文档内容
专题34 按要求构造分式
1．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 元，现每册降价 元销售，则这种图书库
存全部售出时，其销售额为 元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解．
【详解】解：这种图书的库存量是： （册），
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系．
2．一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共
120万字，这位作家平均每天的写作量是（ ）
A． 万字/天 B． 万字/天 C． 万字/天 D． 万字/天
【答案】C
【分析】根据总字数除以总天数求出所求即可．
【详解】解：根据题意得：
这位作家平均每天的写作量是 万字/天．
故选：C．
【点睛】此题考查了列代数式（分式），弄清题意是解本题的关键．
3．不透明袋中装有除颜色外完全相同的 个白球、 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】 共有 个球，其中红球b个
从中任意摸出一球，摸出红球的概率是 ．
故选A ．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．4．2019年、2020年、2021年某地的森林面积（单位： ）分别是 ， ， ，2021年与2020
年相比，森林面积增长率提高了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算出2020年的增长率，再计算出2021年的增长率，再用2021年的增长率减去2020
年的增长率就是提高的增长率．
【详解】解：2020年的增长率为：
2021年的增长率为：
2021年与2020年相比，森林面积增长率提高了：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列代数式，能正确表示增长率是解答此题的关键．
5．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需 小时，如果该车的速度每小时增加 千米，
那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间．
【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需 小时，故全程为60t千米，
该车的速度每小时增加 千米后的速度为每小时（60+v）千米，
则从A城到B城需要 小时，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
6．近几年鞍山市的城市绿化率逐年增加，其中2019年，2020年，2021年鞍山的城市绿化面积分
别是 ， ， ，2021年与2020年相比，鞍山城市绿化的增长率提高（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出2021年与2020年城市绿化的增长率，相减即可．
【详解】解：2020年城市绿化的增长率为： ；
2021年城市绿化的增长率为： ；
2021年与2020年相比，鞍山城市绿化的增长率提高 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式，解题关键是熟悉增长率的求法，正确列出分式并作差．
7．有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩产量n千克，这两块棉田平均亩产
量是__________．
【答案】
【分析】用两块地的总产量除以总亩数即可求得答案．
【详解】解：这两块地的平均亩产量是（mx＋ny）÷（x＋y）＝ 千克．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确
其中的运算关系，正确的列出代数式．
8．小明用 元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本 元（ ），现在每本降价1元，购
买到这种练习本的本数为______．
【答案】
【分析】先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可．
【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元，则购买到这种练习本的本数为 （本）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．
9．有一捆长度相等，质地均匀的钢筋，总质量m千克，每根钢筋的质量n千克，单根钢筋的长度
是9米，则这捆钢筋的总长度是____________米，
【答案】
【分析】根据题意先求出这捆钢筋一共有 根，再乘以每根的长度即可求得．
【详解】解：由题意可知：这捆钢筋的总根数为： ，
又∵单根钢筋的长度是9米，
∴这捆钢筋的总长度为： 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用分式表示实际问题中的数量关系，根据数量关系正确的构造出分式是解题
的关键．
10．（1）n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成________吨．
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时
间可用式子表示成________小时．
【答案】
【分析】（1）利用n公顷麦田小麦总产量m吨除以n公顷即可；
（2）先设出所用时间，利用逆水速度×时间=路程即可求解．
【详解】解：（1）∵n公顷麦田共收小麦m吨，
∴平均每公顷的产量为 吨，
故答案为 ；
（2）设轮船在逆流中航行s千米需要t小时，
∵静水中速度为每小时走a千米，水流速度是b千米/时，
∴逆水速度为（a-b）千米/时∴ ，
∴ 小时，
故答案为 ．
【点睛】本题考查构造分式，平均每公顷的产量，和行程问题中的逆水时间，掌握平均每公顷的
产量公式为总产量÷公顷数，行程问题中的逆水时间=逆水路程÷逆水速度是解题关键．
11．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时
段 天内共接待游客 万人次，第二时段 天内共接待游客 万人次，则这两个时段内平均每天
接待游客________万人次．
【答案】
【分析】根据平均数的定义，列出分式，即可．
【详解】解：由题意得：（m+3m）÷（a+b）= ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查根据题意列分式，掌握平均数的定义和分式的概念，是解题的关键．
12．一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5克盐
完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为________．
【答案】
【分析】根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有5+m克，盐水有m+n+5
克，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
要配制的盐水的质量分数是： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式，注意是求
盐占“盐水”的分率，而不是求盐占“水”的分率．
13．某人上山，下山的路程都是 ，上山速度 ，下山速度 ，则这个人上山和下山的平均速度是
______．【答案】
【分析】平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．
【详解】解：由题意上山和下山的平均速度为： .
故答案为： ．
【点睛】本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下
山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
14．列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地 ，则人均耕地面积为_________ ．
（2） 的面积为S， 边的长为a，则高 为________．
（3）一辆汽车 行驶了 ，则它的平均速度为_______ ；一列火车行驶 比这辆汽车
少用 ，则它的平均速度为________ ．
【答案】 ##
【分析】根据各题的基本数量关系，列出分式，即可．
【详解】解：（1）某村有n个人，耕地 ，则人均耕地面积为 ；
（2）由 a∙AD=S，可得：AD= ；
（3）一辆汽车 行驶了 ，则它的平均速度为 ；列火车行驶 比这辆汽车少用 ，
则它的平均速度为 ．
故答案是： ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查列分式，理解各题的基本数量关系，是解题的关键．
15．阅读下面材料：临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、
圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交
换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还
发现像 ，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是临书生同学把mn和m+n称为
基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式① ，② ，③ ，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；
(2)已知（x﹣m）（x﹣n）＝ ．
①q＝ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 的值．
【答案】(1)①④
(2)①mn；②
【分析】（1）由任意交换两个字母的位置，式子的值都不变即可判断得到答案；
（2）①将左边展开，再比较即可得答案；
②将所求式子变形成含m+n、mn的形式，再代入即可．
（1）
解：在① ，② ，③ ，④ 中，
∴属于神奇对称式的是：① ，④xy+yz+zx，
故答案为：①④；
（2）
①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn，
故答案为：mn；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴
＝
＝＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查分式的运算，涉及新定义，解题的关键是将所求式子变形成含m+n、mn的形式．
16．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ．在分式中，对于只
含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： ，
，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形
式，如： ；
．
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
【答案】(1)假
(2) ，(3)当x＝2或0时，分式 的值为整数
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
（1）
解：∵分子的次数大于分母的次数，
∴分式 是假分式，
故答案为：假；
（2）
解：
，
；
（3）
解：
，
∵分式的值为整数，x为整数，∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
∴当x＝2或0时，分式 的值为整数．
【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
17．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：
2 2
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我
们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假
分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ；
再如： x+1
解决下列问题：
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式的形式为 ；
(3)把分式 化为带分式；如果 的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)真
(2)
(3)0或﹣2或2或﹣4
【分析】（1）根据真分式的定义即可判断；
（2）根据例题把分式的分子化成x+2的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则求解；
（3）分式 化为带分式，把分子化成2（x+1）﹣3的形式，然后逆用同分母的分式的加法法
则化成带分式；的值为整数，则 的值一定是整数，则x+1一定是3的约数，从而求得x的值．
（1）
解： 是真分式，
故答案是：真；
（2）
1 ．
故答案是：1 ；
（3）
2 ；
∵ 的值为整数，且x为整数；
∴x+1为3的约数，
∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3；
∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．
【点睛】本题考查分式中的新定义，分式的加减法，解题关键是正确理解题中所给的新定义．
18．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运
算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成
一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称
为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解： ＝ ．
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．【答案】（1） ；（2）2或4或-10或16
【分析】（1）按照定义拆分即可， ＝
．
（2）先将 拆分为一个整式与一个分式的和的形式，
＝ ，若要值为整数，只需
为整数即可，故x=2或4或-10或16．
【详解】（1）
＝
．
（2）
＝
若要 值为整数，只需 为整数即可
当x=2时
当x=4时
当x=-10时当x=16时
故x=2或4或-10或16．
【点睛】本题考查了分式的化简构造新形式以及求使分式值为整数的未知数，理解逆用分数加减
法的化简方法是解题的关键．
19．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或
等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真
分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也
可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ；
解决下列问题：
（1）分式 是________分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【答案】（1）真；（2） ；（3） ，0， ，
【分析】（1）根据阅读材料中的内容可知：分式 是真分式；
（2）参照阅读材料中的例子，把分式 的分子化为 即可把原分式化为带分式；
（3）先把分式 化成带分式的形式可得： ，由原分式的值为整数，可得 的值
为整数，由此即可分析得到整数 的值．
【详解】解：（1）由“真分式、假分式”的定义可知，分式 是真分式；故答案为：真；
（2）原式 ；
（3）原式 ，
由 为整数，分式的值为整数，
得到 ，解得： ，
，解得： ，
，解得： ，
，解得： ，
则所有符合条件的 值为 ，0， ， ．
【点睛】本题考查的是一道有关分式运算的阅读理解类的题目，分式新定义，解一元一次方程，
解题时需注意：认真阅读理解所给内容，通过例题，弄清把“假分式”化为“带分式”的方法是
解题的关键．
20．阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；
如 与 …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)
的形式．
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b)
∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．
【材料2】对于式子2+ ，由x2≥0知1+x²的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是________分式(填“真”或“假”)．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① =________+________．
② =________+________．
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个
分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值．
【答案】（1）真；（2）①2； ；②x； ；（3）当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数；
（4）当x的值变化时，原分式的最大值是6
【分析】（1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断．
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案．
（3）根据分母为（x-3），可将原方式转化为x+5+ ， 再根据原分式的值为整数，可得到
x-3=±1或x-3=±2，分别求出x的值即可．
（4）先将分式转化为2+ ，根据分母可知分母的最小值为1，由此可得到 的
最大值为4，由此可得到原分式的最大值为6．
【详解】解（1）∵分子为常数项，故次数为0，分母次数为1
∴为真分式（2）①
②
（3）解： = = = +5+
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1．
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： = =2+ =2+
∵(x-1)²≥0，
∴(x-1)²+1有最小值1
∴ 有最大值4，
∴2+ 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
【点睛】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料
获得信息再进行化简计算是解题的关键．
