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专题 07 直角三角形中的锐角平分线模型
解题思路
【模型】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，已知 AC=6，
BC=8，AD是△ABC的角平分线，求DC的长.
【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则△ACD≌△AED(AAS)，
∴AE=AC=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理
得 =10
易知EB= 设DC=x，
则DE=x，DB=8 - x，
在Rt△DEB中，由勾股定理
解得x=3，∴DC=3.【典例分析】
【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿
过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能
求出BD的长吗？请写出求解过程．
【解答】解：能
∵BC2+AC2＝225，AB2＝225
∴AB2＝BC2+AC2．
∴∠C＝90°
∵折叠
∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°
∴BE＝AB﹣AE＝6cm
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．
∴BD2＝（12﹣BD）2+36
∴BD＝
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为 cm．
【答案】4
【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴CD＝DE．
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC．
又∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm，
∴AB＝4cm．
故填4
【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿
AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝ ＝ ＝10（cm），
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE＝AC＝6cm，
设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，
即（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3．
故CD的长为3cm．
【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边
AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 ．【答案】 cm
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝10，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，
∵AC＝8，
∴CE＝AE﹣AC＝2，
即CE的长为2，
设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得
CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝ ，
即CD长为 cm．
故答案为： cm．
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿
AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终
点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；
（3）当AP＝CQ时，求t的值？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，
∴BC＝ ＝24cm．
（2）如图，连接PQ，
BP＝7﹣2＝5，
BQ＝6×2＝12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝ ＝13（cm）；
（3）设t秒后，AP＝CQ．则
t＝24﹣6t，
解得 t＝ ．
答：P、Q两点运动 秒，AP＝CQ．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出
发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时， （cm），
①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，
∴t＝8，
②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，
解得：t＝ ，
综上所述，t＝8或 ；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝8（cm），
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝ ，
∴t＝ ．
综上所述：t的值为16或10或 ．【夯实基础】
1．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC
于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．4
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，
由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝5，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝8，
∴AD＝ ＝ ＝4 ，
故选：D．
2．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角
平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（ ）A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
故选：D．
3．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂
足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC＝9，AB＝
15，则CE的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，
∴BC＝ ，
在Rt△ACF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴AC＝AG＝9，
设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，
∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，
解得x＝ ，
即CE＝ ，
故选：B．
4．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边
的高线，则BD的长为 ．
【答案】
【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝EC＝4，∴AE＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴BD＝ ，
故答案为： ．
5．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交
AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周
长是 ．
【答案】 8 cm
【解答】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝
8（cm），
故答案为：8cm．
6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC
＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是 ．
【答案】 6 cm
【解答】解：如图，连接BE．
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠C＝90°．
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE＝DE，
∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AD+AC＝AB﹣BC+AC＝5﹣3+4＝6（cm）．
故答案是：6cm．
7．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝
12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 F，与BC交于点E，则
BE的长是 ．【答案】
【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线．
∴CE＝DE．
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝15．
∴BD＝AB﹣AD＝6．
∴S ＝S +S ，
△ABC △ACE △ABE
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴9×12＝9CE+15DE，
∴DE＝ ，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
8．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，
AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为
t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）当△ABC 为直角三角时，
（cm），
①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，
BP＝BC＝8，
∴t＝8，
②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，
解得：t＝ ，
综上所述，t＝8或 ；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝8（cm），
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝ ，
∴t＝ ．
综上所述：t的值为16或10或 ．
9．（2021秋•揭东区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB
上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
【解答】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
【能力提升】
10．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝ ＝ ＝12，
在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
11．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC
中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．
（1）求BF的长；
（2）直接写出DE的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝13，F是BC中点，
∴AF⊥BC，BF＝CF，
∵AF＝12，
∴CF＝ ，
∴BF＝5；
（2）连接CD，
∵BF＝CF＝5，
∴BC＝10，
∴S ＝ BC•AF＝60；
△ABC
∵AD＝BD，
∴S ＝S ＝ S ＝30，
△ADC △BCD △ABC
即 AC•DE＝30，
∴DE＝ ．
