求面积及其最值
— 阶 方法突破练
1. 如图,在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,3),( C(−1,1),求 △ABC的面积.
【温馨提示】若题干中没有出现“平行”相关的字眼，需根据点的坐标特征，通过计算找到与坐标轴平行的
边及该边上的高，再用“公式法”求解即可.
2.如图，在平面直角坐标系中，点 A(−2,1),B(−2,3),C(2,2),求 △ABC的面积.
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A(1,3),B(3,0),C(5,4),求 △ABC的面积.
【温馨提示】利用转化思想将这个三角形进行“割补”，转化为2~3 个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三
角形，然后使用“公式法”进行计算.2 6
4.如图，在平面直角坐标系中，直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A，直线 l :y=− x+ 与x轴交于点 B，与
2 5 5
直线 l₁交于点C，若在y轴负半轴上有一点 D使得以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为15，求点D的坐标.
5.如图，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A(1,0), B(−3,0)两点，与y轴交于点C.点P 为第二象限内抛物
线上一动点，连接PB，PC,BC,求 △PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,连接BC.
(1)如图①，若点P是线段BC下方抛物线上一点，连接AC，BP，CP,求四边形 ACPB 面积的最大值;
(2)设点D为该抛物线顶点，平移该抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线 y=−x−3上运动，平移后所得
的新抛物线与y轴负半轴的交点记为点M，求 △DOM面积的最大值；
(3) 创新题·重叠图形面积最值 如图③，将 △AOC沿x轴向右平移 m个单位( (0<m≤1),得到 △A'O'C',设
△A'O'C' 与 △OBC重叠部分图形的面积为S，求S的最大值.三阶 综合强化练详解详析见答案册P60
1
1.如图，抛物线 y= x2−2x−6与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点P是线段BC下
2
方抛物线上一动点，过点 P作 PQ‖AC交BC于点Q,连接AQ,OQ.
(1)求A,B两点坐标;
(2)求 △AOQ周长的最小值；
(3)(两个图形的面积和)连接PA,PB,记 △PAQ与 △PBQ的面积分别为 S₁,S₂,设 S=S₁+S₂,求 S 的最大值，
并求出此时点 P 的坐标.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=x²+bx+c交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,直线l过点C,且交抛
物线于另一点E(点E 不与点A，B重合).
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作 AF⊥x轴,交直线l于点F,连接OF,BE,求证:( OF//BE;
(3)点G是直线l下方抛物线上的动点，且直线l经过点(6，0)，设点G的横坐标为m，试用含m的代数式表示
△GCE的面积，并求出 △GCE面积的最大值.
作图区 答题区3.如图①,抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC，抛物线的顶点
为 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，将抛物线沿x轴向右平移得到抛物线 W',设抛物线 W' 的对称轴与直线 BC 交于点M,连接MA,当
∠MAC=90°时，求点 M的坐标；
√2
(3) 创新题·重叠图形面积最值P是线段BC上一点，当 DP+ BP取得最小值时，将 △ADP沿x轴正方向平
2
移t个单位长度( (0≤t≤4)得到 △A'D'P',设 △A'D'P' 与 △BOC重叠部分的面积为S，求S的最大值.
作图区 答题区一阶 方法突破练
1. 解:∵A(2,3),B(5,3),∴AB∥x轴(判断三角形的边
与坐标轴关系),且AB=3,
1
∴S = ×AB×(点 C 到AB 的距离)(利用公式
ABC 2
直接求面积)
1
= ×3×2=3.
2
1
2. 解:∵A(-2,1),B(-2,3),∴AB∥y轴,且AB=2, ∴S = ×AB×(点C到AB的距离)
ABC 2
1
= ×2×4=4.
2
3. 解：如解图①，过点 B作y轴的平行线交AC 于点 D(将三边均不平行于坐标轴的三角形分割成底边垂直于
x轴的两个三角形).
∵A(1,3),C(5,4),
1 11
∴直线 AC 的解析式为 y= x+ .
4 4
7 7
当x=3时,
y= ,∴BD=
(求出公共底的长).
2 2
1 1 7
∴S = BD⋅|x −x |= × ×(5−1)=7(求出不规则三角形的面积).
ABC 2 c A 2 2
【一题多解】如解图②，分别过点 A，C 作 x轴的垂线，垂足分别为E，F，则
S =7.
BCF
4. 解:∵直线 l₁:y=2x+4与x轴交于点A,∴A(-2,0),
2 6
∵ 直线 l :y=− x+ 与x轴交于点 B,∴B(3,0),
2 5 5
∵两直线交于点 C，
{
y=2x+4
∴联立 2 6
y=− x+
5 5
7
{ x=−
6
,
解得
5
y=
3
( 7 5)
∴C − , .
6 3
设点 D的坐标为(0,-h),∴点D 到x轴的距离为h.∵A(-2,0),B(3,0),∴AB=5,遇到四边形面积，首先想到分割成两个三角形面积和计算.
1 5 1 13
如解图， S =S +S = ×5× + ×5h=15,解得 ℎ = ,
四 边 形ACBDABC ABD 2 3 2 3
( 13)
∴点D 的坐标为 0,− .
3
5. 解:如解图①,过点 P 作PE⊥x轴于点 E,交 BC 于点 F.
∵ 抛物线与y轴交于点 C，
∴C(0,3).
∵ B(-3,0),∴BC 所在直线的解 第5题解图①析式为y=x+3.
设点 P(x,−x²−2x+3)(−3<x<0),则 F(x,x+3),
∴PF=−x²−2x+3−(x+3),
∴S =
1
PF⋅OB=
3
[−x2−2x+3−(x+3)]= −
3(
x+
3) 2
+
27
,
PBC 2 2 2 2 8
3
∵− <0,−3<x<0,
2
3 7
∴当
x=−
时，S△FBC的值最大，最大值为2 .
2 8
3 15
当 x=− 时, −x2−2x+3= ,
2 4
( 3 15)
∴此时点P的坐标为 − , .
2 4
【一题多解】
解法一：利用和差法求面积，如解图②，连接OP，则 S =S +S −S .
PBC OCP OBP OBC
由抛物线解析式可知，当x=0时，y=3，∴C(0,3).
设 P(m,−m²−2m+3)(−3<m<0),
1 1
∴S =S +S −S = OC⋅|x |+ OB.
PBC OCP OBP OBC 2 P 2
1 1 1
|y |− OB⋅OC= ×3×(−m)+ ×3×(−m2−2m+
P 2 2 2
3)−
1
×3×3=
3
(−m2−3m)=−
3(
m+
3) 2
+
27
,
2 2 2 2 8
3
∵− <0,−3<m<0,
2
3 27 3 15
∴当 m=− 时，S△PBC的值最大，最大值为 .当 m=− 时, −m2−2m+3= ,
2 8 2 4
( 3 15)
∴ 此时点 P的坐标为 − , ;
2 4
解法二：利用底边平行线法求面积，如解图③，过点P 作BC的平行线l，作x轴的平行线交 y轴于点E，过点 B作y轴的平行线交直线 PE于点 F，
∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,3),
由题意可知BC所在直线的解析式为y=x+3，
设直线l的解析式为y=x+b，
{ y=x+b
,
联立
y=−x2−2x+3
得 −x²−3x+3−b=0,
21
令 b²−4ac=(−3)²−4×(−1)×(3−b)=0,解得 b= ,
4
21
∴ 直线l的解析式为 y=x+ ,
4
3
{ 21 { x=−
y=x+ 2
联立 4 , 解得 ,
15
y=−x2−2x+3 y=
4
( 3 15)
∴点P的坐标为 − , (求出 P 点坐标).
2 4
1 3 3 1 3 15 27
× × − × × = .
2 4 2 2 2 4 8
二阶 设问进阶练
例 解:(1)由抛物线的解析式可得 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴BC所在直线的解析式为y=x-3.
如解图①，过点 P作y轴的平行线交BC于点 F，
1 3 1
∵S = FP⋅OB= FP,S = AB⋅OC=6,
BCP 2 2 ABC 2
3
∴S =S +S = FP+6,
四 边 形ACPBBCP ABC 2
∴ 当FP 最大时,S四边形ACPB 最大.
设 P(p,p²−2p−3)(0<p<3),则 F(p,p-3).
∴FP=p−3−(p2−2p−3)=−p2+3p=− ( p− 3) 2 + 9 ,
2 4
∵-1<0,0<p<3,
3 9
∴ 当 p= 时，FP有最大值，最大值为 ,
2 4
3 9 75
∴四边形ACPB 面积的最大值为 × +6= ;
2 4 8( b 4c−b2 )
(2)设平移后新抛物线的解析式为 y=x²+bx+c,则其顶点坐标为 − , .
2 4
当x=0时,y=c,∴M(0,c).
( b 4c−b2 ) b2+2b−12
将 − , 代入γ=-x-3,得 c= .
2 4 4
b2+2b−12
∵点 M 在y轴负半轴上， :OM=−c=− .
4
∵ 原抛物线 y=x²−2x−3=(x−1)²−4,∴D(1,−4).如解图②,过点 D 作DG⊥y轴于点 G,则DG=1,
∴S = 1 OM⋅DG= 1 × ( − b2+2b−12) ×1= − 1 (b2+2b−12)=− 1 (b+1) 2+ 13 ,
DoM 2 2 4 8 8 8
13
∴当b=-1 时,此时c<0,△DOM 面积有最大值，最大值为 ;
8
(3)如解图③,设A'C'交y轴于点 Q,交 BC 于点G,O'C'交 BC于点K,过点G作GH⊥y轴于点 H,延长HG交
O'C'于点 N.
设CH=n.∵C(0,-3),B(3,0),∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠HGC=∠OCG=45°.
∴HG=CH=n,∠O'KB=∠O'BK=45°.
∴O'B=O'K.
∵OB=O'C',
∴KC'=OO'=HN=m.
∵ A'C'是由AC 平移得来的,
∴A'C'∥AC.
∴∠A'QO=∠ACO=∠GQH.
又∵∠AOC=∠QHG=90°,
∴△ACO∽△A'QO∽△GQH.OA OA' HG 1 1−m n
∴ = = ,即 = = .
OC OQ HQ 3 OQ HQ
∴OQ=3(1-m),HQ=3n.
∵OQ+HQ+CH=OC,
3
∴3(1−m)+3n+n=3,∴n= m.
4
3 1
∴GN=m− m= m.
4 4
1 1
∴S=S −S −S = ×1×3− ⋅(1−m)
O'A'C' OA'Q KCC 2 2
1 1 13 13 12 2 18
3(1−m)− m⋅ m=− m2+3m=− (m− ) + .
2 4 8 8 13 13
13
∵− <0,0<m≤1,
8
12 18
∴ 当
m=
时，S有最大值，最大值为
13 13
三阶 综合强化练
1. 解:(1)A(-2,0),B(6,0);
(2)∵C =AO+OQ+AQ,由(1)知AO=2,
AOQ
∴当OQ+AQ最小时,△AOQ 周长最小,如解图①,作点O关于线段BC的对称点 O'，连接AO'交BC于点Q,此
时点 Q 即为 OQ+AQ最小值的情况,
∵ QA+QO=QA+QO'≥AO',
∴QO+QA 的最小值为AO'的长,
1
∵ 抛物线
y= x2−2x−6与y轴交于点
C，
2
∴C(0,-6),∴OB=OC=6,∠BOC=90°,
∴∠BCO=45°,
∵0,O'关于线段BC对称,
∴线段BC垂直平分OO',
∴四边形 BOCO'是正方形,∴O'(6,-6),在 Rt△ABO'中, AO'=√AB2+O'B2=√82+62=10,
∴AO+AO'=12.
∴△AOQ 周长的最小值为 12;
(3)如解图②,连接PC,过点 P作PH⊥BO于点H,
∵ PQ∥AC,∴S△PAQ=S△PCQ,
S −S ,
PBH BOC
设 P ( m, 1 m2−2m−6 ) ,
2则 S= m( − 1 m2+2m+6+6 ) + 1 (6−m)(− 1 m2+
2 2 2 2
1 3 3 27
2m+6)− ×6×6=− m2+9m=− (m−3) 2+ ,
2 2 2 2
3
∵− <0,0<m<6,
2
27 1 1 15
∴当m=3 时，S有最大值，最大值为 , m2− 2m−6= ×32−2×3−6=− ,
2 2 2 2
( 15) 27
即点P 的坐标为 3,− 时，S有最大值 .
2 2
2.(1)解：抛物线的解析式为 y=x²−4x+3;
(2)证明:如解图,过点E作EH⊥x轴于点 H,
∵y=x²-4x+3,∴C(0,3),
∴设直线 CE的解析式为y=kx+3(k≠0),
∵A(1,0),AF⊥x轴,
∴ F(1,k+3),∴OA=1,AF=k+3.
∵E 是直线CE 与抛物线的交点，
{ y=kx+3
,
联立
y=x2−4x+3
{ x=k+4 {x=0
,
解得 或 (舍去),
y=(k+1)(k+3) y=3
∴点E(k+4,(k+1)(k+3)),
∴ BH=OH-OB=k+1,EH=(k+1)(k+3),
OA AF 1
∴ = = .
BH EH k+1
∵∠OAF=∠BHE=90°,
∴△OAF∽△BHE,
∴∠AOF=∠HBE,
∴OF∥BE;
(3)解:由(2)得直线l的解析式为y=kx+3(k≠0),∵直线l过点(6,0).
1
∴6k+3=0,解得 k=− ,
2
1
∴ 直线l的解析式为
y=− x+3.
2
1 7
由(2)得点 E的横坐标为 k+4=− +4= ,如解图,过点G作G'G⊥x轴,交直线l于点 G'.
2 2
则点 G(m,m2−4m+3)(0<m< 7 ),点 G'( m, 1 m+3 ) ,
2 2
1 7
∴G'G=− m+3−m2+4m−3=−m2+ m.
2 2
1 1
∵S = G'G⋅(x −x )= G'G⋅x ,
GCE 2 E c 2 E
∴S = 1( −m2+ 7 m ) × 7 =− 7( m2− 7 m ) = − 7( m− 7) 2 + 343 ,
GCE 2 2 2 4 2 4 4 64
7 7
∴− <0,0<m< ,
4 27 343
∴ 当 m= 时，△GCE的面积最大，最大值为 .
4 64
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3;
(2)如解图①,当∠MAC=90°时,设抛物线 W'的对称轴交x轴于点 E，
易知直线 BC的解析式为y=-x+3,则可设点M的坐标为(m,-m+3).
∵A(-1,0),C(0,3),
∴OA=1,OC=3,AE=m+1,ME=m-3.
∵∠MAE+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO =90°,
∴∠ACO =∠MAE.
又∵∠AOC=∠AEM=90°,
0 1 m−3
∴△ACO∽△MAE,∴ ⊂=EA ,即 = ,
0 3 m+1
∴m=5,∴点M的坐标为(5,-2);
(3)如解图②,过点 P 作 PF⊥x轴于点 F,
∵B(3,0),C(0,3),∴△BCO为等腰直角三角形,
∵直线 BC的解析式为y=-x+3,PF∥y轴,
√2 √2
∴PF= BP,∴DP+ BP最小即 DP+PF最小,故D，P，F共线且垂直于x轴时最小，
2 2
∵抛物线 y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4的顶点为D(1,4),
√2
∴DP+ BP最小时,点P的坐标为(1,2),将△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度(0≤t≤4)
2
得到△A'D'P',分两种情况:
①当0≤t<1时,A'D'与OC,BC分别交于 E,M,A'P'与OC,BC分别交于G,N,如解图③,由A(-1,0),D(1,4)可得直线
AD的解析式为y=2x+2,
∵△ADP沿x轴正方向平移t个单位长度，
∴A'(-1+t,0),A'D'∥AD,
∴ 直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
∴令x=0,得y=2-2t,即E(0,2-2t),CE=OC-OE=1+2t,
1+2t
{ x=
{y=2x+2−2t 3
,
联立 解得
y=−x+3 8−2t
y=
3∴M
(1+2t
,
8−2t)
,∴S =
1
CE⋅x =
1
(1+2t) 2,由A(-1,0),P(1,2)得直线AP的解析式为y=x+1,而
3 3 CEM 2 M 6
A'(-1+t,0),A'P'∥AP得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
( 1 1 )
∴A'P'与y 轴交点 G(0,1-t),与直线 BC 交点 N 1+ t,2− t ,
2 2
∴OG=1−t,S = 1 A'o⋅OG= 1 (1−t) 2, S = 1 A'B⋅y = 1 (4−t) ( 2− 1 t ) ,
A'oG 2 2 A'NB 2 N 2 2
∴S=S −S −(S −S )= 1 ×3×3− 1 (1+2t) 2− 1 (4−t) ( 2− 1 t ) + 1 (1−t) 2=− 5 t2+
BOC CEM A'NB A'oc 2 6 2 2 2 12
1 5 5 ( 2) 2 9 5
t+ =− t− + ,∴− <0,0≤t<1,
3 6 12 5 10 12
2 9
∴当
t=
时，S有最大值，最大值为 ;
5 10
②当1≤t≤4时,A'D'交BC于点 H,A'P'交BC于点Q,如解图④,
∵直线AD 的解析式为y=2x+2,A'D'∥AD,A'(t-1,0),
∴直线 A'D'的解析式为y=2x+2-2t,
联立
{y=2x+2−2t
, 得点 H 的坐标为
(2
t+
1
,−
2
t+
8)
,
y=−x+3 3 3 3 3
∵ 直线AP 的解析式为y=x+1,而A'(t-1,0),A'P'∥AP 得直线A'P'的解析式为y=x+1-t,
联立 {y=x+1−t , 得点 Q的坐标为 (1 t+1,− 1 t+2 ) , ∴S=S −S = 1 (4−t) ( − 2 t+ 8) − 1 (4−t)
y=−x+3 2 2 HA'B QA'B 2 3 3 2
( − 1 t+2 ) = 1 t2− 2 t+ 4 = 1 (t−4) 2.
2 12 3 3 12
1
∵ >0,1≤t≤4,
12
3
∴当t=1时，S有最大值，最大值为 .
4
9 3 9
∴ > ,∴S的最大值为 .
10 4 10
