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复习专题十二 功和功率
——精剖细解细复习讲义
知识点1：功
1、定义
力与在力的方向上位移的乘积。
2、产生的条件
作用在物体上的力；
物体在力的方向上发生的位移。
两个条件缺一不可。
3、计算表达式
W＝Flcos α。其中α是力与位移方向的夹角，l为物体对地的位移，该式只适用恒力做功。
恒力做功的计算方法
只有一个力做 用公式W＝Flcos α计算。
功
多个力做功 ①先求合力F ，再用W ＝F lcos α求功。②先求各个力做的功W 、W 、
合 合 合 1 2
W、…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合力做的功。
3 合 1 2 3
4、功的单位
在国际单位制中功的单位为焦耳，简称焦，符号是J。另外还有电子伏等单位。
5、功的正负代表的含义：
功是标量，但有正负之分，当力与位移方向的夹角α为锐角时，力做正功；当力与位移方向的
夹角α为直角时，力不做功；当力与位移方向的夹角α为钝角时，力做负功。
动力（牵引力）对物体所做的功为正功，阻力对物体所做的功为负功，一个力做负功有时也说
成是克服这个力做功。
6、对功的理解
功是力的作用效果在空间上的累积，因此功与一个具体的过程是相联系的，功是一个过程量。
功与具体的某一个力或某几个力相对应的，求功时要注意是哪一个力或哪几个力，以及所对应的具体过程。
表达式W＝Flcos α中l为物体对地的位移或者是力的作用点的位移，不一定是物体的位移。
求力所做的功时只和有力作用的那一段位移有关，如果力消失后物体仍在运动，则力对物体所
做功与力消失后物体发生的位移无关，即力F与位移l具有同时性。
滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
滑动摩擦力在曲线运动或往返运动中所做的功等于力和路程（不是位移）的乘积。
7、变力做功的方法
方法 说明 图例 适用条件
物体的位移分割成许多小 质量为m的木块在水平面内做圆 此法常应用于求解大
段，因小段很小，每一小段 周运动，运动一周克服摩擦力做 小不变、方向改变的
功W＝F·Δx ＋F·Δx ＋F·Δx ＋… 变力做功问题。
上作用在物体上的力可以视 f f 1 f 2 f 3
＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
微元法 为恒力，这样就将变力做功 f 1 2 3 f
转化为在无数多个无穷小的
位移上的恒力所做元功的代
数和。
若通过转换研究的对象，有 恒力F把物块从A拉到B，绳子对 此法常常应用于轻绳
时可化为恒力做功，用W＝ 物块做功W＝F·(－) 通过定滑轮拉物体的
等效
问题中。
Flcos α求解。
转换法
在Fx图象中，图线与x轴所 一水平拉力拉着一物体在水平面 此方法只适用于便于
上运动的位移为x ，图线与横轴所
围“面积”的代数和就表示 0 求图线所围面积的情
围面积表示拉力所做的功，W＝x
0 况(如三角形、矩
力F在这段位移所做的功，
形、圆等规则的几何
图像法
且位于x轴上方的“面积” 图形)。
为正，位于x轴下方的“面
积”为负。
在求解变力做功时，若物体 当力与位移为线性关系，力可用 此法只适用于物体受
平均值＝表示，代入功的公式得 到的力方向不变，而
受到的力方向不变，而大小
W＝·Δx 大小随位移呈线性变
随位移呈线性变化，即力均 化，即力是均匀变化
的。
匀变化时，则可以认为物体
平均
受到一大小为F＝F＝的恒力
值法
作用，F、F 分别为物体
1 2
初、末态所受到的力，然后
用公式W＝Flcosα求此力所
做的功。功的定义、计算式和物理意义
1．一质量为m的滑雪运动员，从高为h的斜坡顶端静止自由下滑。下滑过程中受到的阻力大小为
f，斜坡倾角为 ，重力加速度为g。运动员滑至坡底的过程中（ ）
A．重力做功为 B．支持力做功为
C．克服阻力做功 D．合力做功为
判断某个力是否做功，做何种功
2．如图所示，特殊材料制成的B上表面水平，相同材料制成的A置于B上，并与B保持相对静止，
A、B一起沿固定的粗糙斜面从底端以一定的初速度沿斜面向上滑动，从A、B上滑到速度减为零
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的支持力做负功
B．斜面对B的作用力做正功
C．两物体处于超重状态
D．B对A的摩擦力做负功
弹力（非弹簧）做功的计算
3．质量为m的物体，静止在倾角为 斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。
已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）A．支持力对物体做功为零
B．重力对物体做功为
C．物体克服摩擦力做功为
D．支持力对物体做功
摩擦力做功的计算
4．用水平拉力拉着物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块与轨道间的动摩
擦因数为μ，物块质量为m，重力加速度为g，则此过程中摩擦力所做的功为（ ）
A．-2μmgπR B．2μmgπR C．μmgπR D．0
力的方向与位移方向有夹角时的做功
5．如图所示，物体沿固定粗糙斜面下滑，下列说法中正确的是（ ）
A．支持力对物体做正功 B．重力对物体做负功
C．摩擦力对物体做负功 D．以上选项都不对
多个力做的总功
6．甲、乙两固定斜面如图所示（图中已标出两斜面的高度和底边长），先后从两斜面顶端由静止释放同一滑块。已知滑块与斜面间的动摩擦因数均为0.4，若滑块由甲、乙斜面顶端运动到底端过
程中合力对它做的功分别为 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．
平均力法
7．如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳
通过光滑的定滑轮与物块B相连（连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧），弹簧的劲度系数k。现
用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰
好离开地面时，F所做功为（ ）
A． B． C． D．
图像法
8．一质量为 的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速直线运动，
当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力 随位移 变化的关系图像，取 ，则据此可以求得（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为
B．拉力在减速过程中做的功为
C．摩擦力在减速过程中做的功为
D．在整个过程中合外力对物体所做的功为
微元法
9．如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v在水平
面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为 ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到
A的过程中摩擦力对小球做功分别为 和 ，在这一周内摩擦力做的总功为 ，则下列关系式正
确的是（ ）
A． B． C． D．
等效转换法
10．固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F
拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中轻绳对滑块做的功分别为W 和W，且AB=BC，则（ ）
1 2
A． B．
C． D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
知识点2：功率
1、定义
功与完成这些功所用时间的比值。
2、表达式
定义式 P＝ 只能计算平均功率，其中F为恒力，α不变
计算式 P＝Fvcosα 计算平均功率(v是平均速度)和瞬时功率(v是瞬时速度), α是F和v
的夹角。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不
变，也可以变化。
求解功率时的注意事项：要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率表示力在一段时间内
做功的平均快慢程度；瞬时功率表示力在一段极短时间内做功的快慢程度。
平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功
率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
3、物理意义
描述力对物体做功的快慢。
4、额定功率和实际功率
功率类型 定义 特点 两者的关系
额定功率 发动机正常条件下长时间 不同机械额定功率可能不同， 实际功率要求小于或等
工作时的最大功率。 但同一机械额定功率不变。 于额定功率。
实际功率 机械实际工作时输出的功 同一机械实际功率随工作情况
率。 而变。
5、机车的功率
类型 过程分析 图像以恒定功率启动 v↑⇒F↓=P/v⇒a↓＝(F－f)/m，当F=f时a＝
0，v达到最大速度，机车讲以最大速度做
匀速直线运动。
以恒定牵引力启 a＝(F－f)/m不变，v↑，P↑=Fv，当达到额
定功率时，速度继续增大，功率保持额定
动
功率不变，v↑，F↓，a↓＝(F－f)/m，当
F=f时a＝0，v达到最大速度，机车讲以
最大速度做匀速直线运动。
无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。
功率的定义和物理意义
11．关于功率，下列说法正确的是（ ）
A．功率越大，做功越快 B．功率越大，做功越多
C．实际功率一定等于额定功率 D．在国际单位制中，功率的单位是焦耳
功率推导式Fv的应用
12．一项体能训练如图所示，运动员腰部系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速前进，
5s末轮胎的速度为5m/s。已知绳对轮胎的拉力大小为100N，与地面的夹角θ=37°，运动员的质量
为70kg（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。下列说法正确的是（ ）
A．第2s末绳子拉力的瞬时功率为200W
B．第2s末运动员所受合力的瞬时功率为140W
C．前2s内摩擦力对轮胎做的功为-20J
D．前2s内摩擦力对轮胎做功的功率为20W平均功率与瞬时功率的计算
13．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0~6s内其速度与时间的图像和该拉力的
功率与时间的图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．0~6s内拉力做功为90J
B．0~6s内物体的位移大小为20m
C．0~6s内滑动摩擦力做功为-50J
D．滑动摩擦力的大小为5N
机械的额定功率和实际功率
14．关于功率，下列说法正确的是（ ）
A．由公式 可知做功越多，功率越大
B．由公式 可知车速越大，汽车发动机功率越大
C．由公式 可知单位时间内做功越多，功率越大
D．车子的启动过程中，当加速度为零时，取得速度的最大值
机车的额定功率、阻力与最大速度
15．一质量为m的小轿车以恒定功率P启动，沿平直路面行驶，若行驶过程中受到的阻力大小不变，
能够达到的最大速度为v，当小轿车的速度大小为 时，其加速度大小为（ ）
A． B． C． D．机车以额定功率启动的过程及v-t图像
16．2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式上，习近平主席乘“红旗”牌国
产轿车依次检阅15个徒步方队和32个装备方队。检阅车在水平路面上的启动过程如图所示，其中
Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率P行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直
线，若检阅车的质量为m，行驶过程中所受阻力恒为f，则下列说法正确的是（ ）
A．检阅车在t 时刻的牵引力和功率都是最大值，t~t 时间内其牵引力大于f
1 2 3
B．0~t 时间内检阅车做变加速运动
1
C．0~t 时间内的平均速度等于
2
D．t~t 时间内检阅车牵引力所做功为
1 2
机车以恒定加速度启动的过程及v-t图像
17．一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示。若
汽车的质量为1.2×103kg，阻力恒定，汽车发动机的最大功率恒定，则以下说法正确的是（ ）
A．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
B．汽车运动的最大速度是25m/s
C．汽车发动机的最大功率为3×104W
D．汽车匀加速运动阶段的加速度为1.25m/s2求解机车启动时变力做功问题
18．2016年11月，武汉首条有轨电车线路——大汉阳地区现代有轨电车试验线轨道铺设已经完成，
轨道全线贯通，全面转入机电设备安装调试阶段。现已知质量为M的电车由静止出发做匀加速直
线运动，经过时间t后，该有轨电车的运行里程为L，此时发动机恰好到达额定功率P，有轨电车
所受的阻力恒定，达到额定功率后，列车保持额定功率做变加速运动，最后以 匀速运动，对此下
列说法不正确的是（ ）
A．有轨电车做匀加速运动时的加速度为
B．有轨电车所受阻力为
C．到达速度 时，发动机做功为
D．存在关系式 =
起重机牵引物体类问题
19．如图所示，起重机将质量 的重物由静止开始竖直吊起，重物做加速度 的匀加速
直线运动，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率不变，直到重物做 的匀速
运动。不计空气阻力和额外功，重力加速度g取 ，则（ ）A．起重机允许输出的最大功率
B．重物做匀加速运动经历的时间为
C．重物在匀加速运动阶段克服重力做功
D．重物速度为 时，起重机输出的功率为
多选题
1．如图甲所示，质量为 的物体在水平面上向右做直线运动。过A点瞬间给物体一个水平向
左的恒力F并开始计时，物体的 图像如图乙所示，g取10m ，下列说法正确的是（ ）
A．F的大小为4N
B．物体与水平面间的动摩擦因数
C．前4秒恒力F对物体做功为-64J
D．10秒内恒力F对物体做功为6J
2．质量为 的物体，静止在倾角为 斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离 ，如图所示。
已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为 ，则下列说法正确的是（ ）A．合力对物体做功为零 B．重力对物体做功为
C．物体克服摩擦力做功为 D．支持力对物体不做功
3．如图所示，重物P放在一长木板 上，在长木板绕 端逆时针转过一个小角度到虚线位置的过
程中，重物P相对于长木板始终保持静止。关于长木板对重物P的摩擦力和支持力，下列说法正确
的是（ ）
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
4．如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套
在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点
到O点的距离为 ，OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧
始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）A．弹簧的劲度系数为
B．小球在P点下方 处的加速度大小为
C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
5．如图所示，物体在水平恒力F的作用下，从斜面底端O点沿斜面缓慢移动到A点，去掉F后，
物体从A点下滑到水平面的B点停下。斜面的倾角为θ，OA的水平距离为L，OB距离为L，物体
1 2
的质量为m，物体与水平面和斜面间的动摩擦因数都为μ，下面判断正确的是（ ）
A．物体从O移动到A，重力做的功是mgL tanθ
1
B．物体从O移动到A，水平恒力F做的功是FL
1
C．物体从O移动到A和从A下滑到O克服摩擦力做的功相等
D．物体从A下滑到水平面的B，克服摩擦力做的功是μmg（L＋L）
1 2
6．如图甲所示，物体受到水平推力 的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力 、物体速
度 随时间 变化的规律如图乙、丙所示。取 ，则（ ）
A．物体受到的摩擦力大小为
B．第 末摩擦力做功的瞬时功率大小为
C．前 内推力做的总功为
D．前 内推力 做功的平均功率为
7．如图所示，一质量为1kg的物块静止于光滑水平面上，从t=0时刻开始，受到水平外力F作用，
下列说法正确的是（ ）A．第1s内外力所做的功是4.5J
B．第2s内外力所做的功是4J
C．0～2s内外力的平均功率是4W
D．第2s末外力的瞬时功率最大
8．如图，质量为 的小物块在倾角为 的固定斜面上运动，某时刻速度方向与水平方向成 角沿
斜面向下，速度大小为 。重力加速度为 ，小物块与斜面之间的动摩擦因数为 。重力的功率大
小为 ，摩擦力的功率大小为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．质量为 的物体放在水平面上，现给物体加一个水平拉力 并开始计时，其速度与时间图像
和该拉力 的功率与时间图像分别如图甲和乙所示，重力加速度 取 ，下列说法正确的是（
）A． 内 的大小均匀增大
B．在 时， 的大小为
C．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
D． 内拉力 做的功为
10．一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，发动机的输出功率与汽车速度大小的关系如图所示，
当汽车速度达到v，后达到额定功率P 时，并保持恒定。汽车能达到的最大速度为1.5v。汽车受
0 0 0
到的阻力恒为车重的k倍，重力加速度为g，忽略汽车质量变化，下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力大小为
B．汽车速度从0达到v 所用时间
0
C．车速为1.2v 时，汽车的加速度为
0
D．在汽车从0加速到v 过程中，汽车运动的位移为
0
11．一辆汽车在平直的公路上运动，运动过程中先保持恒定的加速度，后保持恒定的牵引功率，其
牵引力随速度变化的图像如图所示。若已知汽车的质量m、牵引力F、速度v 及该车所能达到的最
1 1
大速度v，则根据图像所给的信息，下列说法正确的是（ ）
3
A．汽车运动中的最大功率为Fv
1 2B．速度为v 时的加速度大小为
2
C．汽车行驶中所受的阻力为
D．保持恒定加速度运动时，加速度大小为
12．为了净化空气，广州环保部门每天派出大量的洒水车进行空气净化除尘，一辆洒水车在水平路
面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，
其 图像如图所示。已知汽车的质量为 ，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g
取 ，则（ ）
A．汽车在前5s内的阻力为200N B．汽车在前5s内的牵引力为
C．汽车的额定功率为40kW D．汽车的最大速度为30m/s
13．一辆汽车从静止开始沿平直路面运动。运动过程中牵引力F及加速度a与汽车速度v的关系图
线分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力保持恒定，汽车速度由10m/s增至24m/s的过程中功率
保持不变，该过程中汽车的位移为1252m，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中A点坐标为2500
B．汽车的质量为
C．汽车的速度为20m/s时的加速度为D．汽车从静止到速度刚达到24m/s经过的时间为72s
14．如图甲，一台起重机将质量m=200kg的重物由静止开始竖直向上匀加速提升，4s末达到额定
功率，之后保持该功率继续提升重物，5s末重物达到最大速度v 。整个过程中重物的v-t图像如图
m
乙所示，取重力加速度g=10m/s2。则（ ）
A．4s~5s内起重机的牵引力不变
B．起重机的额定功率
C．重物的最大速度
D．0~4s内重物克服重力做功
15．如图所示，吊车下方吊一个质量为500kg的重物，二者一起保持恒定的速度 沿水平方
向做匀速直线运动。某时刻开始，吊车以10kW的恒定功率将重物向上吊起，经t=5s重物达到最大
速度。忽路空气阻力，取g=10m/ ．则在这段t时间内（ ）
A．重物的最大速度为2m/s
B．重物克服重力做功的平均功率为9.8kW
C．重物做匀变速曲线运动
D．重物处于超重状态
16．在水平地面上有一质量为 的物体，物体所受水平外力 与时间 的关系如图 ，物体速度与时间 的关系如图 ，重力加速度 已知， 、 、 均未知，则（ ）
A．若 已知，能求出外力 的大小 B．可以直接求得外力 和阻力 的比值
C．若 已知，可算出动摩擦因数的大小D．可以直接求出前 和后 外力 做功之比
17．放在粗糙水平地面上的滑块，受到随时间t变化的水平拉力力如图甲所示，其运动的v—t图像
如图乙所示，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的（ ）
A．第1s末滑块所受摩擦力的大小为4N
B．滑块与水平面间的动摩擦因数
C．1〜4s内，力F对滑块做功为48J
D．1〜4s内，摩擦力对滑块做功为-16J
18．如图所示，摆球（可视为质点）质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在
摆球运动过程中空气阻力F的大小不变，小球摆动到最低点时速度大小为v，则下列说法正确的是
f
（ ）
A．重力做功为mgL
B．整个过程重力的平均功率为mgvC．空气阻力（F）做功为-mgL
f
D．空气阻力（F）做功为
f
