文档内容
专练 09 函数压轴大题 （10 题）
1．（2021·四川成都·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 （ ， ）．
（1）若 ， ，求直线 的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，直线 ： 与直线 交于点 ，点 ．直线 上是否存在一点
，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线 下方有一点 ，其横坐标为 ，连接 ，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）存在，G（1， ）或（−5，− ）；（3） ＜1．
解：（1）由题意知：
A（−4，0），B（0，−2），
设直线l 的表达式为：y＝kx＋b，
1
，解得： ，∴ ；
（2）如图1，联立 ，解得： ，∴C（−2，−1），
设直线CD的表达式是：y＝mx＋n，
∴ ，解得： ，∴ ，
令y＝0， ，解得： ，∴E（ ，0），
∴AE＝4− ＝ ，
∴S ＝ AE•DF＝ × ×3＝4，
△ACD
∵ ，
∴S ＝3，
△CDG
设G（x， x），
∴ OD•|x＋2|＝3，
即 ×2•|x＋2|＝3，
∴x＝1，x＝−5，
1 2
∴G（1， ）或（−5，− ）；
（3）如图2，①当m＋n＜0时，即 ，
在AO 的延长线上截取OC＝OA，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠BCO＝∠BAO，
∴∠APB＝∠BAO＋∠BCO＝2∠BAO，
∴P点在CB的延长线上，
故存在l 下方有一点P，满足∠PBA＝2∠BAO，
1
如图3，
②在AO 的延长线上截取OC＝OA，
当m＋n＞0时，即： 1，
由①知：∠ABE＝2∠BAO，
∴∠PBA＝∠ABE＋∠PBE，
∴∠PBA＞∠ABE，∴∠PBA≠2∠BAO，
综上所述： ＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数表达式和图象之间的关系，主要是由点的坐标求函数关系式，由表达式求点的坐标以
及结合等腰三角形求满足条件的式子的范围，解决问题的关键是正确的分类．
2．（2021·辽宁大连·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A、B，
与直线 交于点C，点D为直线 上点C右侧的一点．
（1）如图1，若 的面积为6，则点D的坐标为________；
（2）如图2，当 时，求直线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线 上一点，设点E的横坐标为m， 的面积为S，求S关于m的
函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
解：（1）如图1，对于直线y＝−2x−4，当y＝0时，由−2x−4＝0得，x＝−2，
∴A（−2，0）；
当y＝3时，由−2x−4＝3得，x＝− ，
∴C（− ，3），
设D（r，3），
∵点D在点C右侧，∴CD＝r＋ ，
由题意，得 ×3（r＋ ）＝6，
解得，r＝ ，
∴
故填： ；
（2）过D作 于G，过G作 轴分别交直线 ，x轴于点M，N，如图．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，在 中，令 ， ，
∴ ，则 ，
∵点G在直线 上，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ， ．
∴ ， ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，代入 ， ．
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）当点E在线段 上时，如图2，此时 ．
图2 图3 图4
∵ ， ，
∴ ，
∴
过E作 于F．
∵点E在直线 上，点E横坐标为m，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
当点E在 延长线上时， ，如图3
∴当 时， ；
当点E在 延长线上时，如图4， ．过E作 于F，则 ，
．
综上所述，
【点睛】
此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、根据三角形的面积求函数关系式、全
等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出解题所需
要的辅助线，构造等腰直角三角形及全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．
3．（2021·湖北黄梅·八年级期末）已知：如图，直线： 分别交 ， 轴于 、 两点．以线段
为直角边在第一象限内作等腰直角 ， ；直线 经过点 与点 ，且与直线 在
轴下方相交于点 ．
（1）请求出直线 的函数关系式；
（2）求出 的面积；
（3）在直线 上不同于点 ，是否存在一点 ，使得 与 面积相等，如若存在，请求出点 的
坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与四边形 的面积相等？若存在，直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，点 坐标为 ；（4）存在， 坐标为 或
或 ．
（1）∵直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，
令 ，则 ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ．
过点 作 轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中
，
∴ ，∴ ， ，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴ ，
又∵ ，
设直线 的解析式为 ，则有
解得：
∴直线的 解析式为： ．
（2）联立方程组 ，
解得： ，
∴ ．
∴ ．
（3）存在．
∵ 与 面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为 ，
∴在 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴点 坐标为 ．（4）存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0，y) ，如图，
∵ 的面积与四边形 的面积相等，
∴ ，
解得：y=8或y=0，
∴ 坐标为 或 ；
②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m，0) ，
若F点在O点左侧，则m<0，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=0(不合题意，舍去)若点F在线段OM上（包括两个端点），即0≤m≤7，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=0
∴点 坐标为 ；
若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=6（不合题意），
此时点F不存在；或 ，
∴ ，
解得：m=56
∴点 坐标为 ；
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 ．
【点睛】
本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计
算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
4．（2021·四川·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1与x
1
轴交于点A，直线l：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l 相交于点C．
2 1
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A ，B ，C ．
（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l，l 交于P，Q两点．
1 2
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S ＝2S ，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
△AQC △ABC【答案】（1）（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t＝1或3；②存在，（0，﹣3）或（4，9）．
解：（1）对于直线l：y＝3x﹣3，
2
令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），
对于l：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），
1
则 ，解得 ，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l 上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），
1
则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，
解得t＝1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l 交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在y轴负半
1
轴取点M使NM＝2NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，则S ＝S ，同理S ＝S ，
△MAC △QAC △NAC △BAC
而MN＝2KN，则m、l 之间的距离等于2倍n、l 之间的距离，故S ＝2S ，
1 1 △AQC △ABC
由直线l 的表达式知点K（0，1），
1
设直线n的表达式为y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣1，故点N（0，﹣1），
则NK＝1﹣（﹣1）＝2，则MN＝NK＝2，
故点M（0，﹣3），
在直线m的表达式为y＝x﹣3，联立 并解得 ，故点Q（0，﹣3）；
当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y＝x+5，
联立 并解得 ，故点Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，﹣3）或（4，9）．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，平行线的性质，绝对值的应用，面积的计算，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解.
5．（2021·福建安溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于
点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线 称为直线l的“顺旋转垂线”．
（1）若点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，则直线l的“顺旋转垂线” 的关系式为 ．
（2）若直线l＝kx+b（k＜0，b≠0）的“顺旋转垂线” 为：y＝kx+b.求证：k•k＝﹣1．
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：y x+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M
的坐标为(0，m)．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值．【答案】（1）y=x-2；（2）见解析；（3）m= ，最小值为5
解：（1）由题知， 点旋转后的坐标为 ， 点旋转后的坐标为 ，
即直线 的“顺旋转垂线” 过点 和点 ，
设直线 的“顺旋转垂线” 的解析式为 ，
，
解得 ，
即直线 的“顺旋转垂线” 的解析式为 ，
故答案为： ；
（2）设直线 ， 分别与 轴、 轴相交于点 、 ，
则“顺旋转垂线” 分别与 轴、 轴相交于点 、 ，
将 、 点代入直线 的解析式，得
，
解得 ，
将 、 点代入直线 的解析式，得
，解得 ，
；
（3）由题知直线 的“顺旋转垂线” 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，
， ，
，
作 点关于 轴的对称点 ，即 ，
连接 交 轴于 ，
此时 的值最小，即为 ，
，
即 的值最小为5，
设直线 的解析式为 ，
代入 点， 点的坐标，得
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
即 时， 的值最小为5．【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，正确理解“顺旋转垂线”是解题的关键．
6．（2021·福建南安·八年级期末）如图1，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点．
（1）直接写出 、 两点的坐标；
（2）如图2，已知直线 ，无论k取何值，它都经过第一象限内的一个定点 ，分别连结 、
，其中 交 轴于 点．
① 求 的面积；
② 连接 ，在直线 上是否存在着点 ，使得 ？若存在，请直接写出 点的坐标（不写
求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-3，0），B（0，6）；（2）① ；②（ ， ）或（ ， ），理由见解析
解：（1）如图1，令 ，则 ．
解得 ，即 ，
令 ，则 ，即 ．
（2）① ，
当 时， ，
即直线 过定点
如图，设直线 为 ，
把 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 为： ．
的坐标为 ．
．
② 点坐标为 或 ．
理由如下：如图2，过点 作 轴于 点，，
由①知 ．
设直线 为 ，
把 代入得： ，解得 ，
直线 为 ．
ⅰ 如图3，过点 作 ，交直线 于 点，
．
又 直线 ，且 的坐标为 ，
直线 为 ．由 解得点 的坐标为 ．
ⅱ 在 轴上，点 关于点 的对称点为 ，
如图3，过点 作 ，交 于 点，
，
由 解得点 的坐标为 ．
综上所述， 点坐标为 或 ．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建一次函数，确定直线与
坐标轴的交点坐标，考查了学生计算能力，难度稍大．
7．（2021·辽宁大连·八年级期末）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直
线y x+3经过点B，与y轴交于点C．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l
的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边
形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）（4，2）；（2） 或y=-2x+3；（3）P（2，2）或P（-2，4）或P（5， ）或P
（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
解：（1）∵点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，∴直线AB的解析式为x=4．
当x=4时， ，
∴点B的坐标为（4，2）．
（2）令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示．
∵AB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴AB//CO，
∴∠MDA=∠DCO．
∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE=5．
对于y x+3，当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），
∵
∴m=6，m=0，
1 2
∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）．
设直线l的解析式为y=kx+3，
∴1=4k+3或-5=4k+3，
解得： 或k=-2，
∴直线l的解析式为： 或y=-2x+3．
（3）由（2）可知，点E的坐标为（4，6）或（4，0）当点E的坐标为（4，6）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
∴OE的解析式为 ，
设P（a， ），Q（b， ），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴ ；解得 ，
∴P（2，2），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，
∴ ；解得 ，
∴P（-2，4），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴ ；解得 ，
∴P（5， ），
当点E的坐标为（4，0）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
设P（a， ），Q（b，0），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴ ；解得 ，
∴P（-1，5），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，∴ ；解得 ，
∴P（1，1），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴ ；解得 ，
∴P（2，-1），
综上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5， ）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的判
定与性质，解题的关键注意分类讨论的数学思想．
8．（2021·辽宁本溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ．
（1）求 的面积；
（2）点 是直线 上的动点，过 作 轴， 轴的垂线，垂足分别为点 ， ，若 ，请求出
点 的坐标；
（3）点 在直线 上，坐标轴上存在动点 ，使 是以 为直角边的直角三角形，请直
接写出点 的坐标．
【答案】（1）6；（2） 或 ；（3）点 的坐标为 或 或（1）解：∵
∴当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴
（2）设
由题意得， ， ，
∴ 或
∴ 或
∴ 或 ．
（3）如图，当 在 轴上时，设
则 而
解得：如图，当 在 轴上时，设
同理可得：
解得：
当 在 轴上时，设
同理可得：
解得：
综上：点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】
本题考查的一次函数的图象与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.
9．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴，y轴分
1别交于点A，D，直线l 与直线 平行，交x轴于点B（7，0），交l 于点C．
2 1
（1）直线l 的解析式为 ，点C的坐标为 ；
2
（2）若点P是线段BC上一动点，当 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且
MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线l
1
上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接
写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，；（2） ；（3） 、 、
解：（1）直线l 与直线 平行，设直线l 解析式为 ，
2 2
将B（7，0）代入得： ，
解析式为
联立直线l 与直线l 得：
1 2
，解得
点C的坐标为（2）设点P ，
由 得：
解得： ，
则点P
由题意可知 ，
作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接ME，EF，NF，如下图：
则 ， ， ，
由题意可知：
∴四边形 为平行四边形
∴
四边形DMNP周长为
∵ 定长
∴四边形DMNP周长最小，即 最小，也就是 最小
得到：P、N、F三点共线时最小，设： 所在直线的解析式为
将 、 代入得
，解得，令 ，解得 ，即
∴
（3） ，OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，过点 作 于点 ，如下图：
则 ，
∴
∴ ，
G点坐标为 ，则 ，
∴
以 为边时，则 ，如下图：
又∵ ，F是直线l 上的一个动点
1∴点E为直线l 上，即点E与点D重合，
1
点M到点G是向上平移 个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移 个单位，再向右平移一个
单位，即得点F，坐标为
以 为边时，如下图：
由上述可得，点E为直线l 上，即点E与点D重合，
1
点G到点M是向下平移 个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移 个单位，再向左平移一个
单位，即得点F，坐标为
以 为对角线时，则 的中点 ，设 ，
由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称，
则 ，解得
点F的坐标为综上所述、点F的坐标为 、 、
【点睛】
此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键．
10．（2021·广东三水·八年级期末）如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，
0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣ x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣ x于点F，交直线y＝kx＋b于点
G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；
②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；
若不存在，说明理由；
（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何
值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值．【答案】（1）点C的坐标为（-3，7），直线AB的解析式为y=x+10；（2）① ；②存在，最大
值为 ；（3）当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC
全等．
解：（1）将点C（a，7）代入y= x，可得a=-3，
∴点C的坐标为（-3，7），
将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得
，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x+10；
（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0）．
∴当 时，y= 和y=-15+10=-5，
∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5），
∴ ；
②存在，理由如下：
由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，
令 ，则y=10，
∴点B的坐标为（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y=ax+5，
将C（-3，7）代入得：7=-3a+5，
解得， ，
∴直线MC的解析式为y= x+5，
当 时，y= ，
∴点P的坐标为（-15，15），∴PM﹣PC=CM= ；
（3）∵B（0，10），A（-10，0），
∴OA=OB=10，则∠CAO=∠ABO=45°，
分三种情况讨论：
①当△OAC≌△QCA，如图：
∴∠CAO=∠QCA=45°，
∴QC⊥OA，即CQ∥ 轴，
∴CQ经过点E，
∴m=-3；
②当△ACO≌△ACQ，
∴∠CAO=∠CAQ=45°，
∴QA⊥OA，即QA经过点E，
∴即点E、点A重合，
∴m=-10；
③当△ACO≌△CAQ，∴∠CAO=∠ACQ=45°，AO=CQ，
∴CQ∥ 轴，
∴四边形AOCQ是平行四边形，CQ=AO=10，AE=3，
∴m=-13；
综上，当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，全等三
角形的判定与性质的综合运用．
