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班级 姓名 学号 分数
第一章 整式的乘除（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. （2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可．
【解答】解： ． ，故 选项不符合题意；
，故 选项符合题意；
． ，故 选项不符合题意；
，故 选项不符合题意；
故选： ．
2. （2021秋•崆峒区期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解： 、结果是 ，故本选项不符合题意；
、结果是 ，故本选项符合题意；
、结果是 ，故本选项不符合题意；
、结果是 ，故本选项不符合题意；故选： ．
3. （2020•中宁县三模）某种病毒近似于球体，它的半径约为0.000000005米，用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解： ．
故选： ．
4. （2021秋•南充期末） 的值是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方解决此题．
【解答】解：由题意得： ．
故选： ．
5. （2022秋•晋江市校级期中）计算 的结果是
A． B． C．0.75 D．
【分析】根据积的乘方的逆运算即可求出答案．
【解答】解：
．
故选： ．
6. （2022春•裕安区校级期中）已知 ， ，则 的值为A．5 B．10 C．25 D．50
【分析】利用幂的乘方的法则对已知的条件进行整理，再代入到所求的式子中进行运算即可．
【解答】解： ， ，
， ，
，
即 ，
，
，
．
故选： ．
7. （2022春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，
若该纸盒的容积为 ，则图2中纸盒底部长方形的周长为
A． B． C． D．
【分析】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，
再计算纸盒底部长方形的周长即可．
【解答】解：根据题意，得
纸盒底部长方形的宽为 ，
纸盒底部长方形的周长为： ．故选： ．
8. （2021秋•岳麓区校级期末）若 ， ，则 的值为
A．6 B． C．12 D．
【分析】利用完全平方公式 ，且 ，即可求 ．
【解答】解： ， ，
，
，
故选： ．
9. （2022•南京模拟）如图，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，面积分别是 和
，两正方形的面积和 ，已知 ，则图中阴影部分面积为
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设 ， ，建立关于 ， 的关系，最后求面积．
【解答】解：设 ， ，则 ， ， ．
．
，
，
，
阴影部分的面积等于 ．故选： ．
10. （2022秋•九龙坡区校级月考）有依次排列的两个整式 ， ，用后一个整式 与前一个
整式 作差后得到新的整式记为 ，用整式 与前一个整式 作差后得到新的整式 ，用整式 与前一
个整式 作差后得到新的整式 ， ，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：
①当 时， ；
②整式 与整式 结果相同；
③当 时， ；
④ ．
其中，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作可知6个一循环，然后再依次判断即可．
【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
，以此类推，6个一循环，
当 时， ，故①错误，
整式 与整式 结果相同，整式 与整式 结果相同，故②错误，
当 时，则 ，
或 ，
或0，
，故③正确，
， ， ，
，
，故④错误，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. （2021秋•鲤城区期末）若 ， ，则 2 4 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则求解．
【解答】解： ， ，
．
故答案为：24．
12. （2022秋•温江区校级期中）计算： ．
【分析】将 化为 与 的积，再根据积的乘方的运算法则进行计算．
【解答】解：原式．
故答案为 ．
13. （2022春•新乐市期中）已知 ，若 ，则 ；若 ，则 ．
【分析】将 的值代入，利用幂的运算性质解得即可．
【解答】解：当 时，
；
当 时，
．
故答案为： ； ．
14. （2022春•沂源县期末）观察下列式： ；
；
；
．
① ；
②根据①的结果，则 ．
【分析】①根据上面的规律直接得出 即可；
②根据 ，直接得出答案即可．
【解答】解：（1）由已知得 ，故答案为 ；
（2） ，
，
故答案为 ．
15. （2022春•仪征市期末）计算 的结果是 4 ．
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：
．
故答案为：4．
16. （2022秋•游仙区期中）某工厂原来生产一种边长为 厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3厘米，
另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖．若材料的成本价为每平方厘米 元，则这种长方形地砖每块的
材料成本价与正方形地砖相比减少了 元．
【分析】分别求出正方形地砖、长方形地砖的面积，根据面积的增减变化可求出答案．
【解答】解：正方形地砖的面积为 平方厘米，长方形地砖面积为 平方厘米，
长方形面积比正方形减少了9平方厘米，
因此这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比减少了 元，
故答案为： ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. （2022春•东台市月考）已知： ， ， ．试用含 ， ， 的代数式表示下列各式：
（1） ；（2） ；
（3） ．
【分析】（1）把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解；
（2）把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解；
（3）把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
18. （2022•南京模拟）如果 ，那么我们规定 ，例如：因为 ，所以
（1）根据上述规定，填空：
3 ， ；
（2）记 ， ， ．求证： ．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出 ， ， ，求出 ，即可得出答案．
【解答】解：（1） ， ， ，
故答案为：3，0， ；
（2）证明： ， ， ，
， ， ，
，
，
．19. （2021秋•东胜区校级期中）如表是某河流今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已经
达到警戒水位33米．（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．（单位：米）
星期 日 一 二 三 四 五 六
水位变化
（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？分别是多少？
（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？本周末的水位是多少？
（3）若水位每下降1厘米，就有 吨水蒸发到大气中，请计算这个星期共有多少吨水蒸发到大气中？
【分析】（1）根据上周末的水位计算出这一周中每一天的水位，即可得出答案；
（2）根据（1）题中计算的周六的水位与上周的水位比较即可确定答案；
（3）先计算本周负数的绝对值的和，并化为厘米，即乘以100，再乘以 可解答．
【解答】解：（1）周日： （米 ，
周一： （米 ，
周二： （米 ，
周三： （米 ，
周四： （米 ，
周五： （米 ，
周六： （米 ．
答：周四水位最高，最高水位是34.1米，周日水位最低，最低水位是33.2米；
（2） ，
答：与上周末相比，本周末河流的水位上升了，水位是33.4米；
（3） 吨 （吨 ，
答：这个星期共有 吨水蒸发到大气中．四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. （2022秋•晋江市校级月考）若 与 的积与 是同类项，求 、 ．
【分析】先求出 与 的积，再根据同类项的定义列出方程组，求出 ， 的值即可．
【解答】解： ，
又 与 的积与 是同类项，
，
解得： ， ．
21. （2022 秋•南召县期中）阅读下列材料：已知实数 ， 满足 ，试求
的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ，即 ，
．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运
算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数 ， 满足 ，求 的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
【分析】（1）利用换元法将设 ，求出 的值即可求解；
（2）根据题意设最小数为 ，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
【解答】解：（1）设 ，则 ，，即 ， ，
， ，
；
（2）设最小数为 ，则 ，
即： ，
设 ，则 ，
， ，
为正整数，
，
， （舍去），
这四个整数为2，3，4，5．
五、解答题：（本题12分）
22. （2021秋•东胜区校级期中）如表是某河流今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已经
达到警戒水位33米．（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．（单位：米）
星期 日 一 二 三 四 五 六
水位变化
（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？分别是多少？
（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？本周末的水位是多少？
（3）若水位每下降1厘米，就有 吨水蒸发到大气中，请计算这个星期共有多少吨水蒸发到大气中？
【分析】（1）根据上周末的水位计算出这一周中每一天的水位，即可得出答案；
（2）根据（1）题中计算的周六的水位与上周的水位比较即可确定答案；
（3）先计算本周负数的绝对值的和，并化为厘米，即乘以100，再乘以 可解答．【解答】解：（1）周日： （米 ，
周一： （米 ，
周二： （米 ，
周三： （米 ，
周四： （米 ，
周五： （米 ，
周六： （米 ．
答：周四水位最高，最高水位是34.1米，周日水位最低，最低水位是33.2米；
（2） ，
答：与上周末相比，本周末河流的水位上升了，水位是33.4米；
（3） 吨 （吨 ，
答：这个星期共有 吨水蒸发到大气中．
六、解答题：（本题12分）
23. （2021春•将乐县期中）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
（1）（理解）根据上述规定，填空： 3 ， ；
（2）（说理）记 ， ， ．试说明： ；
（3）（应用）若 ， ， ， ，求 的值．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1） ，
，
，
，
故答案为：3， ；
（2） ， ， ，
， ， ，
，
，
，
；
（3）设 ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
，
，
，即 ，
．
七、解答题：(本题12分)
24. （2022春•莲池区期末）若 满足 ，求 的值．阅读下面求解的方法：
解：设 ， ，则 ，．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若 满足 ，求 的值；
（2）如图，正方形 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的面
积是15，分别以 、 为边作正方形，若 ，则
① ， （用含 的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据材料方法，即可求出 ；
（2）①由图直接可得；
② 由 长 方 形 的 面 积 是 15 ， 得 ， 再 算
， 即 可 求 出 ， 再 由
即可求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）设 ， ，则 ， ，
；
（2）① ， ，正方形 边长为 ，
， ．
故答案为： ， ；② 长方形 的面积是15，
，
设 ， ，则 ， ，
，
， ，
，
阴影部分面积为 ．
