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25.1.2 概率 分层作业
基础训练
1．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【答案】C
【分析】根据不可能事件的概率为 ，随机事件的概率大于 而小于 ，必然事件的概率为1，即可判断．
【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，
都和前12人中的一个人同一个月过生日
∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，
即这一事件发生的概率为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．
2．县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为 ，下列理解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有 的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有 的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【答案】A
【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可．
【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是 ，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有 的
地方下雨，不是 的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
3．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接求概率即可；
【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
选中的书是物理书的结果有1种，
∴从中任取1本书是物理书的概率= .故选： B．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
4．从下列一组数﹣2，π，﹣ ，﹣0.12，0，﹣ 中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可．
【详解】∵数﹣2，π，﹣ ，﹣0.12，0，﹣ 中，一共有6个数，
其中﹣2，﹣ ，﹣0.12，﹣ 为负数，有4个，
∴这个数是负数的概率为 ，
故答案选：B．
【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键．
5．不透明袋中装有除颜色外完全相同的 个白球、 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】 共有 个球，其中红球b个
从中任意摸出一球，摸出红球的概率是 ．
故选A ．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．
6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固
定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指
向右边的扇形），则下列说法正确的是（ ）A．指针指向黄色的概率为
B．指针不指向红色的概率为
C．指针指向红色或绿色的概率为
D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
【答案】B
【分析】将所用可能结果和指针指向颜色的结果列举出来，然后根据概率公式进行求解，再进行判断即
可．
【详解】解： 转盘分成8个相同的图形，其中黄色有3个，绿色有3个，红色有2个，
∴ （指针指向黄色） ，
（指针不指向红色） ，
（指针指向红色或绿色） ，
（指针指向绿色） ，
则 （指针指向绿色） （指针指向黄色），
综上所述，正确的只有B，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法，熟悉相关性质是解题的关键．
7．一个不透明的袋中装有8个黄球， 个红球， 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，
是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列 与 的关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据概率公式得出：任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率（用含m、n的代数式
表示），然后由这两个概率相同可得m与n的关系．【详解】解：∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，
∴任意摸出一个球，是黄球的概率为： ，不是黄球的概率为： ，
∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，
∴ ＝ ，
∴m+n＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，属于基础题型，解题时注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
8．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（ ）
A．摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是
B．摸到黄球的概率是 ，摸到红球、白球的概率都是
C．摸到黄球、红球、白球的概率是
D．摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是
【答案】B
【分析】由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是 ，概率和为1，可以成功；
B、摸到黄球的概率是 ，摸到红球、白球的概率都是 ，概率和为 ，肯定不能成功；
C、摸到黄球、红球、白球的概率是 ，概率和为1，可以成功；
D、摸到黄球的概率是 ，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是 ，概率和为1，可以成功．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题
的关键．
9．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任
意摸出1个球，是红球的概率为 ，则a等于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题
意得： ， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
10．一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸
出一个球是黄球的概率是 ，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设口袋中红球的个数为x个，根据题意求得红球个数即可求出摸到红球的概率．
【详解】解∶设布袋中红球的个数为x个，
∵任意摸出一个球是黄球的概率是 ，
∴ ，
解得∶x=1，
∴P（摸到红球）= ．
故选A．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，记住概率公式是解题的关键．
11．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放
入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面
只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的
小正方体，
在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有
一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，
可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，
所以所求概率为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
12．如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，
则抽到6号赛道的概率是 ．
【答案】 /0.125
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：抽到6号赛道的概率是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
13．一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸
出一个球，
(1)求摸到的球是白球的概率，
(2)如果要使摸到白球的概率为 ，需要在这个口袋中再放入多少个白球？
【答案】(1)
(2)2【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球，
故P（摸到白球）
（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得： ，
解得：x=2．经检验x=2符合题意，
所以需要在这个口袋中再放入2个白球．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．
14．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
(1)事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是___；
(2)事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是___；
(3)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是
白球的概率是 ，求取走了多少个红球？
【答案】(1)0
(2)
(3)4个
【详解】（1）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，
∴从口袋中随机摸出一个球是绿球是不可能事件，
发生的概率为0；
故答案为：0；
（2）解：∵口袋中装有4个白球和6个红球，共有10个球，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 = ；
故答案为： ；
（3）解：设取走了x个红球，根据题意得：，
解得：x=4，
答：取走了4个红球．
【点睛】此题考查了用概率公式求事件概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
能力提升
1．如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，
扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没
有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30， ，
∴阴影部分面积为： ，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 ，
故选：A．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所
求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
2．如图，正方形 及其内切圆 ，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积
比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为 ，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为 ，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是 ．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
3．如图，已知⊙ 是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点
取在阴影部分的概率是 ．【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和
圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S =S -S = ，
阴影 圆 小正方形
S = ，
大正方形
∴这个点取在阴影部分的概率是 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题
意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
4．如图，正方形 中，对角线 和 相交于点O，点E在线段 上， 交 于点F，
小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．【答案】
【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，再由几何概
率计算求值即可；
【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
∴阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）
和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
5．从不等式组 的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是
【答案】
【分析】首先求得不等式组 的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
拔高拓展
1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 交
、 于点 、 ．若 平分 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概
率为 ．
【答案】 / /0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵ 平分 ，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝ ，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
∴ ＝
∴
∴针尖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形
的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
