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2013 年安徽省初中毕业学业考试
数 学
1、2的倒数是（ ）
1 1
A. B. C.2 D.2
2 2
2、用科学记数法表示537万正确的是（ ）
A.537104 B.5.37105 C.5.37106 D.0.537107
3、图中所示的几何体为圆台，其主（正）视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、下列运算正确的是（ ）
A.2x3y 5xy B.5m2m3 5m5
C.(ab)2 a2 b2 D.m2m3 m6
x30
5.已知不等式组 其解集在数轴上的表示正确的是（ ）
x10
A． B． C． D．
6、如果AB//CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（ ）
A.60° B.65° C.75° D.80°
7、我国已经建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困
难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下
面列出的方程中正确的是（ ）
A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=3897、如果随机闭合开关k ,k ,k ，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
1 2 3
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
8、图1所示矩形ABCD中，BC=z，CD=y，y与x满足反比例函数关系式如图2所示，等腰
直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.当x=3时，ECEM
C.当z增大时，ECCF 的值增大 D.当y增大时，BEDF 的值不变
10、如图点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中不正确的是（ ）
A.当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时，PQ垂直AC
C.当PQ垂直AC，∠ACP=30°
D.∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形。
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11、若 13x 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12、因式分解x2y y .
13、如图P为平行四边形ABCD边AD上的一点，E,F分别为PB,PC的中点，△PEF，
△PDC，△PAB的面积分别为S,S ,S ，若S 2，则S S .
1 2 1 2第14题图
14、在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点
（E,F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A’处，给出以下判断：
①当四边形A’CDF为正方形时，EF= 2 ；②当EF= 2 时，四边形A’CDF为正方形；③当
EF= 5时，四边形BA’CD为等腰梯形；④当四边形BA’CD为等腰梯形时，EF= 5；其中正
确的是 .（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15、计算：2sin30(1)2|2 2|
16、已知二次函数的顶点坐标为(1,1)，且经过原点(0,0) ，求该函数的解析式。
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17、如图已知A（3，-3），B（-2，-1），C（-1，-2）是直角坐标平面上三点，
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△AB C
1 1 1
（2）请写出点B关于y轴对称的点B 的坐标，若将点B 向上平移h个单位，使其落在
2 2
△AB C 的内部，指出h的取值范围。
1 1 1
18、我们把正六边形的顶点及其对称中心作如图（1）所示的基本图特征点，显然这样的基
本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样
得到图（2），图（3），（1）观察以上图并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图（1） 1 7
图（2） 2 12
图（3） 3 17
图（4） 4 22
猜想图（n）中特征点的个数 （用n表示）
（2）讲图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的对称中心O 的坐标为（x，2），
1 1
则x= ，图（2013）的对称中心的横坐标为 。
1
19、如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD//BC，坡角60，汛期来临前
对其进行了加固，改造后的背水面坡角45，若原坡长AB=20cm，求改造后的坡长
AE(结果保留根号)
20、某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍费贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，
多出部分能购买25副乒乓球拍。
（1）若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽
毛球拍的总费用。
（2）若购买的两种球拍数一样，求x．
六、（本题满分12人）
21、某厂为了解工人在单价时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工
的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数，现提供统计图的部
分信息如图，
请解答下列问题：
（1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数。
（1）写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值
（2）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格，否则，将接受
技能再培训。已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数。
七、（本题满分12分）
22、某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件
的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。销售量p（件） P=50—x
1
当1≤x≤20时，q=30+ x；
销售单价q（元/件） 2
525
当21≤x≤40时，q=20+
x
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
八、（本题满分14分）
23、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯
形”；如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”；其中∠B=∠C.
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形
ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种
示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求
证： = ；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平
分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形
ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？
写出你的结论．（不必说明理由）
安徽省 2013 年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选
项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，
不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．A 2．C 3． 4．B 5．D 6．C 7．B 8．B 9．D
10．（4分）
考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
分析：根据直角是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出
∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三
角形，判断A正确；
当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；确定点P
的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，
或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，
∠ACP=60°；判断C错误；
当∠ACP=30°时，点P或者在P 的位置，或者在P 的位置．如果点P在P 的位置，易求
1 2 1
∠BCP =90°，△BP C是直角三角形；如果点P在P 的位置，易求∠CBP =90°，△BP C
1 1 2 2 2
是直角三角形；判断D正确．
解答：解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP= ∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况 ：
①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与
点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，
或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP=30°时，点P或者在P 的位置，或者在P 的位置，如图3．
1 2
如果点P在P
1
的位置，∠BCP
1
=∠BCA+∠ACP
1
=60°+30°=90°，△BP
1
C是直角三角形；
如果点P在P 的位置，∵∠ACP =30°，
2 2
∴∠ABP
2
=∠ACP
2
=30°，
∴∠CBP
2
=∠ABC+∠ABP
2
=60°+30°=90°，△BP
2
C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度
适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤ ．
故答案是：x≤ ．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．（5分）
考点：提公因式法与公式法的综合运用
分析：观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平
方差公式继续分解可得．
解答：解：x2y﹣y，
=y（x2﹣1），
=y（x+1）（x﹣1）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（5分）
考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD
与ABQP都为平行四边形，进而确定出△ADC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP
面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF
平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的
面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为
平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S =S ，S =S ，
△PDC △CQP △ABP △QPB
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S ：S =1：4，S =2，
△PEF △PBC △PEF
∴S =S +S =S +S =S +S =8．
△PBC △CQP △QPB △PDC △ABP 1 2
故答案为：8
点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判
定与性质是解本题的关键．
14．（5分）
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：探究型．
分析：①根据正方形的性质和矩形的性质判定“A'F刚好是矩形ABCD的中位线点E和点B
重合，EF即正方形ABA'F的对角线”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得
EF= ；
②根据①中的EF= 可以推知，当EF沿着BC边平移时，EF的长度不变，但是四边形
A′CDF不是正方形；
③根据勾股定理求得BD= ，所以由已知条件可以推知EF与对角线BD重合．由折
叠的性质、矩形的性质易证四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF与对角线BD重合，即EF= ．
解答：解：∵在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，
∴BC=2AB．
①如图①．∵A'CDF为正方形，说明A'F刚好是矩形ABCD的中位线，
∴AF=BA'=1，即点E和点B重合，EF即正方形ABA'F的对角线．
EF= AB= ．
故①正确；．
②如图①，由①知四边形A′CDF为正方形时，EF= ，此时点E与点B重合．
EF可以沿着BC边平移，当点E与点B不重合时，四边形A′CDF就不是正方形．
故②错误；
③如图②，∵BD= = = ，EF= ，
∴BD=EF，
∴EF与对角线BD重合．
易证BA'CD是等腰梯形．
故③正确；④BA'CD为等腰梯形，只能是BA'=CD，EF与BD重合，所以EF= ．
故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故填：①③④．
点评：本题考查了折叠的性质．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项表示两个﹣1的乘积，最后一项利
用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
解答：
解：原式=2× +1﹣2+ = ．
点评：此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，平方根的定义，绝对值的
代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）
考点：待定系数法求二次函数解析式．
分析：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），然后把原点坐标代入求解即可．
解答：解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），
∵函数图象经过原点（0，0），
∴a（0﹣1）2﹣1=0，
解得a=1，
∴该函数解析式为y=（x﹣1）2﹣1．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）
考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次连接
1 1 1
即可；（2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；再根据图形确定出
点B 到B 与A C 的中点的距离，即可得解．
2 1 1 1
解答：解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）点B2的坐标为（2，﹣1），
由图可知，点B 到B 与A C 的中点的距离分别为2，3.5，
2 1 1 1
所以，h的取值范围为2＜h＜3.5．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握网格结构，准
确找出对应点的位置是解题的关键．
18．（8分）
考点：规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标．
分析：（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由
此得出图4中特征点的个数为17+5=22个，进一步猜想出：在图（n）中，特征点的个数
为：7+5（n﹣1）=5n+2；
（2）过点O
1
作O
1
M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出
∠BO M=30°，再由余弦函数的定义求出O M= ，即x = ；然后结合图形分别得出
1 1 1
图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心
的横坐标．
解答：解：（1）由题意，可知图1中特征点有7个；
图2中特征点有12个，12=7+5×1；
图3中特征点有17个，17=7+5×2；
所以图4中特征点有7+5×3=22个；
由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n﹣1）=5n+2；
（2）如图，过点O
1
作O
1
M⊥y轴于点M，
又∵正六边形的中心角 =60°，O C=O B=O A=2，
1 1 1
∴∠BO
1
M=30°，
∴O
1
M=O
1
B•cos∠BO
1
M=2× = ，
∴x = ；
1
由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为 +2 =3 ，
图（3）的对称中心的横坐标为 +2×2 =5 ，
图（4）的对称中心的横坐标为 +3×2 =7 ，
…
∴图（2013）的对称中心的横坐标为 +2012×2 =4025 ．
故答案为22，5n+2； ，4025 ．点评：本题借助正六边形考查了规律型：图形的变化类问题，难度适中．关键是通过观察、归
纳与总结，得到其中的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题
分析：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中求出AF，然后在Rt△AEF中求出AE即可．
解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，
则AF=ABsin60°=10 m，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则AE= =10 m．
答：改造后的坡长AE为10 m．
点评：本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求
相关线段的长度，难度一般．
20．（10分）
考点：分式方程的应用．
分析：（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，根据购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000
元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍即可得出答案，
（2）根据购买的两种球拍数一样，列出方程 = ，求出方程的解，再检验
即可．
解答：解：（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，
则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为4000+25x；
（2）若购买的两种球拍数一样，根据题意得：
= ，
解得：x =40，x =﹣40，
1 2
经检验；x =40，x =﹣40都是原方程的解，
1 2
但x =﹣40不合题意，舍去，
2
则x=40．
点评：此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系
列出方程，要注意检验．
六、（本题满分12分）
21．（12分）
考点：条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数．
专题：计算题．
分析：（1）将合格品数从小到大排列，找出第25与26个数，求出平均数即可求出中位数；（2）众数可能为4、5、6；
（3）50名工人中，合格品低于3件的有2+6=8（人），除以50人求出百分比，再乘以400
即可求出所求．
解答：解：（1）∵把合格品数从小到大排列，第25，26个数都为4，
∴中位数为4；
（2）众数可能为4，5，6；
（3）这50名工人中，合格品低于3件的人数为2+6=8（人），
故该厂将接受再培训的人数约有400× =64（人）．
点评：此题考查了条形统计图，用样本估计总体，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关
键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）
考点：二次函数的应用；一次函数的应用；反比例函数的应用
分析：（1）在每个x的取值范围内，令q=35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y=﹣ x2+15x+500=﹣ （x﹣15）2+612.5，求出一个最大值y ，当
1
21≤x≤40时，求出一个最大值y ，然后比较两者的大小．
2
解答：
解：（1）当1≤x≤20时，令30+ x=35，得x=10，
当21≤x≤40时，令20+ =35，得x=35，
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y=（30+ x﹣20）（50﹣x）=﹣ x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y=（20+ ﹣20）（50﹣x）= ﹣525，
即y= ，
（3）当1≤x≤20时，y=﹣ x2+15x+500=﹣ （x﹣15）2+612.5，
∵﹣ ＜0，
∴当x=15时，y有最大值y ，且y =612.5，
1 1
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴ 随x的增大而减小，
当x=21时， 最大，
于是，x=21时，y= ﹣525有最大值y ，且y = ﹣525=725，
2 2
∵y ＜y ，
1 2
∴这40天中第21天时该网站获得利润最大，最大利润为725元．
点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
八（本题满分14分）
23．（14分）
考点：四边形综合题．
分析：（1）根据条件∠B=∠C和梯形的定义就可以画出图形；
（2）根据平行线的性质就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出
△ABE∽△DEC，由相似时间性的性质就可以求出结论；（3）根据角平分线的性质可以
得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有条件就可以得出∠ABC=∠DCB，从而得
出结论，当点E不在四边形内部时分两种情况讨论就可以求出结论．
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分线的性质就可以得出
EF=EH，通过证明三角形全等就可以得出∠3=∠4，由BE=CE就可以得出∠1=∠2，从
而可以得出结论，如图4，图5当点E在BC和在四边形ABCD外时同样可以得出四边
形ABCD是“准等腰梯形”的结论．
解答：解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形
BCDE和一个三角形ADE；
（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE．
∵在△ABE和△DEC中，
，
∴△ABE∽△DEC，
∴ ，
∴ ；
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∴∠BFE=∠CHE=90°．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中
，
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），
∴∠3=∠4．
∵BE=CE，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB，
∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ABCD是“准等腰梯形”．
当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：
如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠B=∠C，
∴ABCD是“准等腰梯形”．如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，
∴∠EBF=∠ECH．
∵BE=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠EBF﹣∠3=∠ECH﹣∠4，
即∠1=∠2，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．
点评：本题考查了平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质
的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时多次运用角平分线的性质是关键．
