已知整点个数求取值范围
方法突破练
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=mx²−2mx+m−3与x轴交于点A，B.若线段AB上(包含端点)有且
只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 y=mx²−2mx−1(m⟩0)与x
轴的交点为A，B，抛物线与线段AB所围成的区域记为 W(不含边界).若区域W内有2个整点，求m的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 y=x²−2ax+a²的顶点为
A，直线 y=−x+3与抛物线交于点 B，C(点 B在点 C的左侧)，抛物线与线段 BC围成的封闭区域(不含边界)记为
W.若区域W内有2个整点，求a的取值范围.设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=x²−2x+m−2,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)若抛物线与直线 y=−x+2所围成的封闭区域 W₁(不含边界)内恰好有4个整点，求m的取值范围；
2
(2)若抛物线与双曲线 y=− 所围成的封闭区域 W₂(不含边界)内有2个整点，求m的取值范围；
x
(3) 创新题·抛物线旋转考整点将抛物线绕点 M(−1,0)旋转 180°,得到新抛物线 y',，新抛物线 y''与y轴交于
点 C.若线段OC 上的整点个数小于4，求m的取值范围.综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,与直线 y=kx(k≠0)
交于点 B，抛物线顶点 C 的纵坐标为 −3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 k<0且 S =2S 时，求k的值；
AOC AOB
(3)我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.将线段OB，OA及抛物线上的AB段围成的封闭区域(不含边界)
记为M，若区域M内恰好没有整点，求k的取值范围.
作图区 答题区2.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，我们把横、纵坐
2
标都为整数的点叫做整点.反比例函数 y= (x⟩0)的图象经过边 BC的中点，已知抛物线 y=−(x−a)²+2a+1.
x
(1)若抛物线经过点 B，求抛物线的解析式；
(2)当抛物线与反比例函数的图象及x轴所围成的封闭区域内恰好只有2个整点(不包含抛物线与坐标轴上的
点)，且落在正方形内或边上，求a的取值范围.
作图区 答题区一阶 方法突破练
1. 解:∵ y=mx²−2mx+m−3=m(x²−2x+1)−3=m(x− 1)²−3,
∴抛物线的顶点坐标为(1，-3)，抛物线的对称轴为直线x=1(由二次函数解析式确定顶点坐标及对称轴),
∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为-1，0，1，2，3(使区域内整点个数接近题目所给的整点个数)，
∵抛物线顶点坐标为(1，-3)，且抛物线与x轴相交于点A,B,∴m>0,
∴抛物线与x轴的右边交点横坐标3≤x<4，
当x=3时,y=4m-3≤0,∴m≤3/4,
当x=4时,y=9m-3>0,
1 1 3
∴m> (找临界点代入解析式中确定字母的取值范围)，∴m的取值范围为 <m≤ .
3 3 4
2.解：如解图，当m=1时，区域W内有1个整点，且抛物线的顶点为(1,-2),
−2m
∵抛物线的对称轴为直线
x=− =1是确定的，
2m
∴抛物线的顶点在对称轴上上下移动，
当抛物线顶点过(1,-3)时,m=2,区域W内有2个整点，
结合函数图象，m的取值范围为1<m≤2.
3. 解:∵抛物线 y=x²−2ax+a²=(x−a)²,∴A(a,0),如解图，当抛物线经过(0，2)且区域W内有1个整点，
此时 a=√2,
当抛物线经过(0，1)且区域 W 内有2个整点，此时a=1,
由函数图象可知，如果区域W内有2个整点，a的取值范围为 1≤a<√2.
二阶 设问进阶练
例 解：(1)由抛物线 y=x²−2x+m−2可得，
抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，m-3)，如解图①，当抛物线的顶点为(1，-2)时，此时抛物线与
直线y=-x+2 所围成的区域W₁内(不含边界)有4个整点,分别为(0,0),(0,1),(1,0),(1,-1),则m-3=-2,解得m=1,
当抛物线的顶点为(1，-1)时，此时抛物线与直线y=-x+2 所围成的区域W₁内(不含边界)有2个整点,分别为
(0,1),(1,0),
则m-3=-1,解得m=2,
∴综上所述，m的取值范围为1≤m<2;
(2)由(1)知,抛物线 y=x²−2x+m−2的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,m-3),
2
如解图②,当m-3=-3,即m=0时,抛物线为y= x²−2x−2,此时抛物线与双曲线 y=− 围成的封闭区域W₂
x
内(不含边界)的整点个数为0；
2
若m-3=-4,即m=-1时,抛物线为 y=x²−2x−3,此时抛物线与双曲线 y=− 围成的封闭区域W₂内(不含边
x
界)有2个整点,分别为(1,-3)(2,-2);
∴m的取值范围为-1≤m<0.
(3)∵原抛物线顶点为(1，m-3)，将抛物线绕点M(-1,0)旋转 180°,
∴新抛物线y'的顶点为(-3,3-m),
∴新抛物线y'的解析式为 y'=−(x+3)²+3−m= −x²−6x−6−m..点 C 的坐标为(0,-6-m)..
∵线段OC上的整点个数小于4，
∴|-6-ml<3,解得-9<m<-3.
∵当-6-m=0时,线段OC不存在,∴m≠-6.
∴m的取值范围为-9<m<-3且m≠-6.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax²+bx+c过点 O(0,0),A(4,0) ,∴y=ax²+bx,C 点横坐标为2，
{0=16a+4b
∵ C点纵坐标为-3,∴C点坐标为(2,-3),将A，C两点的坐标代入. y=ax²+bx中,得 , 解得
−3=4a+2b
{ 3
a= ,
4
b=−33
∴抛物线的解析式为
y= x2−3x;
4
(2)【思路点拨】设出点 B 的坐标，根据 S = 2S△AOB 求出点 B 的横坐标,由点B 在直线y=kx上求解即可.
AOC
∵点A的坐标为(4,0),∴OA=4,
∵ 点 C的坐标为( (2,−3),∴S = 1 ×4×3=6,设点 B 坐标为 ( m, 3 m2−3m ) ,
AOC 2 4
1 3 3
S = ×4×| m2−3m|=2×| m2−3m|,
AOB 2 4 4
∵S =2S ,
AOC AOB
3
∴6=2×2×1 m2−3m|,
4
3 3
∴| m2−3m|= ,
4 2
3 3 3
∵ m2−3m<0,∴ m2−3m=− ,
4 4 2
解得 m=2±√2,
∵0<m<4,
∴m=2−√2或 m=2+√2,
( 3) 3 3√2
当 m=2−√2时，将 B 2−√2,− 代入y=kx,解得 k=− − ,
2 2 4
( 3) 3 3√2
当 m=2+√2时，将 B 2+√2,− 代入y=kx,解得 k=− + ,
2 2 4
3 3√2 3 3√2
∴k的值为 − − 或 − + ;
2 4 2 4
(3)【思路点拨】根据整点的定义再结合区域M 内没有整点，由正比例函数y=kx上点的坐标特征找出临界
点，画出草图求解即可.
1
如解图,当k<0时,直线y=kx过(3,-1)时,区域M内没有整点，此时 k=− ,
3
1
∴当 k≥− 时，区域M内没有整点，
3
1
当k>0时,直线y=kx过(4,1)时,区域M内没有整点，此时 k= ,
4
1
∴当 k≤ 时，区域M内没有整点，
4
1 1
∴当 − ≤k<0或 0<k≤ 时，区域M内没有整点.
3 42.解：(1)【思路点拨】设出正方形的边长，根据反比例函数的图象经过边 BC 的中点，可以确定点B的坐
标，将点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可.
设正方形的边长为2m，则BC 的中点坐标为(m，2m),由题意得m·2m=2,解得m=1(负值已舍去),∴正方形的
边长为2,B(2,2),
把点 B(2,2)代入 y=−(x−a)²+2a+1,解得a=1或a=5,
∴ 抛物线的解析式为 y=−(x−1)²+3或 y = −(x−5)²+11;
(2)【思路点拨】求出反比例函数图象与正方形的交点坐标，画出草图，找到x的取值范围，确定整点个数，
寻找临界值即可.
2
∵反比例函数 y= (x⟩0),正方形的边长为2，
x
∴反比例函数图象与正方形一边的交点为(1，2)，
①如解图①，当点(1，2)在抛物线对称轴左侧时，此时封闭区域内有2个整点,分别为(1,1),(2,1),
将点(1，2)代入抛物线解析式，
得 −(1−a)²+2a+1=2,
解得 a =2+√2,a =2−√2(舍去),
1 2
当点(1，1)在抛物线对称轴左侧时，此时封闭区域内有1个整点,为(2,1),
将点(1，1)代入抛物线解析式，
得 −(1−a)²+2a+1=1,
解得 a =2+√3,a =2−√3(舍去),
1 2
∴a的取值范围为 2+√2≤a<2+√3;
②如解图②，当点(1，2)在抛物线对称轴右侧时，此时封闭区域内有1 个整点，为(1，1)，
将点(1，2)代入抛物线解析式，
得 −(1−a)²+2a+1=2,
解得 a =2−√2,a =2+√2(舍去),
1 2
当点(2，1)在抛物线对称轴右侧时，此时封闭区域内有2个整点,分别为(1,1),(1,2),
将点(2，1)代入抛物线解析式，
得 −(2−a)²+2a+1=1,解得 a =3−√5,a =3+√5(舍去),
1 2
∴a的取值范围为 2−√2<a≤3−√5.
综上所述，a的取值范围为 2−√2<a≤3−√5或 2+ √2≤a<2+√3.
