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第 19 章《19.1.1 变量与函数》第一课时
教学内容 19.1.1变量与函数第一课时
知识与技能：
1．认识变量、常量．
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
过程与方法：1．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理， 有 条理
教学 地、清晰地阐述自己观点．
目标 2．逐步感知变量间的关系．
情感、态度与价值观：
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．
1．认识变量、常量．
教学重点 2．用式子表示变量间关系．
教学难点 用含有一个变量的式子表示另一个变量．
引导、探索法
教学方法
教学准备 ppt
教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）
Ⅰ．提出问题，创设情境
情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时
间为t小时．
1．请同学们根据题意填写下表：
t/时 1 2 3 4 5
s/千米
2．在以上这个过程中，变化的量是________．变变化的量是__________．
3．试用含t的式子表示s．
通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．
[生]从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60
千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60千米，即240千
米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关
教学过程
系：s=60t．其中里程s与时间t是变化的量，速度60千米／小时是不变的量．
[师]很好！谢谢你正确的阐述．
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实
生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种
规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的
数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．
[活动一]
活动内容设计：
1．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310
张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的
式子表示y?
2．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变
化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用
含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
1设计意图：
让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会
用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．
教师活动：
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．
学生活动：
在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确
的结论．
活动结论：
1．早场电影票房收入：150×10=1500（元）
日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）
关系式：y=10x
2．挂1kg重物时弹簧长度：1×0.5+10=10.5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5（cm）
关系式：L=0.5m+10
[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定
在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值
发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述
两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10
元，弹簧原长10 cm……都是常量．
Ⅲ．随堂练习
1．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与
变量，并写出关系式．
2．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指
出其中常量与变量．
Ⅳ．课时小结
本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步
骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．
1．确定事物变化中的变量与常量．
2．尝试运算寻求变量间存在的规律．
3．利用学过的有关知识公式确定关系区．
本课作业
课后思考题、练习题．
课题：《19.1.1变量与函数》
一、例题展示
二、作业
板书设计
第 19 章《19.1.1 变量与函数》第二课时
教学内容 19.1.1变量与函数第二课时
知识与技能：
1．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．
2．进一步理解掌握确定函数关系式．
教学
目标
3．会确定自变量取值范围．
过程与方法：
21．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．
2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同
表达方式．
情感、态度与价值观：
1．积极参与活动、提高学习兴趣．
2．形成合作交流意识及独立思考的习惯．
1．进一步掌握确定函数关系的方法．
教学重点
2．确定自变量的取值范围．
教学难点
认识函数、领会函数的意义
教学方法 回顾思考─探索交流─归纳总结
教学准备 ppt
教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变
量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确
定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个
变量，变量间存在什么联系．
[生]活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，经计算可以发现：每当售票数量x取
定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；日场x=205，
则y=2050；晚场x=310，则y=3100．
问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L就随
之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则
L=15，当m=20时，则L=20．
[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中
的变量又怎样呢？
教学过程
[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．
问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．每
当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r= ．
问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，即可得出另一边长，再
计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-
2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，每当矩形长度x取定一个
值时，面积Ｓ就随之确定一个值．
[师]谢谢你，大家为他鼓掌．
由以上回顾我们可以归纳这样的结论：
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量
随之就有唯一确定的值与它对应．
其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下
面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：
（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生
3物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应
值吗？
（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于
表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？
中国人口数统计表
年份 人口数／亿
1984 10．34
1989 11．06
1994 11．76
1999 12．52
[生]我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一
确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人
口数y．
[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是
x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的
函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电
图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变
量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
[活动一]
活动内容设计：
1．在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表：
x 1 3 -4 0 101
y
显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？
2．在计算器上按照下面的程序进行操作．
4下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：
x 1 2 3 0 -1
y 3 5 7 2 -1
所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式
（用含有x的式子表示y）．
设计意图：
通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理
验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．
教师活动：
引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．
学生活动：
在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解
函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函
数关系式的办法．
活动结论：
1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对
应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．
2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键，且每个x的值都有唯
一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：
y=2x+1
[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的
方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．
[活动二]
活动内容设计：
一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x
（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
1．写出表示y与x的函数关系式．
2．指出自变量x的取值范围．
3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
设计意图：
通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自
变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．
教师活动：
注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方
法．
学生活动：
通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握
其一般方法．
活动过程及结果：
1．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：0.1x
油箱中剩余油量为：50-0.1x
5所以函数关系式为：y=50-0.1x
2．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行
驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，
即0.1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是：
0≤x≤500
3．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将
x=200代入y=50-0．1x得： y=50-0．1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．
[师]通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会
如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考
虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．
Ⅲ．随堂练习
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数
的式子．
1．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．
2．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而
变化．
解答：
1．正方形边长x是自变量，正方形面积Ｓ是x的函数．
函数关系式：S=x2
2．这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数．
函数关系式：y=
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通
过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方
法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．
本课作业
课后思考题、练习题．
课题：《19.1.1变量与函数》
三、例题展示
四、作业
板书设计
6
