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1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第3课时 勾股定理的逆定理
一、选择——基础知识运用
1．在△ABC中，AB= ，BC= ，AC= ，则（ ）
A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=∠B
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3
C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3
4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1： ；②三角形
的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的
一半。其中直角三角形有（ ）个。
A．4 B．3 C．2 D．1
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠C=∠B
B．a= ，b= ，c=
C．（b+a）（b-a）=c2
D．∠A：∠B：∠C=5：3：2
二、解答——知识提高运用
6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积。
7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-
4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。
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8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四
边形ABCD的面积。
9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅
量得这个零件各边长如图2所示。
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积。
10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简
述你的作法，并说明理由。
11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅
的速度是 米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅
成直角，她的速度是 米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，
那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后
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能相遇？。
12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，
乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两
岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵AB2=（ ）2=2，BC2=（ ）2=5，AC2=（ ）2=3，
∴AB2+AC2=BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A=90°。
故选A．
2．【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么
△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，
∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果
a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。
3．【答案】D
【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。
故选：D。
4．【答案】A
【解析】①因为12+12=（ ）2三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；
④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。
所以有4个直角三角形。
故选：A。
5．【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；
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B、设a=20k，则b=15k，c=12k，
∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，
故不能判定是直角三角形；
C、∵（b+a）（b-a）=c2，
∴b2-a2=c2，
即a2+c2=b2，
故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，
∴∠A= ×180°=90°，
故是直角三角形，正确．
故选：B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】120cm2
【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．
因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，
所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．
根据题意，得5k+12k+13k=60，
解得k=2，
则5k=10，12k=24，
则该直角三角形的面积是120。
故答案为：120cm2
7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4b=0
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．。
8．【答案】连接BD，
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∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∵BD2=BC2+CD2=22+12=（ ）2，
∵BD＞0，
∴BD= ，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×2 × + ×2×1=6．
故四边形ABCD的面积是6。
9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求。
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36。
10．【答案】能检查。
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作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。
（2）连接AB得△PAB。
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不
是直角。
理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。
11．【答案】龙梅走的路程： ×4×60=120（米），
玉荣走的路程： ×4×60=160（米），
∵1202+1602=2002，
∴她们走的方向成直角，
以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（ + ）=200÷ =
=171 （秒）；
答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171 秒后能
相遇．
12．【答案】BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
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在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2，
∴∠MBP=90°，
180°-90°-60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行。
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