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2025-2026 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇
编
专题 02 全等三角形
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点
E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分
∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列
结论：
①∠APE＝ ∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S ＝S ．
PAB PGE
其中正确的有（ ） △ △
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④
【思路引导】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分
线的性质定理可知，PM＝PN＝PI，易证PH平分∠BGE，即∠PHM＝∠PHI．设∠PEH
＝α，∠PAB＝β，由外角的性质可得∠APE＝α﹣β，∠AHE＝2α﹣2β，所以∠APE＝
∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE＝90°﹣α+β，由三角形内角和可得，
∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，所以∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正
确；在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，易证
△EFC≌△KLC（ASS），所以 EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，易证 FG＝BL，所以
△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，由由外角的性质可知，
∠BAC＝∠BKC，所以AB＝BK＝GE，故③正确；因为S ＝ •AB•PM，S ＝
PAB PGE
GE•PI，且AB＝GE，PM＝PI，所以S ＝S ．故④正确△． △
PAB PGE
【完整解答】解：过点P分别作GE，△AB，AC△ 的垂线，垂足分别为I，M，N，
学科网（北京）股份有限公司∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，
∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，
∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，
∴PM＝PN＝PI，
∴∠PMH＝∠PIH，
∵PH＝PH，
∴∠PHM＝∠PHI，
∴Rt PMH≌Rt PIH（HL），
∴∠PHM＝∠PHI，
△ △
设∠PEH＝α，∠PAB＝β，
∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，
对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝α﹣β，
对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，
∴∠AHE＝2α﹣2β，
∴∠APE＝ ∠AHE；故①正确；
∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，
∴∠PHE＝90°﹣α+β，
∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，
∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；
在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，
∵∠ECF＝∠LCK，
∴△EFC≌△KLC（ASS），
∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，
∵BG＝2FC，FC＝CL，
∴BG＝FL，
∴FG＝BL，
∴△GEF≌△BKL（SAS），
∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，
∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，
∴∠BAC＝∠BKC，
∴AB＝BK，
∴GE＝AB，故③正确；
学科网（北京）股份有限公司∵S ＝ •AB•PM，S ＝ GE•PI，
PAB PGE
又∵△AB＝GE，PM＝PI△，
∴S ＝S ．故④正确．
PAB PGE
故选△：D．△
2．（2分）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，
E为BC上一点，连接 AE，∠CAD＝2∠BAE，连接 DE，下列结论中：①∠ADE＝
△
∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【思路引导】因为∠CAD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延长EB至G，使BE＝BG，从
而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且 AE＝AG，接着证明
△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，也可以通过线段的
等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当
∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．
【完整解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝ ∠DAC，
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAE＝ ∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
3．（2分）如图，Rt ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过
P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；
△
②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定
和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【完整解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝ （∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH＝PD，故③正确．
如图，连接CP，
学科网（北京）股份有限公司∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
∴其中正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连
接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误
的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE
【思路引导】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断
A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求
解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝
∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【完整解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司B．∵△DAC≌△EAB，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，
GN⊥BC 于点 N，连接 AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：
①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】过点G作GE∥AB，交BC于点E，证明GE是梯形ABCD的中位线，然后
利用角平分线的性质和平行线的性质即可逐一进行判断．
【完整解答】解：如图，过点G作GE∥AB，交BC于点E，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∵点G为AD的中点，
∴点E为BC的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴GE是梯形ABCD的中位线，
∴AB+CD＝2GE，
∵AB+CD＝BC，
∴BC＝2GE，
∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2EC，
∴BE＝EC＝GE，
∵BE＝GE，
∴∠EBG＝∠BGE，
∵AB∥GE，
∴∠ABG＝∠BGE，
∴∠ABG＝∠EBG，
∴BG平分∠ABC，故③正确；
∵CE＝GE，
∴∠EGC＝∠ECG，
∵CD∥GE，
∴∠EGC＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠DCG，
∴CG平分∠BCD，故④正确；
∵GM⊥CD，GN⊥BC，
∴GM＝GN，故②正确；
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝ ∠ABC，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG＝ ∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBG+∠BCG＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°，故①正确．
综上所述：正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
6．（2分）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C
作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小
△
值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．24 B．22 C．20 D．18
【思路引导】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为
AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四
边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【完整解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
7．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E
分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定
△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE
【思路引导】根据等角对等边以及等边对等角解决此题．
【完整解答】解：A．添加AE＝BE，无法推断出△ABC是等腰三角形，那么A不符合
题意．
B．添加BE＝CD，无法推断出△ABC是等腰三角形，那么B不符合题意．
C．由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB．添加∠BEO＝∠CDO，得∠ABC＝∠ACB，故AB
＝AC，即△ABC是等腰三角形，那么C符合题意．
D．添加∠BEO＝∠BOE，无法判断△ABC是等腰三角形，那么D不符合题意．
故选：C．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且
BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝
62°，则∠BDC的度数为（ ）
A．56° B．60° C．62° D．64°
【思路引导】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角
性质和三角形的内角和解答即可．
【完整解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠BDC＝∠BAC＝56°，
故选：A．
9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交
点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路引导】根据全等三角形的定义画出图形，即可判断．
【完整解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
故选：A．
10．（2分）如图，在Rt ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分
线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交
△
CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：
①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（
）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，则： ，故∠ADC＝ ∠ABC
＝45°．
②根据三线合一，延长GD与AC相交于点I，则CG＝CI，AI＝AF；
③证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④在DF上截取DM＝CD，证△EMF≌△CEG即可．
【完整解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴∠ADC＝ ∠ABC＝45°，故①正确；
延长GD与AC相交于点I，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDI＝90°，
∵CF平分∠GCI，
∴∠GCD＝∠ICD，
在△GCD和△ICD中，
，
∴△GCD≌△ICD（ASA），
∴CG＝CI，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADI＝∠ADF，
在△AFD和△AID中，
学科网（北京）股份有限公司，
∴△AFD≌△AID（ASA），
∴AF＝AI，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CI，CI＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴△EMF≌△CEG（SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B
＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝ ，则AD的长为 ．
【思路引导】在FA上取一点T，使得FT＝BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK
＝ET，连接DK．想办法证明AT＝DK，DK＝BD，推出BD＝AT，推出BT＝AD即可解
决问题．
【完整解答】解：在FA上取一点T，使得FT＝BF，连接ET，在CB上取一点K，使得
CK＝ET，连接DK．
学科网（北京）股份有限公司∵EB＝ET，
∴∠B＝∠ETB，
∵∠ETB＝∠1+∠AET，∠B＝∠1+∠2，
∴∠AET＝∠2，
∵AE＝CD，ET＝CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK＝AT，∠ATE＝∠DKC，
∴∠ETB＝∠DKB，
∴∠B＝∠DKB，
∴DB＝DK，
∴BD＝AT，
∴AD＝BT，
∵BT＝2BF＝ ，
∴AD＝ ，
故答案为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取
点D，使BD＝CA，在射线 CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝
38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝ 5 8 °．
【思路引导】首先证明△ABD≌△GCA可得∠AGC＝∠BAD，然后根据直角三角形两个
锐角互余可得∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，进而可以解决问题．
【完整解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠ABE+∠BAC＝90°，∠ACF+∠BAC＝90°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABD和△GCA中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴∠AGC＝∠BAD，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠EBC＝20°，
∵∠AGF+∠GAF＝90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE＝90°，
∴∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，
即∠GAB＝58°，
故答案为：58．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右
侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若
CE∥AB，则∠DOC的度数为 92 ° ．
【思路引导】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，
可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【完整解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
学科网（北京）股份有限公司∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
14．（2分）如图，已知四边形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝
∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，
点Q在线段 CD上由 C 点向 D点运动．当点 Q的运动速度为 或 3 或 或
cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【思路引导】设点P在线段BC上运动的时间为t，分两种情况讨论，①点P由B向C运
动时，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，
④△BPE≌△CPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可．
【完整解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为t，
①点P由B向C运动时，BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3cm/s；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
学科网（北京）股份有限公司∴3t＝8﹣3t，
t＝ ，
此时，点Q的运动速度为：5÷ ＝ cm/s；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t＝ ，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷ ＝ cm/s；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝ cm/s；
综上所述：点Q的运动速度为 cm/s或3cm/s或 cm/s或 cm/s；
故答案为： 或3或 或 ．
15．（2分）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别
在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，
△
AB＝10时，则△CEF的周长为 4 ．
【思路引导】如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取
一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．利用全等三角形的性质证明EF＝EM+FN，可得结论．
【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB
学科网（北京）股份有限公司上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S ＝ •BC•AC＝ （AC+BC+AB）•PM，
ABC
∴P△M＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
学科网（北京）股份有限公司16．（2分）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE
＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：
△
① EF＝FG；② CD＝DE；③∠BEG＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是
①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【思路引导】根据△BEF≌△BEG即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，根据
四边形DCFG的内角和即可判断③，根据等腰三角形的性质即可判断④．
【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵EF⊥BD，
∴∠3＝∠4＝90°，∠EFD＝∠DFG＝90°，
在△BEF和△BEG中，
，
∴△BEF≌△BEG，
∴EF＝FG，故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，
∴DC＝DM，
在Rt EMD中：ED＞MD，
∴CD≠DE，故②说法错误；
△
学科网（北京）股份有限公司∵△BEF≌△BEG，
∴∠5＝∠6，
在四边形CDFG中∠C+∠8+∠DFG+∠7＝180°，∠C＝∠DFG＝90°，
∴∠7+∠8＝180°，
∵∠7+∠6＝180°，
∴∠6＝∠8，
∴∠5＝∠8，
即∠BEG＝∠BDC，故③正确；
∴∠AEF＝∠ADF，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠DEF＝∠EDF，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝45°，故④正确．
故答案为：①③④．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添
加一个条件 AD ＝ CE （答案不唯一） ，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．
【思路引导】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理
即可，两个三角形全等已具备的条件是∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＝∠CBE，根据三
角形全等的判定方法即可确定添加的条件．
【完整解答】解：添加的条件是AD＝CE，
理由是：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（ASA）．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：AD＝CE（答案不唯一）．
18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交
AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为 2. 5 ．
【思路引导】根据平行线性质得出∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，求出AE＝EC，根据
AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．
【完整解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故答案为：2.5．
19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的
三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，
且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 5 个（△ABC除外）．
【思路引导】根据全等三角形的判定定理SSS画出和△ABC全等的三角形，再得出答案
即可．
【完整解答】解：如图1所示：
学科网（北京）股份有限公司方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，
△AEF，△ACH，共5个，
故答案为：5．
20．（2分）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与
∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为
△
3 cm．
【思路引导】过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，利用角平分线的性质推知OD＝
OE＝OF；最后根据三角形的面积公式解答．
【完整解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，
∴OD＝OE＝OF．
∴S ＝S +S +S ＝ （AC+BC+AB）•OD＝ AC•BC，
ABC AOC BOC AOB
△ △ △ △
即 ×（8+15+17）•OD＝ ×8×15．
则OD＝3cm．
故答案是：3．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（8分）综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD
于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
学科网（北京）股份有限公司（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
【思路引导】（1）可利用SAS证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝
180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；
（3）连接 AF，过点 A 作 AJ⊥CF 于点 J．结合全等三角形的性质利用 HL 证明
Rt AFJ≌Rt AFH，Rt AJE≌Rt AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．
【完整解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
△ △ △ △
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S ＝S ，CE＝BD，
ACE ABD
∵A△J⊥CE，△AH⊥BD．
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴AJ＝AH．
在Rt AFJ和Rt AFH中，
△ △
，
∴Rt AFJ≌Rt AFH（HL），
∴FJ＝FH．
△ △
在Rt AJE和Rt AHD中，
△ △
，
∴Rt AJE≌Rt AHD（HL），
∴EJ＝DH，
△ △
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．
（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．
（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝
∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．
【思路引导】（1）在 BC 上截取 BM＝BD，连接 FM，证明△BFD≌△BFM，
△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；
（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．
【完整解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，
∵∠A＝60，
∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠BFD＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
在△BFD和△BFM中，
，
∴△BFD≌△BFM（SAS），
∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，
∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，
∵∠CFE＝∠BFD＝60°，
∴∠CFM＝∠CFE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠3＝∠4，
又CF＝CF，
在△ECF和△MCF中，
，
∴△ECF≌△MCF（ASA），
∴EF＝MF，
∴DF＝EF；
（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDF＝∠CDA＝90°，
∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，
∴∠1＝∠3，
∵BD＝CD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴DF＝DA，
∵∠ADF＝90°，
∴∠6＝45°，
∵∠G＝∠6，
∴∠5＝45°
学科网（北京）股份有限公司∴∠G＝∠5，
∴GD＝DA，
∴GD＝DF．
23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长
线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
【思路引导】（1）利用AAS即可证明△AEF≌△BGH；
（2）结合（1）证明△EFD≌△GHD，即可解决问题．
【完整解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，
∴△EFD≌△GHD（AAS），
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
24．（8分）在Rt ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一
点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
△
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线
段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝
DG+KG．
【思路引导】（1）证明Rt ACB≌Rt DEB即可解决问题；
（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可
△ △
解决问题．
【完整解答】证明：（1）在Rt ACB和Rt DEB中，
△ △
，
∴Rt ACB≌Rt DEB（HL），
∴AB＝BD，
△ △
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
学科网（北京）股份有限公司∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，
且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 DE ＝ BD + CE
；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证
明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图 3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且 AB＝
AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【思路引导】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝
∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到 ∠DBA＝∠EAC，然后结合 AB＝AC 得证
△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进
而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合 AB＝AC 得证△DBA≌△EAC，最后得到 DE＝
BD+CE；
（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后结合AB＝AF＝AC
学科网（北京）股份有限公司得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后结
合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，从而得到∠FAD＝∠FCE，故可证
△FAD≌△FCE，从而得到 DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝
∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得证△DEF是等边三角形．
【完整解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形，理由如下，
∵α＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AB＝AF＝AC，
∴△ABF和△ACF是等边三角形，
∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，
同（2）可得，△BDA≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，
∴∠FAD＝∠FCE，
∴△FAD≌△FCE（SAS），
∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延
长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．
学科网（北京）股份有限公司求证：△PMN是等腰三角形．
【思路引导】证明△ADE≌△BCF．可得∠ADE＝∠BCF，然后根据平行线的性质即可
解决问题．
【完整解答】证明：∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
∴AD＝BC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠ADE＝∠BCF，
∵MN∥AB，
∴∠ADE＝∠M，∠BCF＝∠N，
∴∠M＝∠N，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．
27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．
（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD ＝ ∠COB；
（2）求证：△AOG≌△COE；
（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好 OB⊥CD，则此时∠AOB＝ 120
°．
【思路引导】（1）由全等三角形的性质得∠AOB＝∠COD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得OA＝OC，∠A＝∠C，再由ASA证△AOG≌△COE即可；
（3）由全等三角形的性质得OA＝OC，OB＝OD，则OA＝OB＝OC＝OD，再由三角形
中位线定理得OE∥AD，则∠ODA＝∠BOD，然后证∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，
即可得出结论．
【完整解答】（1）解：∵△AOB≌△COD，
学科网（北京）股份有限公司∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，
即∠AOD＝∠COB，
故答案为：＝；
（2）证明：∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠A＝∠C，
在△AOG和△COE中，
，
∴△AOG≌△COE（ASA）；
（3）如图，∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠ODA＝∠BOD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝∠BOD+∠BOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
故答案为：120．
28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝
AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①易证BD＝AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD＝∠BCD＝45°即可解题；
②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；
③分三种情形讨论即可；
【完整解答】（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME＝BD，
理由：连接MC，
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM＝CD，
∵EC＝CA，∠EMC＝120°，
∴∠ECM＝∠BCD＝45°
在△BDC和△EMC中，
学科网（北京）股份有限公司，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME＝BD．
③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，
∠CNE＝15°，
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
学科网（北京）股份有限公司
