文档内容
8.1 平方根【9 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 平方根的定义】..........................................................................................................................................1
【考点2 运用开平方解方程】..................................................................................................................................3
【考点3 平方根性质的运用】..................................................................................................................................6
【考点4 算术平方根的理解】..................................................................................................................................8
【考点5 算术平方根的双重非负性】...................................................................................................................10
【考点6 算术平方根小数点移动规律】................................................................................................................11
【考点7 算术平方根的估算】................................................................................................................................14
【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】...............................................................................................16
【考点9 算术平方根的实际应用】.......................................................................................................................18
【考点1 平方根的定义】
【平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
正数a的正的平方根记为“❑√a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.
【必刷题】
9 3
1．（2024秋•左权县期中）“ 的平方根是± ”用数学式子表示为（ ）
64 8
√ 9 3 √ 9 3 √ 9 3 √ 9 3
A．❑ =± B．❑ = C．±❑ =± D．−❑ =−
64 8 64 8 64 8 64 8
【分析】根据平方根的定义解答即可．
9 3 √ 9 3
【解答】解：“ 的平方根是± ”用数学式子表示为±❑ =± ，
64 8 64 8
故选：C．2．（2024秋•兴宁市校级月考）（﹣2024）2的平方根是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．±❑√2024
【分析】利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵（﹣2024）2＝20242，
∴（﹣2024）2的平方根为±2024．
故选：C．
3．（2024秋•海州区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3
C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根
【分析】根据平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：A．9的平方根是±3，选项错误，不符合题意；
B．﹣9没有平方根，选项错误，不符合题意；
C． （﹣2）2的平方根为±2，选项错误，不符合题意；
D．2是4的一个平方根，选项正确，符合题意．
故选：D．
4．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；
②﹣m2没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误；
当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误；
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误；
负数没有平方根，则④正确；
0的平方根等于本身，则⑤错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
5．（2024春•福山区期中）已知❑√m−4❑√m+13❑√m=28.36，则m的平方根为（ ）A．0.2836 B．2.836 C．±0.2836 D．±2.836
【分析】先合并同类项，得出❑√m=2.836，从而求出m的平方根．
【解答】解：∵❑√m−4❑√m+13❑√m=28.36，
∴10❑√m=28.36，
∴❑√m=2.836，
∴±❑√m=±2.836，
即m的平方根为±2.836，
故选：D．
【考点2 运用开平方解方程】
1．求下列各式中的x：
（1）x2﹣143＝1；
（2）4（x+1）2＝81．
【分析】（1）先移项、合并，再运用开平方知识进行求解；
（2）先化系数为1，再运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项并合并，得x2＝144，
∵（±12）2＝144，
∴x＝±12；
81
（2）两边都除以4，得（x+1）2= ，
4
9 81
∵（± ）2= ，
2 4
9
∴x+1＝± ，
2
7 11
解得x= 或x=− ．
2 2
2．计算：
（1）（x﹣2）2＝25；
（2）3（x+2）2＝27．
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）先变形，再根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝25，
x﹣2＝±5，x＝7或x＝﹣3；
（2）3（x+2）2＝27，
（x+2）2＝9，
x+2＝±3，
x＝1或x＝﹣5．
3．求式子中x的值．
（1）25x2﹣1＝0．
（2）（1﹣2x）2＝289．
【分析】（1）根据移项、等式的性质，可得平方的形式，根据开平方，可得答案；
（2）根据开平方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：（1）移项，得25x2＝1，
1
x2=
25
1
x=± ；
5
（2）开方，得1﹣2x＝17或1﹣2x＝﹣17，
x＝﹣8或x＝9．
4．求下列各式中的x．
1
① x2﹣18＝0
2
②（1﹣x）2＝25
③2（x+1）2﹣8＝0．
【分析】①先移项，然后将二次项系数化为1，开平方即可；
②直接开平方，得出（1﹣x）的值，继而可得出x的值；
③先移项，然后将二次项系数化为1，开平方即可得出（x+1）的值，继而可得出x的值．
1
【解答】解：①移项得 x2＝18，
2
系数化为1得：x2＝36，
开平方得：x＝±6；
②开平方得：（1﹣x）＝±5，
x ＝﹣4，x ＝6．
1 2
③移项得：2（x+1）2＝8，系数化为1得：（x+1）2＝4，
开平方得：x+1＝±2，
x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
5．求下列各式中的x：
1
（1）x2− =0；
36
（2）25x2＝256；
（3）（2x﹣1）2＝169；
（4）4（3x+1）2＝1．
【分析】根据开平方，可得答案．
1
【解答】解：（1）x2= ，
36
1
开方，得x=± ；
6
256
（2）x2= ，
25
16
开方，得x=± ；
5
（3）开方，得x﹣1＝±13，
x＝14或x＝﹣12；
1
（4）（3x+1）2= ，
4
1
3x+1=± ，
2
1 1
x=− 或x=− ．
2 6
【考点3 平方根性质的运用】
1．（2024春•礼县校级月考）（1）如果一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x，求这个正数．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根．
【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得 2x﹣3+5﹣x＝0，解方程求出平方根，即
可求出这个数；
（2）根据平方根的定义得到2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，据此求出a、b的值，进而求出a+2b的值，最
后根据平方根的定义求解即可．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x，
∴2x﹣3+5﹣x＝0，
解得x＝﹣2，
∴5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
∴这个数为72＝49；
（2）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，
∴2a﹣1＝（±3）2＝9，3a+b﹣1＝（±4）2＝16，
∴a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9，
∴a+2b的平方根为±3．
2．（2024秋•凤翔区期末）若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
【分析】（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可；
（2）先求出a+3b的值，再求出其平方根即可．
【解答】解：（1）由题可知，
∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0，
∴b＝3，
∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16；
（2）∵a＝16，b＝3，
∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25，
∵25的平方根是±5，
∴a+3b的平方根为±5．
3．（2024秋•兰溪市期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出 2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的
值，然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
4．（2024秋•观山湖区校级月考）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a，
（1）求a和b的值．
（2）求5a+b﹣3平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到 2a﹣3+5﹣a＝0据此求出a的值，再根据平
方根的定义求出b的值即可；
（2）根据（1）求出5a+b﹣3的值，再根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
∴a＝﹣2，
∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，
∴b＝（5﹣a）2＝72＝49；
（2）由（1）得a＝﹣2，b＝49，
∴5a+b﹣3＝5×（﹣2）+49﹣3＝36，
∵36的平方根为±6，
∴5a+b﹣3的平方根为±6．
5．（2024秋•苏州期中）已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根
（1）求x，m的值．
（2）求1﹣9x的平方根．
【分析】（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解；
（2）先求出1﹣9x的值，利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）2x﹣1+4x+3＝0，
1
解得：x=− ，
3
1 25
∴m＝（2x﹣1）2＝[2×(− )−1]2= ；
3 91
（2）∵x=− ，
3
1
∴1−9x=1−9×(− )=4，
3
∵4的平方根为±2，
∴1﹣9x的平方根为±2．
【考点4 算术平方根的理解】
【算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根❑√a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用❑√a来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0
(2)算术平方根❑√a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即 a≥0；②非负数a的算术平方根为非负
数，即❑√a≥0.
【必刷题】
1．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A．❑√4 B．±❑√4 C．❑√2 D．±❑√2
【分析】观察并分析题目从选项中找到4的算术平方根，选出正确选项即可．
【解答】解：4的算术平方根为❑√4，
故选：A．
2．（2024秋•信都区期中）式子❑√(−2) 2=2表示的意义是（ ）
A．（﹣2）2的平方根是2
B．（﹣2）2的算术平方根是2
C．2 的平方根是（﹣2）2
D．2的算术平方根是（﹣2）2
【分析】根据算术平方根定义，即可解答．
【解答】解：❑√(−2) 2=❑√4=2，
∴式子 ❑√(−2) 2=2表示的意义是（﹣2）2的算术平方根是2，
故选：B．
3．（2024秋•道外区期末）下列正确的是（ ）
A．6是36的算术平方根，即❑√36=±6B．6是（﹣6）2的算术平方根，即❑√(−6) 2=6
C．±7是49的平方根，即±❑√49=7
D．±2是4的平方根，即❑√4=±2
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．6是36的算术平方根，即❑√36=6，因此选项A不符合题意；
B．6是（﹣6）2的算术平方根，即❑√(−6) 2=6，因此选项B符合题意；
C．±7是49的平方根，即±❑√49=±7，因此选项C不符合题意；
D．±2是4的平方根，即±❑√4=±2，因此选项D不符合题意．
故选：B．
4．（2024秋•东明县校级月考）若某个正整数的算术平方根是 x，则下一个正整数（比前一个正整数大
1）的算术平方根是（ ）
A．❑√x+1 B．❑√x2+1 C．❑√x+1 D．x2+1
【分析】由题意可得原正整数可表示为x2，则下一个正整数为x2+1，然后问题可求解．
【解答】解：由题意得：原正整数可表示为x2，则下一个正整数为x2+1，
∴它的算术平方根为❑√x2+1；
故选：B．
5．（2024秋•城关区期末）若x是❑√81的算术平方根，则x＝ ．
【分析】先化简❑√81=9，再求解9的算术平方根即可．
【解答】解：∵❑√81=9，
∴x是9的算术平方根，
∴x＝3，
故答案为：3．
【考点5 算术平方根的双重非负性】
1．已知❑√3x−1+❑√3 y+3=0，则❑√12x−5 y的平方根为 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3x﹣1＝0，3y+3＝0，
1
解得x= ，y＝﹣1，
3所以❑√12x−5 y
√ 1
=❑12× −5×(−1)
3
=❑√9
＝3，
3平方根为±❑√3，
∴❑√12x−5 y的平方根为±❑√3，
故答案为：±❑√3．
2．已知y=❑√x−4+❑√4−x+7，求❑√x+y的平方根．
【分析】根据非负数的性质求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：由题意得：x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得：x＝4，
则y＝7，
∴❑√x+y=❑√4+7＝9，
∵9的平方根是±3，
∴❑√x+y的平方根是±3．
1 1
3．已知x、y、z满足：|4x﹣4y+1|+（z− ）2=− ❑√2y+z，求（y+z）•x2的值．
2 3
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y、z的值，代入计算即可．
1
【解答】解：由题意得，4x﹣4y+1＝0，z− =0，2y+z＝0，
2
1 1 1
解得，x=− ，y=− ，z=
2 4 2
1 1 1
则（y+z）•x2= × = ．
4 4 16
4．已知❑√x=2，且❑√y−2z+1+(z−3) 2=0，求x+y+z的算术平方根．
【分析】根据算术平方根的意义求出x的值，根据非负数的性质求出y、z的值，再代入x+y+z计算即
可．
【解答】解：∵❑√x=2，即x的算术平方根是2，
∴x＝4，
∵❑√y−2z+1+(z−3) 2=0，❑√y−2z+1≥0，（z﹣3）2≥0，∴y﹣2z+1＝0，z﹣3＝0，
∴y＝5，z＝3，
∴x+y+z＝4+5+3＝12，
∴x+y+z的算术平方根为2❑√3．
5．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2+❑√a2+b+c+|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求式子x2+2x的算术平方
根．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式求出x2+2x的值，再根据算术平方
根的定义解答．
【解答】解：由题意得，2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，
解得a＝2，b＝4，c＝﹣8，
代入ax2+bx+c＝0得，2x2+4x﹣8＝0，
所以，x2+2x＝4，
所以，x2+2x的算术平方根是2．
【考点6 算术平方根小数点移动规律】
1．（2024春•黄石港区期末）已知：若❑√3.65≈1.910，❑√36.5≈6.042，则❑√365000≈ ．
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：若❑√3.65≈1.910，❑√36.5≈6.042，则❑√365000≈604.2，
故答案为：604.2．
2．（2024秋•农安县期中）已知❑√10.2=3.19，❑√102=10.10，则❑√1020= ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵❑√1020=❑√10.2×100=❑√10.2×10，❑√10.2=3.19，
∴❑√1020=3.19×10＝31.9．
故答案为：31.9．
3．（2024春•汉阳区期末）观察表格
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
❑√a … 0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知❑√m=8.973，❑√n=897.3，用含m的式子表示n，则n＝ ．
【分析】根据❑√m与❑√n的关系进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
∵❑√m=8.973，❑√n=897.3，∴❑√m×100=❑√n=893.7，
∴10000m＝n，
故答案为：10000m．
4．（2024春•合江县校级月考）（1）观察发现：表格中x＝ ，y＝ ；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动
位．
a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
❑√a … 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知❑√5≈2.24，则❑√500≈ ；
②已知❑√m≈7.07，❑√5000≈70.7，则m＝ ．
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；
（2）找到规律即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x=❑√0.01，
∴x＝0.1．
∵y=❑√100，
∴y＝10．
故答案为：0.1；10．
（2）根据表格可得，
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1．
（3）①∵❑√5≈2.24，
∴❑√500≈22.4．
②∵❑√m≈7.07，❑√5000≈70.7，
∴m＝50．
故答案为：22.4，50．
5．（2024春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）316.84的平方根是 ；（2）❑√299.3≈ ；
（3）❑√29241= ．
（4）若❑√n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．
【分析】（1）利用平方根的意义解答即可；
（2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（5）写出一条符合题意的结论即可．
【解答】解：∵（±17.8）2＝316.84，
∴316.84的平方根是±17.8；
故答案为：±17.8；
（2）∵17.32≈299.3，
∴❑√299.3≈17.3．
故答案为：17.3；
（3）∵1712＝29241，
∴❑√29241=171．
故答案为：171；
（4）∵❑√309.7=17.6，❑√313.2=17.7，
又❑√n介于17.6与17.7之间，
∴n的可能值为310，311，312，313，
∴满足条件的整数n有4个．
故答案为：4；
（5）观察表格中的数据，发现的结论：当x＞0时，随着x的增大，x2也随着增大．（答案不唯一）．
【考点7 算术平方根的估算】
1．（2024秋•大渡口区期末）估计❑√28−2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数❑√28的大小，进而得到❑√28−2的大小即可．
【解答】解：∵❑√25＜❑√28＜❑√36，即5＜❑√28＜6，
∴3＜❑√28−2＜4，
故选：C．2．（2024春•南宫市期中）已知整数n满足：n＜❑√2024＜n+1，参考如表数据，判断n的值为（ ）
m 43 44 45 46
m2 1849 1936 2025 2116
A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】先根据表格中的数据估算❑√2024的大小，从而求出n即可．
【解答】解：∵❑√1936＜❑√2024＜❑√2025，即44＜❑√2024＜45，整数 n 满足：n＜❑√2024＜
n+1，
∴n＝44，
故选：B．
3．（2024春•花山区校级期中）估计5−❑√13的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【分析】先估算出❑√13的值，然后再估算出5−❑√13的值即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴❑√9＜❑√13＜❑√16，
即3＜❑√13＜4，
∴﹣4＜−❑√13＜−3，
∴1＜5−❑√13＜2，
∴5−❑√13的值在1到2之间，因此B正确．
故选：B．
4．（2023秋•鄄城县期末）我们知道，❑√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即
❑√2的整数部分是1，小数部分是❑√2−1，请回答以下问题：
（1）❑√10的小数部分是 ；
（2）若a是❑√90的整数部分，b是❑√3的小数部分，求a+b−❑√3+1的平方根．
【分析】（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分．
（2）估算❑√90，得出❑√90的整数部分，即为a的值；估算❑√3，与（1）过程类同，得出b的值；再把
a，b代入代数式a+b−❑√3+1求值．
【解答】解：（1）∵❑√9＜❑√10＜❑√16，
∴3＜❑√10＜4，
则❑√10的小数部分是❑√10−3；，
故答案为：❑√10−3；
（2）∵❑√81＜❑√90＜❑√100，∴9＜❑√90＜10，
∵a是❑√90的整数部分，
则a＝9，
∵❑√1＜❑√3＜❑√4，
∴1＜❑√3＜2，
∵b是❑√3的小数部分，
∴b=❑√3−1，
则a+b−❑√3+1=9+❑√3−1−❑√3+1=9，
∵9的平方根是±3，
∴a+b−❑√3+1的平方根是±3．
5．（2024春•下陆区期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环
小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意
小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整
数部分，差就是小数部分．又例如：❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴❑√7的整数部分为2，小数部
分为❑√7−2．
（1）如果❑√5的小数部分为a，❑√13的整数部分为b，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知5+❑√11的小数部分为a，5−❑√11的小数部分为b．求a+b的值；
（3）已知a是❑√10的整数部分，b是它的小数部分，求2a+（b+3）2的平方根．
【分析】（1）由2＜❑√5＜3，3＜❑√13＜4，即可得到a，b的值；
（2）由3＜❑√11＜4，利用不等式的性质，即可得到8＜5+❑√11＜9，1＜5−❑√11＜2，从而得到
a，b的值，由此得解；
（3）由3＜❑√10＜4，即可得到a，b的值，代入可求出2a+（b+3）2的值，再计算平方根即可；
【解答】解：（1）∵❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，
∴❑√5的整数部分为2，小数部分a=❑√5−2，
∵❑√9＜❑√13＜❑√16，即 3＜❑√13＜4，
∴❑√13的整数部分为b＝3．
（2）∵3＜❑√11＜4，
∴8＜5+❑√11＜9，1＜5−❑√11＜2，
∴5+❑√11的小数部分为a=5+❑√11−8=❑√11−3，
5−❑√11的小数部分为b=5−❑√11−1=4−❑√11，
∴a+b=❑√11−3+4−❑√11=1．（3）∵3＜❑√10＜4，
∴a＝3，b=❑√10−3，
∴2a+(b+3) 2=2×3+(❑√10−3+3) 2=6+10=16，
∴2a+（b+3）2的平方根为：±❑√16=±4．
【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】
1．已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3．
（1）求a、b的值；
（2）求a﹣2b的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可．
（2）根据平方根的意义，计算即可．
【解答】解：（1）∵正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，
∴3x﹣2+5x+10＝0，
∴x＝﹣1，
∴3x﹣2＝﹣5，
∵（﹣5）2＝25，
∴a＝25，
∵a+b﹣4的算术平方根是3，
∴a+b﹣4＝32＝9，
∴25+b﹣4＝9，
∴b＝﹣12，
∴a＝25，b＝﹣12；
（2）±❑√a−2b=±❑√49=±7．
2．已知正数x的两个不同的平方根分别是﹣4m﹣4和12+2m．
（1）求m，x的值；
（2）x﹣8y的算术平方根是16，求x﹣y2﹣12的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得m的值，进而求得x的值；
（2）利用算术平方根的定义求得y＝18，再代入数据求得x﹣y2﹣12的值，再根据平方根的定义求解即
可．
【解答】解：（1）根据题意，得（﹣4m﹣4）+（12+2m）＝0，
解得m＝4，∴﹣4m﹣4＝﹣4×4﹣4＝﹣20，
∴x＝（﹣20）2＝400；
（2）∵x﹣8y的算术平方根是16，
∴400﹣8y＝256，解得y＝18．
∴x﹣y2﹣12＝400﹣324﹣12＝64．
∴x﹣y2﹣12的平方根为±8．
3．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是❑√0.09的10倍，求3a+5b﹣c的平方根．
【分析】根据算术平方根，平方根的定义分别求出a，b，c，再进一步计算即可．
【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝9，
∴a＝5，
根据题意，得3a+b﹣1＝16，
∴b＝2，
∵❑√0.09=0.3，0.3×10＝3，
∴c＝3，
∴3a+5b﹣c＝3×5+5×2﹣3＝22，
∴3a+5b﹣c的平方根是±❑√22．
4．已知实数❑√7−2x与❑√2x−7互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为❑√2，且m和n互为倒
数，求2mn+x❑√y−z2的平方根．
【分析】分别根据相反数、算术平方根、绝对值的性质、倒数可得x、y、z、mn的值，代入代数式计算
可得答案．
【解答】解：∵实数❑√7−2x与❑√2x−7互为相反数，
∴7﹣2x＝0，
7
∴x= ，
2
∵y的算术平方根是14，z的绝对值为❑√2，且m和n互为倒数，
∴❑√y=14，z=±❑√2，mn＝1，
7
∴2mn+x❑√y−z2＝2×1+ ×14﹣（±❑√2）2＝2+49﹣2＝49，
2
∵49的平方根为±7，
∴2mn+x❑√y−z2的平方根为±7．
5．已知A=a−√b a+b+36是a+b+36的算术平方根，B＝a﹣2b是9的算术平方根，求A+B的平方根．【分析】根据根指数是2可得a﹣b＝2，再根据算术平方根的定义可得a﹣2b＝3，然后求出a、b，再求
出A、B，然后根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣b＝2，a﹣2b＝3，
解得a＝1，b＝﹣1，
所以，A=❑√36=6，B＝1﹣2×（﹣1）＝3，
所以，A+B＝6+3＝9，
∵（±3）2＝9，
∴A+B的平方根是±3．
【考点9 算术平方根的实际应用】
1．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长 3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并
通过计算说明．
【分析】（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求
解；
（2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可．
【解答】解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，
由题意得x•3x＝3x2＝75，
√75
因此x=❑ =❑√25=5，
3
即长方形花坛的宽为5m．
（2）嘉淇的说法错误，理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m），
则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2），因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．
2．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为300cm2的长
方形区域，且长、宽之比为5：3．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可．
【解答】解：（1）由题意得原来正方形区域的边长为❑√400=20（m），
（2）由（1）得这根铁丝长为20×4＝80（m），
设长方形的长为5x，则宽为3x，其面积为300m2，
所以5x•3x＝300，
即x2＝20，
解得x=❑√20 ＝2❑√5（m），
∴长方形的周长为16x＝32❑√5=❑√5120（m），
∵802＝6400，而6400＞5120，
∴❑√5120＜80，
所以够用．
3．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极
高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？
请说明理由．（ 取3）
【分析】（1）设π绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据面积公式列式得出4x•3x＝588，解出x＝7，即
可作答．
（2）设完整的圆形绣布的半径为 r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得r=❑√125，结合
❑√125＞❑√121=11，即可作答．
【解答】解：（1）设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据题意，
得4x•3x＝588，
即12x2＝588，
∴x2＝49，
∵x＞0，∴x＝7，
∴绣布的长为28cm，宽为21cm，
周长为2×（28+21）＝98（cm）．
（2）不能够裁出来，理由如下：
设完整的圆形绣布的半径为r cm，
得 r2＝375，
∵π取3，
∴πr2＝125，
解得r=❑√125（负值已舍去），
∵❑√125＞❑√121=11，
∴2r＞21，
∴不能够裁出来．
4．如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼
成一个大正方形．
（1）大正方形的边长是 cm．
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为 3：2，且面积为
600cm2？
【分析】（1）求出大正方形的面积，再由正方形的面积公式求出其边长即可；
（2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm，根据长方形的面积公式列方程并求解；若x的值小于
30，则说明能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2；否则，则不能．
【解答】解：（1）❑√450×2=❑√900=30（cm），
∴大正方形的边长是30cm．
故答案为：30．
（2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm．
根据题意，得6x2＝600，
解得x ＝10，x ＝﹣10（舍去），
1 2
3×10＝30（cm），2×10＝20（cm），
∵20＜30，∴能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2．
5．【动手实践】如图1，现有1个边长为2的正方形纸片和5个边长为1的小正方形纸片，图2是小正方
形边长为1的网格．
利用现有的小正方形纸片能否拼接成一个大正方形（无缝隙、不重叠），若可以，在如图2中画出拼接
后的大正方形，并直接写出大正方形的边长；若不能，说明理由；
【解决问题】某小区有一块长方形草坪．为了防止踩踏，物业准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来．已知
该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m2，求所需篱笆的总长度．
【分析】【动手实践】依题意得所拼成的大正方形的面积为9，则所拼成的大正方形的边长为3，然后
画出图形即可；
【解决问题】设长方形草坪的宽为x m，则长方形草坪的长为4x m，依题意得x•4x＝900，由此解出x
＝15，进而可求出所需篱笆的总长度即可．
【解答】解：【动手实践】，可以，理由如下：
假设能拼成一个大正方形，
∵边长为2的正方形的面积为4，5个边长为1的正方形的面积之和为5，
∴所拼成的大正方形的面积为4+5＝9，
∴所拼成的大正方形的边长为3，如图所示：
【解决问题】，设长方形草坪的宽为x m，则长方形草坪的长为4x m，
依题意得：x•4x＝900，
∴x2＝225，∴x＝15，或x＝﹣15（不合题意，舍去），
∴所需篱笆的总长度为：2（x+4x）＝10x＝150（m），
答：所需篱笆的总长度150m．
