文档内容
期末培优检测一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．单项选择（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（ ）
A．2x2﹣8 B．2x2﹣x﹣4 C．2x2+8 D．2x2+6x
试题分析：结果多项式乘法的法则进行计算，然后合并同类项即可．
答案详解：解：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）＝x2+3x﹣4+x2﹣3x﹣4＝2x2﹣8，
所以选：A．
2．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确
的有（ ）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长
②长方形ABCD的长宽之比可能为2
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
试题分析：根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推导出
与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明
④错误．
答案详解：解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）
解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60整理，得a+b＝10
所以四边形GHWD的面积为100．
故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．
综上正确的是①③．
所以选：B．
2x−1
3．（3分）若分式 的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
x2+3
1
A．x为任意实数 B．x＜
2
1 1
C．x＞ D．x＞−
2 2
试题分析：易得分母恒为正数，因为整个分式的值为正数，那么分子应为正数．
2x−1
答案详解：解：∵分式 的值为正数，
x2+3
x2+3恒为正数，
∴2x﹣1＞0，
1
∴x＞ ．
2
所以选：C．
4．（3分）下列运算中，错误的是（ ）
a ac
A． =
b bc
−a−b
B． =−1
a+b
0.5a+b 5a+10b
C． =
0.2a−0.3b 2a−3b
y−x x−y
D． =−
y+x x+ y试题分析：根据分式的基本性质，逐项判断即可．
a ac
答案详解：解：∵c＝0时， = 不成立，
b bc
∴选项A符合题意；
−a−b −(a+b)
∵ = =−1，
a+b a+b
∴选项B不符合题意；
0.5a+b 5a+10b
∵ = ，
0.2a−0.3b 2a−3b
∴选项C不符合题意；
y−x x−y
∵ =− ，
y+x x+ y
∴选项D不符合题意．
所以选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2ab2）2＝4a2b4
C．（a3）2＝a5 D．3a3b2÷a3b2＝3ab
试题分析：根据整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则分别对每一项进行分
析即可．
答案详解：解：A、a3•a4＝a7，故本选项错误；
B、（﹣2ab2）2＝4a2b4，故本选项正确；
C、（a3）2＝a6，故本选项错误；
D、3a3b2÷a3b2＝3，故本选项错误；
所以选：B．
1
6．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了
3
乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，如果乙队单独完成总工程需多少个月？设
乙队单独完成总工程共需x个月，则下列方程正确的是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． + + =1 B． + + =1
3 2 x 3 6 x1 1 1 1 1 1 1
C． + + =1 D． + ( + )=1
3 2 2x 3 2 3 x
1 1
试题分析：设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，甲1个月完成的工作量为 ，根据甲队完成
x 3
的任务量+乙队完成的任务量＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
1 1
答案详解：解：设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，甲1个月完成的工作量为 ，甲和乙
x 3
1 1 1
半个月完成的工作量为 ( + )，
2 3 x
1 1 1 1
根据题意得： + ( + )=1，
3 2 3 x
所以选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边
的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的
长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
试题分析：利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
答案详解：解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
所以选：B．8．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于
D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知
1 1
ED= AD，DF= DF，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得
2 2
到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接 BD、DC，然后证明
△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
答案详解：解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
1
∴ED= AD．
2
1
同理：DF= AD．
2
∴DE+DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
{DE=DF
在Rt△BED和Rt△CFD中 ，
BD=DC
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．
故④正确．
所以选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1
9．（3分）计算：a﹣5b﹣3•ab﹣2＝ （要求结果用正整数指数幂表示）．
a4b5试题分析：根据单项式乘以单项式的法则计算即可．
答案详解：解：a﹣5b﹣3•ab﹣2
＝a﹣5+1b﹣3﹣2
＝a﹣4b﹣5
1
= ．
a4b5
1
所以答案是： ．
a4b5
10．（3分）若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为 ﹣ 201 9 ．
试题分析：原式中括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式
除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
答案详解：解：原式＝（a3﹣2a2b﹣a3+2a2b﹣ab2）]÷b2＝﹣a，
当a＝2019时，原式＝﹣2019．
所以答案是：﹣2019
11．（3分）分解因式：3x2+6x+3＝ 3 （ x + 1 ） 2 ．
试题分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
答案详解：解：3x2+6x+3，
＝3（x2+2x+1），
＝3（x+1）2．
所以答案是：3（x+1）2．
12．（3分）若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣4的值为 1 4 ．
试题分析：利用完全平方公式分解因式可得2m2+4mn+2n2﹣4＝2（m+n）2﹣4，代入可求解．
答案详解：解：2m2+4mn+2n2﹣4＝2（m+n）2﹣4，
∵m+n＝3，
∴原式＝2×9﹣4＝14，
所以答案是：14．
b a 19
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝3， + = ．
a b 3
b2+a2 (a+b) 2−2ab
试题分析：将a+b＝5、ab＝3代入原式= = ，计算可得．
ab ab
答案详解：解：当a+b＝5、ab＝3时，b2+a2
原式=
ab
(a+b) 2−2ab
=
ab
52−2×3
=
3
19
= ，
3
19
所以答案是： ．
3
14．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京
站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：
出行方式 途径站点 路程
地铁 草桥﹣大兴新城﹣大兴机场 全程约43公里
公交 北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣ 全程约54公里
大兴机场
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时
54 43 1
到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程： − = ．
x 2x 2
试题分析：若设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，根据“小贝比小
京少用了半小时到达机场”列出方程即可．
54 43 1
答案详解：解：若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程： − = ．
x 2x 2
54 43 1
所以答案是： − = ．
x 2x 2
15．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为
12，则CD的长为 3 ．
试题分析：利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题．
答案详解：解：∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，1
∴ ×BC×AE＝12，
2
1
∴ ×BC×4＝12，
2
∴BC＝6，
∵AD是△ABC的中线，
1
∴CD= BC＝3，
2
所以答案是3．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q
24
分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
5
试题分析：由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交
AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ
的长度，此题得解．
答案详解：解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的
长，如图所示．1 1
∵S△ABC = BC•AD= AC•BQ，
2 2
BC×AD 24
∴BQ= = ，
AC 5
24
即PC+PQ的最小值是 ．
5
24
所以答案是： ．
5
三．解答题（共11小题，满分92分）
17．（4分）分解因式：x2m+6xm+9m．
试题分析：先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
答案详解：原式＝m（x2+6x+9）
＝m（x+3）2．
18．（8分）计算：
（1）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2．
试题分析：（1）首先计算乘方、乘法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
（2）首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
答案详解：解：（1）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2
＝﹣6a4b2+9a4b2
＝3a4b2
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2
＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5
2a 2a−4 a−2
19．（4分）化简： − ÷ ．
a+1 a2−1 a2−2a+1
试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算
即可得到结果．
2a 2(a−2) (a−1) 2 2a 2(a−1) 2
答案详解：解：原式= − • = − = ．
a+1 (a+1)(a−1) a−2 a+1 a+1 a+1
a b−x
20．（10分）已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
试题分析：（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程
无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和
b为正整数确定b的取值．
答案详解：解：
a b−x
（1）把a＝1，b＝0代入分式方程 − =1中，得
2x+3 x−5
1 −x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15
10
x=−
11
10 10
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
11 11
10
答：分式方程的解是x=− ．
11
a b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1得
2x+3 x−5
1 b−x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15
（11﹣2b）x＝3b﹣10
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
23b−10
②当11﹣2b≠0时，x=
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1，得：
2x+3 x−5
3b x−b
+ =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
整理得：（10+b）x＝18b﹣15
18b−15
∴x=
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵ = =18− ，且b为正整数，x为整数
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11
∵195＝3×5×13
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
21．（10分）某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣
mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
（1）因式分解a3﹣3a2﹣9a+27；
（2）因式分解x2﹣4xy+4y2﹣16；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
试题分析：（1）第一、二项一组，三、四项一组，分别提公因式，再分解．
（2）前三项一组，用公式分解．
（3）先因式分解找到a，b，c的关系，再判断三角形的形状．
答案详解：解：（1）a3﹣3a2﹣9a+27＝a2（a﹣3）﹣9（a﹣3）＝（a2﹣9）（a﹣3）＝（a﹣
3）（a+3）（a﹣3）＝（a+3）（a﹣3）2；
（2）x2+4y2﹣4xy﹣16＝（x2﹣4xy+4y2）﹣16＝（x﹣2y）2﹣42＝（x﹣2y﹣4）（x﹣2y+4）；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，
∴a2﹣2ac+c2﹣ab+bc＝0，
∴（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a﹣c﹣b＜0．
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
22．（8分）从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km，高铁开通后，高铁列车的行程约为
900km，运行时间比特快列车所用的时间减少了 16h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速
度的2.5倍，求特快列车的平均速度．
试题分析：设特快列车平均速度为xkm/h，则高铁列车平均速度为2.5xkm/h，根据高铁列车运行
900km比特快列车运行1800km的时间减少了16h，列方程求解．
答案详解：解：设特快列车的平均速度为x km/h，
1800 900
根据题意可列出方程为 = +16，
x 2.5x
解得x＝90．
检验：当x＝90时，2.5x≠0．
所以x＝90是方程的解．
答：特快列车的平均速度为90km/h．
23．（8分）如图，在△ABC中，已知AC＝BC，E是AB边上一点，BE＝BC，BD平分∠CBE，分
别交CE，AC于点D，F，连接EF．（1）若∠ACB＝100°，求∠BEC和∠FEC的度数．
（2）若∠ACB＝90°，求证：AE＝CF．
试题分析：（1）由等腰三角形的性质可求∠CAB＝∠CBA＝40°，∠BEC＝∠BCE＝70°，由
“SAS”可证△EBF≌△CBF，可得∠BCF＝∠BEF＝100°，可求解；
（2）由全等三角形的性质可得EF＝CF，∠BCF＝∠BEF＝90°，可得∠AFE＝∠CAB＝45°，可
证AE＝EF＝CF．
答案详解：解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝70°，
∵BD平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠EBF，
又∵BE＝BC，BF＝BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF＝∠BEF＝100°，
∴∠FEC＝∠BEF﹣∠BEC＝30°；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵△EBF≌△CBF，
∴EF＝CF，∠BCF＝∠BEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AFE＝∠CAB＝45°，
∴AE＝EF，
∴AE＝CF．
24．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．
（1）若△A B C 与△ABC关于y轴成轴对称，则△A B C 三个顶点坐标分别为：A （﹣ 1 ，
1 1 1 1 1 1 11 ） ，B （﹣ 4 ， 2 ） ，C （﹣ 3 ， 4 ） ；
1 1
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 3√2 ；
（3）计算△ABC的面积．
试题分析：（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB的最小值
＝A′B，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
答案详解：解：（1）如图所示，△A B C 即为所求，
1 1 1
由图知，A 的坐标为（﹣1，1）、B 的坐标为（﹣4，2）、C 的坐标为（﹣3，4）；
1 1 1
（2）如图所示：
作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，
则PA+PB的最小值＝A′B，
∵A′B 3 ，
=√32+32= √2
∴PA+PB的最小值为3√2；
1 1 1 7
（3）△ABC的面积＝3×3− ×3×1− ×1×2− ×2×3= ，
2 2 2 2
所以答案是：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4），3√2．25．（10分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，
E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
试题分析：（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出
BE＝DC，AD＝CE；
（2）如图2，连接OC，由等腰直角三角形的性质可得 AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，
CO⊥AB，由“SAS”可证△DCO≌△EBO，△ADO≌△CEO，可得 EO＝DO，∠EOB＝
∠DOC，∠AOD＝∠COE，可证△DOE是等腰直角三角形．
答案详解：（1）证明：如图1，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
{
∠E=∠D
∠EBC=∠DCA，
BC=AC
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，AD＝CE．
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；
（2）△DOE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
同理可证：△ADO≌△CEO，
∴∠AOD＝∠COE，
∵∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，∴△DOE是等腰直角三角形．
26．（10分）尺规作图及探究：
已知：线段AB＝a．
（1）完成尺规作图：
a
点P在线段AB所在直线上方，PA＝PB，且点P到AB的距离等于 ，连接PA，PB．在线段AB
2
上找到一点Q使得QB＝PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；
a
（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于 ”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件
2
都不变，此时点 P 的位置记为 P′，点 Q 的位置记为 Q′，连接 P′Q′，并直接回答
∠P′Q′B的度数．
1
试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP= a，连接
2
PA，PB即可解决问题．
（2）作等边三角形P′AB即可解决问题．
答案详解：解：（1）如图，点P即为所求．
∵BP＝BQ，∠PBA＝45°，
∴∠PQB＝∠BPQ＝67.5°．
（2）如图，点P′即为所求．
当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形，△BQP′是等边三角形，∴∠P′QB＝60°．
27．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在
AD 的 右 侧 作 △ ADE ， 使 AD ＝ AE ， ∠ DAE ＝ ∠ BAC ， 连 接 CE ．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 9 0 度；
（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝ 12 0 度；
（3）设∠BAC＝ ，∠BCE＝ ．
①如图3，当点Dα在线段BC上β 移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α ，β 之间的数量关系，不用证明．
试题分析：（1）由等腰直角三角形的α性β质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证
△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）由条件可得△ABC为等边三角形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝
60°，则可得出结论；
（3）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结
论；
②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内
角和即可得出结论．答案详解：解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
所以答案是：90；
（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，
所以答案是：120．
（3）① + ＝180°，
理由：∵∠α BβAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
{
AB=AC
在△ABD与△ACE中， ∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝ ，
β∴∠B+∠ACB＝ ，
∵ +∠B+∠ACBβ＝180°，
∴α+ ＝180°．
②α如β图1：当点D在射线BC上时， + ＝180°，
连接CE， α β
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴ + ＝180°，
如α图β2：当点D在射线BC的反向延长线上时， ＝ ．
连接BE， α β
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴ ＝ ；
综α上所β述：点D在直线BC上移动， + ＝180°或 ＝ ．
α β α β
