出的∠AOC和∠DOE的度数之间的关系代入②的算式，再用含有∠DOE的式子表示∠BOE，化简即可．
1 1 1
【详解】（1）解：∠DOE=90°−∠COE=90° − ∠BOC=90° − (180°−α) = α；
2 2 2
1
即∠DOE = α；
2
（2）①设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=x，
∴∠AOC=180°−2x，
∵∠DOE=90°−x，
∴∠AOC=2∠DOE；
1
②∵2∠AOF+∠BOE = (∠AOC−∠AOF)，
3
∴6∠AOF+3∠BOE=∠AOC−∠AOF，
∴7∠AOF+3∠BOE=∠AOC，
∵∠AOC=180°−2x，∠BOE=x，∠DOE=90°−x，
∴x=90°−∠DOE，
∴7∠AOF+3(90°−∠DOE)=180°−2(90°−∠DOE)
∴7∠AOF=270°+5∠DOE，
∴7∠AOF−5∠DOE=270°．
8．(1)120°
(2)5，10，12.5或13.75
(3)60°或120°
【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键．
1
（1）由题意可得，∠AOB= ∠AOC，可直接求解；
4
（2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①OP逆时针运动时，OP，OQ相遇前和相遇后；
②OP顺时针旋转，OP，OQ相遇前和相遇后，分别画图求解即可；
（3）根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，②当射线OP与OA重合后，
∠AOP=180°前，③∠CON=180°前，④OP与OQ重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．
3
【详解】（1）解：（1）∠BOC= ∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，
4
1
∴∠AOB= ∠AOC，
4
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=120°；
（2）由（1）知，∠AOC=120°，∠BOC＝90°，
①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，
由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，
OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即
10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，
OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，
解得t=10；
②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t−120°，∠BOQ=6°t，OP OQ
， 相遇前，如图（3），
∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t−120°+6°t+10°，解得t=12.5，
OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC=∠COP+∠BOQ−∠POQ，即
90°=10°t−120°+6°t−10°，解得t=13.75，
综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ＝10°．
（3）由（1）知∠AOC=120°，
根据射线OP的运动，需要分四种情况，
①当射线OP与OA重合前，如图3（1），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
1 1
∴∠POM= ∠AOP，∠PON= ∠COP，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠POM+∠PON= ∠AOP+ ∠COP= ∠AOC=60°；
2 2 2
②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
1 1
∴∠POM= ∠AOP，∠PON= ∠COP，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠POM−∠PON= ∠AOP− ∠COP= ∠AOC=60°；
2 2 2③∠CON＝180°前，如图3（3），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
1 1
∴∠POM= ∠AOP，∠PON= ∠COP，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠POM+∠PON= ∠AOP+ ∠COP= (360°−∠AOC)=120°；
2 2 2
④OP与OQ重合前，如图3（4），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
1 1
∴∠POM= ∠AOP，∠PON= ∠COP，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠PON−∠POM= ∠COP+ ∠AOP= ∠AOC=60°；
2 2 2
综上，∠MON的度数为60°或120°．
9．(1)∠AOD+∠BOC=170°
(2)∠MON的大小为65°
8 5
(3)t的值为5或11或16 或19
9 9
【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；
1 1 1
（2）根据角平分线的定义得到∠AON= AOD，∠BOM= ∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-
2 2 2
(∠AOD+∠BOC)，计算可得；（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后
返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．
【详解】（1）解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；
（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
1 1
∴∠AON= AOD，∠BOM= ∠BOC，
2 2
1
∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB- (∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°；
2
（3）当OC未到达OB时，分两种情况：
①如图：
此时30t+20-10t=120，
解得t=5；
②如图：
360-30t-20+10t=120，
解得t=11；
当OC到达OB后返回时，分两种情况：①如图：
此时30t-360-（300-15t-20）=120，
8
解得t=16 ；
9
②如图：
此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，
5
解得t=19 ，
9
8 5
综上，t的值为5或11或16 或19 ．
9 9
【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式
表示旋转角的度数．
10．(1)150°
(2)75°
65 35
(3)t的值可为5或10或 或
4 2【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中
根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键．
4
（1）根据∠AOB=30°，∠BOC= ∠AOC，进行求解即可；
5
（2）根据角平分线的定义进行求解即可；
（3）分四种情况进行讨论：当OP、OQ同向运动追及前，当OP、OQ同向运动追及后，当OP、
OQ反向运动相遇前，当OP、OQ反向运动相遇后，分别求出结果即可．
4
【详解】（1）解：∵∠BOC= ∠AOC，
5
1
∴∠AOB= ∠AOC，
5
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=5∠AOB=150°．
（2）解：∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
1 1
∴∠POM= ∠AOP，∠PON= ∠COP，
2 2
∴∠MON=∠POM+∠PON
1 1
= ∠ACP+ ∠COP
2 2
1
= (∠AOP+∠COP)
2
1
= ∠AOC，
2
∵∠AOC=150°，
∴∠MON=75°．（3）
解：①当OP、OQ同向运动追上前，
∵∠AOQ=∠BOQ+∠AOB=6t°+30°，∠AOP=10t°，
∵∠POQ=10°，
∴6t+30−10t=10，
解得：t=5；
②当OP、OQ同向运动追上后，
∵∠POQ=∠AOP−∠AOQ，
∴10t−(6t+30)=10，
解得：t=10；
③当OP、OQ相向运动相遇前，∠POQ=∠COQ−∠COP，
∠COP=10t°−150°，∠COQ=150°−30°−6t°=120°−6t°，
∴120−6t−(10t−150)=10，
65
解得：t= ；
4
④当OP、OQ相向运动相遇后，∠POQ=∠COP−∠COQ，
10t−150−(120−6t)=10，35
解得：t= ；
2
65 35
综上所述，t的值可为5或10或 或 ．
4 2
11．(1)60°，120°
(2)∠DOM+∠AON+∠BOC=180°
120 40 840
(3)t= 或t= 或t=
13 3 13
【分析】(1)设∠AOD＝2∠BOC=2x，根据∠AOD+∠BOC=180°，列方程 求 解 即 可．
(2)画出图形，根据∠AOD＝2∠BOC，则∠COD+∠BOA=∠BOC，根据互余性质，列方程 求 解 即
可．
(3)画出图形，分OB、OC都没有转过OE线，OB、OC都转过OE线和OB转过一周后三种情况求解．
【详解】（1）设∠AOD＝2∠BOC=2x，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴2x+x=180，
解得x=60°，2x=120°，
故∠AOD=120°，∠BOC=60°．
（2）画图如下：
作OM⊥OC，垂足为O，ON⊥OB，垂足为O，∴∠DOM=90°-∠COD ，∠AON=90°-∠BOA，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴∠COD+∠BOA=∠BOC，
∴90°-∠DOM+90°-∠AON=∠BOC，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC=180°．
（3）如图1，当OB、OC都没有转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠BOE=60°-6t＜∠COE=60°-5t，
∴∠BOE=60°-6t，∠BOC=120°-6t-5t=120°-11t，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，∴∠BOC=4∠BOE，
∴120°-11t=4(60°-6t)，
120
解得t= ；
13
如图2，当OB、OC都转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠COE=5t-60°＜∠BOE=6t-60°，
∴∠BOC=120°-(120°-6t)-( 120°-5t)= 11t -120°，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，
∴∠BOC=4∠COE，
∴11t -120°=4(5t-60°)，
40
解得t= ；
3
如图3，当OB转过一周后，此时，∠COE=360°-5t+60°=420°-5t，∠BOE=60°-(6t-360°)= 420°-6t，
∴∠BOC=∠COE +∠BOE =840°-11t，
∴840°-11t =4(420°-6t)，
840
解得t= ；
13
120 40 840
综上所述，当t= 或t= 或t= 时，符合题意．
13 3 13
【点睛】本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一
元一次方程是解题的关键．
2
12．(1)①25°；② α
3
(2)120°或240°−2α
【分析】（1）①根据题意可得∠AOC=α+10°，再由“幸运角”的定义可得
∠AOB+∠AOC=60°，即可求解；②根据补角的性质可得∠AOD=180°−α，再由“幸运角”
1
的定义可得∠AOC=60°−α，然后根据∠DOM=2∠AOM，可得∠AOM= ∠AOD，即可求
3
解；
（2）根据补角的性质可得∠AOD=180°−α，再由“幸运角”的定义可得∠AOC=60°−α，然
后分四种情况：当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的同侧时；当OB在∠AOC的内部，点B，
D在OA的两侧时；当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的同侧时；当OB在∠AOC的外部，点
B，D在OA的两侧时，即可求解．
【详解】（1）解：①∵∠AOB=α,∠BOC=10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+10°，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC=60°，
即α+α+10°=60°，解得：α=25°，
故答案为：25°
②∵∠AOB与∠AOD互补，∠AOB=α，
∴∠AOD=180°−α，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC=60°，
∴∠AOC=60°−α，
∵射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM=2∠AOM，
1 1 1
∴∠AOM= ∠AOD= (180°−α)=60°− α，
3 3 3
∴∠AOC<∠AOM，
( 1 ) 2
∴∠COM=∠AOM−∠AOC= 60°− α −(60°−α)= α；
3 3
（2）解：∵∠AOB与∠AOD互补，∠AOB=α，
∴∠AOD=180°−α，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC=60°，
∴∠AOC=60°−α，
当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的同侧时，
∠COD=∠AOD−∠AOC=(180°−α)−(60°−α)=120°；
当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的两侧时，∠COD=∠AOC+∠AOD=(60°−α)+(180°−α)=240°−2α
；
当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的同侧时，
∠COD=∠AOC+∠AOD=(60°−α)+(180°−α)=240°−2α
；
当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的两侧时，
∠COD=∠AOD−∠AOC=(180°−α)−(60°−α)=120°
综上所述，∠COD所有可能的度数是120°或240°−2α．
【点睛】本题考查了有关角的计算，补角的性质，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用
分类讨论思想解答是解题的关键．
13．(1)33°
(2)不变，∠AOE−∠BOF=33°是定值．
(3)2
1 1
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE= ∠AOC= ×108°=54°，
2 2
1 1
∠BOF= ∠BOD= ×42°=21°，然后求解即可；
2 2
（2）首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，然后由角平分的定义
解答即可；
3
（3）根据题意可得∠BOF=(3t+18)°，得出3t+18=21+ t，解方程即可得出答案．
2
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= ×108°=54°，∠BOF= ∠BOD= ×42°=21°，
2 2 2 2
∴∠AOE−∠BOF=54°−21°=33°；
（2）解：∠AOE−∠BOF=33°是定值．理由如下：
由题意：∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 3
∴∠AOE= ∠AOC= (108°+3t°)=54°+ t°，
2 2 2
1 1 3
∠BOF= ∠BOD= (42°+3t°)=21°+ t°，
2 2 2
( 3 ) ( 3 )
∠AOE−∠BOF= 54°+ t° − 21°+ t° =33°．
2 2
∴∠AOE−∠BOF的值是定值，定值为33°；
（3）解：根据题意得：∠BOF=(3t+18)°，
3
∴3t+18=21+ t，
2
解得：t=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
∠AOC−∠BOD
14．(1)①10∘，②∠EOF=
2(2)100°或80°
【分析】（1）①根据∠AOB=140∘，∠COD=60∘，OE平分∠COD，OF平分∠AOB，
1 140∘ 1 60∘
得到∠AOF= ∠AOB= =70°，∠COE= ∠COD= =30°，根据
2 2 2 2
∠EOF=∠AOF−∠AOC−∠EOC计算即可．
②根据题意，得∠EOF=∠FOB−∠DOE−∠BOD,
∠AOC=∠FOA−∠FOC=∠FOA−(∠EOC−∠EOF)，整理求和计算即可．
（2）画图分类计算即可．
【详解】（1）∵∠AOB=140∘，∠COD=60∘，OE平分∠COD，OF平分∠AOB，
1 140∘ 1 60∘
∴∠AOF= ∠AOB= =70°，∠COE= ∠COD= =30°，
2 2 2 2
∴∠EOF=∠AOF−∠AOC−∠EOC=70°−30°−30°=10°．
∠AOC−∠BOD
②∠EOF与∠AOC−∠BOD的数量关系是∠EOF= ．
2
根据题意，得∠EOF=∠FOB−∠DOE−∠BOD，
∠AOC=∠FOA−∠FOC=∠FOA−(∠EOC−∠EOF)
，
∵OE平分∠COD，OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠FOB，∠COE=∠EOD，
∴∠EOF=∠FOB−∠DOE−∠BOD，∠AOC=∠FOA−∠EOC+∠EOF，
∴∠EOF=∠FOB−∠DOE−∠BOD，∠EOF=∠AOC−∠FOA+∠EOC，
∴2∠EOF=∠AOC−∠BOD，∠AOC−∠BOD
∴∠EOF= ．
2
（2）如图，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= ∠AOB+ ∠BOC，
2 2 2
1 1 1
∠BON= ∠BOD= ∠COD+ ∠BOC，
2 2 2
1 1
∴∠MON=∠COM+∠CON= ∠AOB+ ∠BOC+∠BON−∠BOC
2 2
1 1 1 1 1
= ∠AOB+ ∠BOC+ ∠COD+ ∠BOC−∠BOC= (∠AOB+∠COD)，
2 2 2 2 2
∵∠AOB=140∘，∠COD=60∘，
1
∴ (140°+60°)=100°．
2
如图，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= (360°−∠AOB−∠BOC)=180°− ∠AOB− ∠BOC，
2 2 2 2
1 1 1
∠BON= ∠BOD= ∠COD+ ∠BOC，
2 2 21 1
∴∠MON=∠COM+∠CON=180°− ∠AOB− ∠BOC+∠BOC−∠BON
2 2
1 1 1 1
=180°− ∠AOB− ∠BOC+∠BOC− ∠COD− ∠BOC，
2 2 2 2
1
=180°− (∠AOB+∠COD)
2
∵∠AOB=140∘，∠COD=60∘，
1
∴180°− (∠AOB+∠COD)=180°−100°=80°．
2
故答案为：100°或80°．
【点睛】本题考查了角的计算，角的平分线的相关计算，熟练掌握角的计算是解题的关键．
15．(1)180
1
(2)①∠AOC−∠BOD=60°；②∠DOE= ∠AOC，理由见解析
2
【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD =∠AOB+∠COD计算求解
即可；
（2）①根据∠AOC=∠AOB−∠BOC，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∠AOC−∠BOD=∠AOB−∠BOC−(∠COD−∠BOC)计算求解即可；②由题意可得
1
∠BOC=∠AOB−∠AOC=120°−α，由OE平分∠BOC，可得∠COE= ∠BOC，
2
∠DOE=∠COD−∠COE，求出∠DOE的值，然后可求∠DOE与∠AOC的数量关系．
【详解】（1）解：∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
=120°+60°
=180°
故答案为：180；
（2）解：①∠AOC−∠BOD=60°，
∵∠AOC=∠AOB−∠BOC，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∴∠AOC−∠BOD=∠AOB−∠BOC−(∠COD−∠BOC)
=∠AOB−∠COD
=120°−60°
=60°；
∴∠AOC与∠BOD的数量关系为∠AOC−∠BOD=60°；
②解：∵∠AOB=120°，∠AOC=α，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=120°−α，
∵OE平分∠BOC，如下图，
1 1 1
∴∠COE= ∠BOC= (120°−α)=60°− α，
2 2 2
( 1 ) 1
∴∠DOE=∠COD−∠COE=60°− 60°− α = α，
2 2
1
即∠DOE= ∠AOC，
2
1
∴∠DOE与∠AOC的数量关系为∠DOE= ∠AOC．
2【点睛】本题考查了角和差倍粉关系、角平分线的定义．解题的关键是数形结合，表示角之间的数
量关系．
16．(1)140°，50°
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见详解
(3)45°或者135°
【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的
度数；根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°−∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分情况进行讨论，分别表示出∠ECM，∠ECN角度，即可作答．
【详解】（1）∵∠DCE=40°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°−40°=50°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=90°+50°=140°；
故答案为140°；
∵∠ACB=130°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=130°−90°=40°，
∵∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°−40°=50°；
故答案为50°；
（2）猜想：∠ACB+∠DCE=180°；
理由如下：∵∠ACE=90°−∠DCE，
又∵∠ACB=∠ACE+90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE+90°=180°−∠DCE，即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）∵CM平分∠ACE，CN平分∠DCE，
1 1
∴∠ACM=ECM= ∠ACE，∠DCN=∠ECN= ∠DCE，
2 2
分类讨论：
当点E在AC上方，0°≤∠ACE＜90°时，如图，
1 1
∵∠ECM= ∠ACE，∠ECN= ∠DCE，∠ACE+∠DCE=∠ACD=90°，
2 2
1 1 1
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN= ∠ACE+ ∠DCE= ∠ACD=45°，
2 2 2
即此时∠MCN=45°；
当点E在AC上方，90°≤∠ACE≤180°时，如图，
1 1
∵∠ECM= ∠ACE，∠ECN= ∠DCE，∠ACE−∠DCE=∠ACD=90°，
2 2
1 1 1
∴∠MCN=∠ECM−∠ECN= ∠ACE− ∠DCE= ∠ACD=45°，
2 2 2
即此时∠MCN=45°；
当点E在AC下方，90°≤∠ACE＜180°时，如图，∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=180°−∠ACB，
1 1 1
∵∠ECM= ∠ACE= (∠ACB+∠BCE)= (∠ACB+90°)，
2 2 2
1 1
∠ECN= ∠DCE= (180°−∠ACB)，
2 2
1 1
∴∠MCN=∠ECM−∠ECN= (∠ACB+90°)+ (180°−∠ACB)=135°，
2 2
即此时∠MCN=135°；
当点E在AC下方，0°≤∠ACE＜90°时，如图，
1 1 1
∵∠ECM= ∠ACE，∠ECN= ∠DCE= (∠ACD+∠ACE)，
2 2 2
1 1
∴∠MCN=∠ECN−∠ECM= (∠ACD+∠ACE)− ∠ACE=45°，
2 2
即此时∠MCN=45°；综上所述：45°或者135°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算等知识，解题时注意分类讨论思想的运
用，分类时不能重复，也不能遗漏．
17．(1)70°
(2)为定值，理由见解析
(3)当0<n<80时， ∠AOE−∠BOF=30°；当80≤n<140时，∠AOE−∠BOF=110°；当
140≤n<220时，∠BOF−∠AOE=30°
1 1
【分析】(1)根据角平分线的定义知∠EOB= ∠AOB、∠BOF= ∠COD，再根据
2 2
∠EOF=∠EOB+∠BOF可得答案；
(2)由题意知∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°+n°、∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+40°，根
1 100°+n° 1 n°+40°
据角平分线的定义得∠AOE= ∠AOC= 、∠BOF= ∠BOD= ，代入计算
2 2 2 2
可得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出∠AOC，∠BOD，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵∠AOB=100°，∠COD=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分
∠BOD，
1 1 1 1
∴∠EOB= ∠AOB= ×100°=50°、∠BOF= ∠COD= ×40°=20°，
2 2 2 2
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=50°+20°=70°；
（2）解：∠AOE−∠BOF的值为定值，
理由如下：如图：∵∠COD (0<n<40)
从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°+n°，∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+40°，点C、D在直
线AO的右侧，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 100°+n° 1 n°+40°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2
100°+n° n°+40°
∴∠AOE−∠BOF= − =30°，
2 2
∴∠AOE−∠BOF的值为定值；
（3）解：当0<n<80时，如图2：由(2)知，∠AOE−∠BOF=30°；
当80≤n<140时，如图3所示，∠AOC=360°−∠AOB−∠BOC=360°−100°−n°=260°−n°，
∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+40°，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 260°−n° 1 n°+40°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2
260°+n° n°+40°
∴∠AOE−∠BOF= − =110°；
2 2
当140≤n<220时，如图4所示，
∠AOC=360°−∠AOB−n°=360°−100°−n°=260°−n°，
∠BOD=360°−n°−∠COD=360°−n°−40°=320°−n°，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
1 260°−n° 1 320°−n°
∴∠AOE= ∠AOC= ，∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2320°−n° 260°−n°
∴∠BOF−∠AOE= − =30°；
2 2
综上，∠AOE与∠BOF具有的数量关系为：当0<n<80时， ∠AOE−∠BOF=30°；当
80≤n<140时，∠AOE−∠BOF=110°；当140≤n<220时，∠BOF−∠AOE=30°．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的
思想是解决本题的关键．
18．(1)30°
(2)50°或90°
56
(3)①4或16；②
3
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的
应用：
（1）根据题意得到∠BOC+2∠AOC=90°，再由∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，进行求解
即可；
（2）分当OC在OB下方时，当OC在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部时，三种情况讨论求解
即可；
（3）分当0<t≤9时，当9<t<17时，两种情况分别求出∠MON，再根据“绝配角”的定义得到
∠MON+2∠AOB=90°，据此建立方程求解即可；②分当17<t<18时，当18<t≤20时，种情况
分别求出∠MON，再根据“绝配角”的定义得到∠MON+2∠AOB=90°，据此建立方程求解即
可。
【详解】（1）解：∵∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴∠BOC+2∠AOC=90°，
又∵∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，
∴∠AOC=30°，
故答案为：30°；
（2）解：当OC在OB下方时，∵∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴∠BOC+2∠AOC=90° ，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+∠BOC，
∴∠BOC+2∠BOC+120°=90°，
解得∠BOC=−10°（舍去）；
当OC在∠AOB内部时，
同（1）可得∠BOC=30°，
∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD=150°，
∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=90°；
当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴∠BOC+2∠AOC=90°，
∴∠AOB+∠AOC+2∠AOC=90°，
∴∠AOC=10°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD=110°，
∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=50°；
综上所述，∠AOD的度数为50°或90°；
（3）解：①当0<t≤9时，
由题意得，∠AOC=20t°，∠BOD=10t°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1
∴∠AOM= ∠AOC=10t°，∠BON= ∠BOD=5t°
2 2
∴∠MON=∠AOM+∠AOB+∠BON=15t°+10°，
∵∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴∠MON+2∠AOB=90°，
∴15t+10+20=90，
解得t=4；
当9<t<17时，
由题意得，∠AOC=360°−20t°，∠BOD=10t°∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1
∴∠AOM= ∠AOC=180°−10t°，∠BON= ∠BOD=5t°
2 2
∴∠MON=∠BON−∠BOM
=∠BON−(∠AOM−∠AOB)
=∠BON−∠AOM+∠AOB
=5t°−180°+10t°+10°
=15t°−170°
∵∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴∠MON+2∠AOB=90°，
∴15t−170+20=90，
解得t=16；
综上所述，t=4或t=16；
故答案为：4或16；
②当17<t<18时，
由题意得，∠AOC=360°−20t°，∠BOD=360°−10t°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=180°−10t°，∠BON= ∠BOD=180°−5t°
2 2
∴∠MON=∠AON+∠AOM
=∠BON−∠AOB+∠AOM=180°−5t°−10°+180°−10t°
=350°−15t°，
∵∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴∠MON+2∠AOB=90°，
∴350−15t+20=90，
280
解得t= （舍去）；
15
当18<t≤20时，
由题意得，∠AOC=20t°−360°，∠BOD=360°−10t°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
1 1
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=10t°−180°，∠BON= ∠BOD=180°−5t°
2 2
∴∠MON=∠AON−∠AOM
=∠BON−∠AOB−∠AOM
=180°−5t°−10°+180°−10t°
=350t°−10°，
∵∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴∠MON+2∠AOB=90°，
∴350−15t+20=90，
56
解得t= ；
356
综上所述，t= ，
3
56
故答案为： 。
3
