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2025年山东省济南市槐荫区中考数学三模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．据报道，最新的人工智能助手DeepSeek在其发布后的前18天内下载量达到1600万次，
数据1600万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则
其视图描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点 在射线 上，直线 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页6．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就
餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都
选择同一个志愿服务项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中， ， ， 以 为圆心，任意长为半径画弧分别交
、 于点 、 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于
点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法 ① 是 的平分线 ②
③点 在 的垂直平分线上 ④ 其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在正方形 中， 是对角线，点 在边 上， ， ．
则 的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
试卷第2页，共3页10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ，将 向右平移4个单位，得到
抛物线 ，过点 作x轴的垂线，交 于点M，交 于点N，q为M与N的纵坐标
中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点 组成的图形记为图形T．若
直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在黄色区域的概率是
．
13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则
cos∠BAC= ．
14．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段
OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣
表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿
车相遇．
试卷第3页，共3页15．如图， 是等边三角形，矩形 的顶点 在 边上，且 ，
，连接 、 、 ，若将矩形 绕点 旋转一周，当
最小时，则 ．
三、解答题
16．计算： ．
17．解不等式组 ，并写出所有的整数解．
18．如图，在菱形 中，E、F分别是 和 上的点，且 ．求证：
．
19．2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和
领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器
试卷第4页，共3页人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数
用x表示，结果分为四个等级：不满意： ，比较满意： ，满意： ，
非常满意： ）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中
“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，
88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
设 平均 中位 众 “非常满意”所点百
备 数 数 数 分比
A 88 b 96 45%
B 88 87．5 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中， ___________， ___________， ___________；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即
可）；
(3)在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进
行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人．
20．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态
下的侧面结构示意图（ 是基座的高， 是主臂， 是伸展臂， ）．已知
基座高度 为 ，主臂 长为 ，测得主臂伸展角． ．（参考数据：
， ， ， ）
试卷第5页，共3页(1)求点 到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点 ，此时 ，求 点到 点的距离．
21．如图，已知 是 的直径，直线 是 的切线，切点为C， 垂足为
E， 连接 ．
(1)求证： 平分 ：
(2)若 求 的半径．
22．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的
基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套
装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是
花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
(2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且
经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
23．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于A，B
两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是 ，点B的纵坐标是 ．
试卷第6页，共3页(1)求反比例函数和直线 的表达式；
(2)根据图象直接写出 的解集；
(3)将直线 沿y轴向上平移后的直线 与反比例函数 在第一象限内交于点
C，如果 的面积为30，求平移后的直线 的函数表达式．
24．如图，已知抛物线 的图象与x轴交于点 、 ，与y轴交于点
C，且 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图①，在直线 上方的抛物线上存在一点M，使得 ，求出M的坐标；
(3)若点P是该抛物线上位于直线 下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与
A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成
的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．
25．（1）如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 和 上， 于点 ，
求证： ；
试卷第7页，共3页（2）如图2，在矩形 中，将矩形 折叠，得到四边形 ， 交 于点 ，
点 落在 边上的点 处，折痕交边 于 ，交边 于 ，连接 交 于点 ；
①若 ，且 ， ，求 与 的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当 时，我们可以利用配方法求出此
时 的取值范围．由题意可知 ，即 ，显然此时 或
，所以 或 ．如图3，若 ， ，请根据前述方法直接写出
的最大值及此时 的长．
试卷第8页，共3页《2025 年山东省济南市槐荫区中考数学三模试卷》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B A D B B B A C A
11. 12. 13. 14.3.9 15.
选择题、填空题解法提示
8．A
①根据作图的过程可知， 是 的平分线．
故①正确；
②如图， 在 中， ， ，
，
又 是 的平分线，
，
，即
故②正确；
③ ，
，
点 在 的中垂线上．
故③正确；
，
，
答案第1页，共2页点 在 的中垂线上，
，
，
故④正确．
故正确的有4个，
故选：A．
9．C
在 上截取 ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
10．A
答案第2页，共2页∵抛物线 ，将 向右平移4个单位，得到抛物线 ，
∴抛物线 ：y=(x-4)2-1，
联立，得 ，解得： ,
∴抛物线交点坐标为(2,3)，
由题意得图形T的图象如图所示，
把点(2,3)代入直线y=x+n，得3=2+n，解得：n=1，
当直线y=x+n与C 只有一个交时，则x+n=x2-1，即x2-x-1-n=0有两个相等根，
1
则Δ=12-4×1×(-n-1)=0，解得n=- ，
∵直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点，
∴- <n<1，
故选：A．
15．
过点 作 于点 ，连接 ，
答案第3页，共2页是等边三角形， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
当且仅当 、 、 三点共线时， 取得最小值为 ，
，
在 中，根据勾股定理，得
，
在 中，根据勾股定理，得
，
，
在 中，根据勾股定理，得
．
答案第4页，共2页当 最小时，则 ．
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：原式 ．
17．解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴所有的整数解为 ．
18．证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
19．（1）解：由题意得： ，
即 ，
款的评分非常满意有 （个 ，“满意”的数据为84、86、86、87、88、
89，
把 款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
中位数 ，
在 款的评分数据中，98出现的次数最多，
众数 ；
故答案为： ；
答案第5页，共2页（2） 款 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A
款AI聊天机器人更受用户喜爱．
款 聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）解： （人 ，
答：估计此次测验中对 聊天机器人不满意的人数为40人．
20．（1）解：作 于点B，延长 交 于点A．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由题意得： ，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：点P到地面的高度约为 ；
（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
答案第6页，共2页∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
答：Q点到N点的距离约为 ．
21．（1）证明：连接 ，
直线 是 的切线，切点为C，
，
又 ，
，
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：连接 ，
是 的直径，
，
又 ，
答案第7页，共2页由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，即 的半径为5．
22．（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是
元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装 套，
根据题意得： ，
解得： ，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
23．（1）解：∵反比例函数的图象过点A，点A的坐标是 ，
∴ ，即 ，
∴反比例函数的表达式为 ，
∵反比例函数 的图象过点B，B的纵坐标是 ，
答案第8页，共2页∴ 时， ，
∴ ．
把点 ， 代入 得：
，解得： ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：观察图象得：当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以 的解集为 或 ；
（3）解：如图，设直线 与x轴交于点E，平移后的直线 与x轴交于点D，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ 的面积与 的面积相等，
∵ 的面积为30，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
答案第9页，共2页∵ ，
∴ ，
设平移后的直线 的函数表达式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴平移后的直线 的函数表达式为 ．
24．（1）解： ， ，
，
将A、B、C代入 ，得
，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的表达式为 ，
代入A、C得 ，
解得 ，
，
过点M作 轴，交 于点N，
答案第10页，共2页设 ，则 ，
，
，
即 ，
解得 或 ，
或 ；
（3）解：∵抛物线为 ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
如图，过 作 对称轴于 ，作 轴于 ，过 作 轴于 ；
∴ ，
设 ， ，
答案第11页，共2页∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ；过 作 对称轴于 ，
同理可得： ，
答案第12页，共2页∴ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 为抛物线的顶点 ， 重合时，记对称轴与 轴的交点为 ，
此时 ， ，
∴ ，且 ，
此时四边形 是正方形，
∴ ，
答案第13页，共2页综上： 或 或 ．
25．（1）证明：在正方形 中，
，
，
，
又 ， ，
，
；
（2）解：①作 于 ，作 于 ，
由折叠性质可得：
由（1）同理可得
∵
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
答案第14页，共2页，
， ，
， ，
，
， ，
又 ，
，
，
， ；
②设 ， ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
，
，
设 ，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，
由 ，即 ，
或 ，
（舍 或 ，
答案第15页，共2页的最大值为2，此时 ，
，
，
由①得， ，
∴ ．
答案第16页，共2页
